1階常微分方程式変数分離・線形・完全微分形の解き方と解の一意性

$y = 0$ は解である。$y = x^3$ も $y' = 3x^2 = 3(x^3)^{2/3}$ を満たし、$y(0) = 0$ なので解である。さらに任意の $c \ge 0$ について、$x \le c$ で $0$、$x > c$ で $(x - c)^3$ とつないだ関数も解になる。$f(y) = 3y^{2/3}$ は連続だが、$\partial f/\partial y = 2y^{-1/3}$ が $y = 0$ の近くで有界でなく、リプシッツ条件を満たさない。

$y_0 \neq 0$ の初期値なら、$y_0$ の近くで $\partial f/\partial y$ が連続なので解は局所的にただ1つである。

変数を分離して $\frac{dy}{y^2} = dx$、積分して $-\frac{1}{y} = x + C$。$y(0) = 1$ から $C = -1$ で、$y = \frac{1}{1 - x}$。解は $x < 1$ でだけ定義され、$x \to 1 - 0$ で $+\infty$ に発散する。

$y' = \frac{1}{(1 - x)^2} = y^2$。$f(y) = y^2$ は全平面でなめらかでも、解が全区間で存在するとは限らない。一意性の定理が保証するのは $x_0$ の近くの区間だけである。

積分因子は $e^{\int 2x\,dx} = e^{x^2}$。両辺に掛けると

よって $y = \frac{1}{2} + Ce^{-x^2}$。$y(0) = 0$ から $C = -\frac{1}{2}$ で、$y = \frac{1}{2}\left(1 - e^{-x^2}\right)$。

$y' = xe^{-x^2}$、$2xy = x - xe^{-x^2}$ で、和は $x$。変数分離形 $y' = x(1 - 2y)$ とみて解いても同じ式になる。

$M = 2xy + 3$、$N = x^2 + 4y$ で $M_y = 2x = N_x$ なので