級数解法と特殊関数べき級数解・フロベニウス法・ルジャンドル・ベッセル関数

2階線形微分方程式 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$ で、 $P, Q$ が $x_0$ のまわりでべき級数に展開できる点を正則点という。正則点では解を $y = \sum a_n(x - x_0)^n$ とおいて代入し、係数の漸化式を解く。 $(x - x_0)P$ と $(x - x_0)^2Q$ が展開できる点（確定特異点）では $y = (x - x_0)^r\sum a_n(x - x_0)^n$ とおき、決定方程式で $r$ を決める（フロベニウス法）。ルジャンドル方程式とベッセル方程式の解がそれぞれルジャンドル多項式とベッセル関数である。

微分方程式の第3単元（全4単元）。先に読む単元：定数係数線形微分方程式

院試数学基礎完成シリーズ微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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正則点と確定特異点

定義

正則点・確定特異点

$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$ について、

$P, Q$ がともに $x_0$ で解析的（ $x_0$ のまわりでべき級数に展開できる）なら、 $x_0$ を正則点（通常点）という。\n- $x_0$ が正則点でなく、 $(x - x_0)P(x)$ と $(x - x_0)^2Q(x)$ が $x_0$ で解析的なら、 $x_0$ を確定特異点という。\n- どちらでもない点を不確定特異点という。

$y''$ の係数が $a(x)$ の方程式 $a(x)y'' + b(x)y' + c(x)y = 0$ は、 $a$ で割ってから判定する。

定理・法則

正則点でのべき級数解

条件

$x_0$ は正則点で、 $P, Q$ のべき級数が $\lvert x - x_0\rvert < R$ で収束する。

主張

すべての解は $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^n$ の形で、この級数は少なくとも $\lvert x - x_0\rvert < R$ で収束する。 $a_0 = y(x_0)$ と $a_1 = y'(x_0)$ は任意で、残りの係数は漸化式で決まる。

要点

$R$ は、複素平面で $x_0$ から $P, Q$ の最も近い特異点までの距離以上にとれる。ルジャンドル方程式では $x = \pm 1$ が特異点なので、 $x = 0$ のまわりの級数解の収束半径は1以上である。

定理・法則

フロベニウスの定理

条件

$x = 0$ は確定特異点で、 $xP(x) = \sum p_kx^k$ 、 $x^2Q(x) = \sum q_kx^k$ が $\lvert x\rvert < R$ で収束する。決定方程式 $r(r - 1) + p_0r + q_0 = 0$ の根を $r_1, r_2$ （実数で $r_1 \ge r_2$ ）とする。

主張

$0 < x < R$ で次の形の一次独立な2解がある（ $a_0 \neq 0$ 、級数は $\lvert x\rvert < R$ で収束）。

$r_1 - r_2$ が整数でない： $y_1 = x^{r_1}\sum a_nx^n$ 、 $y_2 = x^{r_2}\sum b_nx^n$ 。\n- $r_1 = r_2$ ： $y_2 = y_1\log x + x^{r_1}\sum b_nx^n$ 。\n- $r_1 - r_2$ が正の整数： $y_2 = cy_1\log x + x^{r_2}\sum b_nx^n$ （定数 $c$ は0のこともある）。

要点

$y = x^r\sum a_nx^n$ を代入した最低次の項の係数が $a_0\{r(r - 1) + p_0r + q_0\}$ になることから決定方程式が出る。根が複素数なら、 $x^{r} = e^{r\log x}$ の実部と虚部をとる。

べき級数解の計算手順

$y = \sum a_nx^n$ 、 $y' = \sum na_nx^{n-1}$ 、 $y'' = \sum n(n - 1)a_nx^{n-2}$ を代入する。\n2. 和の添字をずらして、すべての項を $x^m$ でそろえる。\n3. 各 $m$ で $x^m$ の係数を0とおき、漸化式を出す。和の下端がそろわない最初の数項は別に書く。\n4. $a_0, a_1$ ごとに解を分けて書き、収束半径を確かめる。

計算例

エアリー方程式のべき級数解

$y'' = xy$ の $x = 0$ のまわりのべき級数解を求めよ。

解答

$P = 0$ 、 $Q = -x$ は多項式なので $x = 0$ は正則点で、収束半径は $\infty$ である。代入すると

\sum_{n=2}^{\infty} n(n - 1)a_nx^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^{n+1}

左辺を $\sum_{m=0}^{\infty}(m + 2)(m + 1)a_{m+2}x^m$ 、右辺を $\sum_{m=1}^{\infty}a_{m-1}x^m$ と書き直す。 $x^0$ の係数から $2a_2 = 0$ 、 $m \ge 1$ では

a_{m+2} = \frac{a_{m-1}}{(m + 2)(m + 1)}

係数は3つおきに決まり、 $a_2 = a_5 = a_8 = \cdots = 0$ 。 $a_0 = 1, a_1 = 0$ と $a_0 = 0, a_1 = 1$ から

y_1 = 1 + \frac{x^3}{6} + \frac{x^6}{180} + \cdots, \qquad y_2 = x + \frac{x^4}{12} + \frac{x^7}{504} + \cdots

検算

$a_3 = \frac{a_0}{3\cdot 2} = \frac{1}{6}$ 、 $a_6 = \frac{a_3}{6\cdot 5} = \frac{1}{180}$ 、 $a_4 = \frac{a_1}{4\cdot 3} = \frac{1}{12}$ 、 $a_7 = \frac{a_4}{7\cdot 6} = \frac{1}{504}$ 。 $x^{10}$ までの部分和を代入すると、 $y'' - xy$ は $x^8$ より低い次数の項がすべて消える。 $y_1(0) = 1, y_1'(0) = 0$ 、 $y_2(0) = 0, y_2'(0) = 1$ でロンスキアンは0でない。

ルジャンドル方程式とルジャンドル多項式

ルジャンドル方程式 $(1 - x^2)y'' - 2xy' + n(n + 1)y = 0$ に $y = \sum a_kx^k$ を代入し、 $x^k$ の係数をそろえると

a_{k+2} = \frac{(k - n)(k + n + 1)}{(k + 2)(k + 1)}a_k

を得る。 $n$ が0以上の整数なら、 $k = n$ で $a_{n+2} = 0$ となり、 $n$ と同じ偶奇の級数は $n$ 次多項式で止まる。これを $P_n(1) = 1$ となるように定数倍したものがルジャンドル多項式 $P_n(x)$ である。もう一方の級数は無限級数で、 $x = \pm 1$ で発散する。

ルジャンドル多項式の公式

具体形: $P_0 = 1, \quad P_1 = x, \quad P_2 = \frac{3x^2 - 1}{2}, \quad P_3 = \frac{5x^3 - 3x}{2}$
ロドリゲスの公式: $P_n(x) = \frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n$
直交性: $\int_{-1}^{1}P_m(x)P_n(x)\,dx = \frac{2}{2n + 1}\delta_{mn}$
母関数: $\frac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^2}} = \sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)t^n \quad (\lvert t\rvert < 1, \ \lvert x\rvert \le 1)$
静電ポテンシャルを $r$ と角度の級数に展開するときに使う。

計算例

漸化式から $P_2$ を作る

$n = 2$ のルジャンドル方程式の多項式解を漸化式から求め、ロドリゲスの公式と一致することを確かめよ。

解答

偶数次の級数で $a_0 = 1$ とすると、 $a_2 = \frac{(0 - 2)(0 + 3)}{2\cdot 1}a_0 = -3$ 、 $a_4 = \frac{(2 - 2)(2 + 3)}{4\cdot 3}a_2 = 0$ 。多項式解は $1 - 3x^2$ で、 $x = 1$ で値 $-2$ をとるから $-\frac{1}{2}$ 倍して $P_2(x) = \frac{3x^2 - 1}{2}$ 。

検算

ロドリゲスの公式で $\frac{1}{8}\frac{d^2}{dx^2}(x^4 - 2x^2 + 1) = \frac{12x^2 - 4}{8} = \frac{3x^2 - 1}{2}$ 。方程式に代入すると $(1 - x^2)\cdot 3 - 2x\cdot 3x + 6\cdot\frac{3x^2 - 1}{2} = 0$ 。直交性 $\int_{-1}^{1}P_2^2\,dx = \frac{2}{5}$ も成り立つ。

ベッセル関数とエルミート多項式

ベッセル方程式 $x^2y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0$ （ $\nu \ge 0$ ）では $x = 0$ が確定特異点で、 $p_0 = 1$ 、 $q_0 = -\nu^2$ から決定方程式は $r^2 - \nu^2 = 0$ 、 $r = \pm\nu$ 。 $r = \nu$ で代入すると $a_1 = 0$ 、 $a_m = -\frac{a_{m-2}}{m(m + 2\nu)}$ となり、 $a_0 = \frac{1}{2^\nu\Gamma(\nu + 1)}$ と選んだ解が第1種ベッセル関数

J_\nu(x) = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m + \nu + 1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}

である。 $\nu$ が整数でなければ $J_\nu$ と $J_{-\nu}$ が基本解になる。 $\nu = n$ が整数なら $J_{-n} = (-1)^nJ_n$ で一次独立でなく、2つ目の解は対数項を含む第2種ベッセル関数 $Y_n$ になる。 $Y_n$ は $x \to +0$ で発散する。

ベッセル関数とエルミート多項式の公式

漸化式: $J_{\nu-1}(x) + J_{\nu+1}(x) = \frac{2\nu}{x}J_\nu(x), \qquad \frac{d}{dx}\{x^\nu J_\nu(x)\} = x^\nu J_{\nu-1}(x)$
半整数次: $J_{1/2}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x, \qquad J_{-1/2}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x$
決定方程式の根の差 $1$ は整数だが、対数項の係数 $c$ が0になる例。
エルミート方程式: $y'' - 2xy' + 2ny = 0, \qquad H_n(x) = (-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$
$n$ が0以上の整数なら多項式解 $H_n$ をもつ（ $H_0 = 1$ 、 $H_1 = 2x$ 、 $H_2 = 4x^2 - 2$ ）。調和振動子の固有関数に現れる。
エルミートの直交性: $\int_{-\infty}^{\infty}H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}\,dx = 2^nn!\sqrt{\pi}\,\delta_{mn}$

計算例

フロベニウス法で決定方程式を解く

$2xy'' + y' + y = 0$ の $x = 0$ のまわりの級数解の形を求めよ。

解答

$2x$ で割ると $P = \frac{1}{2x}$ 、 $Q = \frac{1}{2x}$ 。 $xP = \frac{1}{2}$ 、 $x^2Q = \frac{x}{2}$ は解析的なので $x = 0$ は確定特異点で、 $p_0 = \frac{1}{2}$ 、 $q_0 = 0$ 。決定方程式は $r(r - 1) + \frac{1}{2}r = 0$ 、根は $r = 0, \frac{1}{2}$ 。差 $\frac{1}{2}$ は整数でないので、2つの解はどちらも $x^r\sum a_nx^n$ の形で、対数項は出ない。

代入して $x^{n+r-1}$ の係数をそろえると $a_n(n + r)(2n + 2r - 1) = -a_{n-1}$ 。 $r = 0$ なら $a_n = -\frac{a_{n-1}}{n(2n - 1)}$ 、 $r = \frac{1}{2}$ なら $a_n = -\frac{a_{n-1}}{n(2n + 1)}$ 。

検算

$r = 0$ 、 $a_0 = 1$ の解は $1 - x + \frac{x^2}{6} - \cdots$ で、 $t = \sqrt{2x}$ とおくと $\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} - \cdots = 1 - x + \frac{x^2}{6} - \cdots$ と一致する。実際 $y = \cos\sqrt{2x}$ は方程式を満たす。

答案でよくある誤り

1
添字をずらすときに和の下端を直さない。 $\sum_{n=2}^{\infty}n(n - 1)a_nx^{n-2}$ は $m = n - 2$ として $\sum_{m=0}^{\infty}$ になる。そろわない最初の項（エアリー方程式の $2a_2 = 0$ など）を落とすと、係数が全部ずれる。
2
確定特異点でべき級数 $\sum a_nx^n$ だけを仮定する。ベッセル方程式の $x = 0$ のように $x^r$ が必要な点では、まず決定方程式を解く。
3
決定方程式の根の差が整数のとき、2つ目の解も $x^{r_2}\sum b_nx^n$ の形と決めつける。重根なら必ず、差が正の整数なら場合により $\log x$ の項が入る。
4
$J_n$ と $J_{-n}$ （ $n$ が整数）を基本解にする。 $J_{-n} = (-1)^nJ_n$ なので一次独立でなく、2つ目は $Y_n$ を使う。
5
ルジャンドル多項式の正規化を忘れる。漸化式から出た多項式は定数倍が自由なので、 $P_n(1) = 1$ になるように定数を決める。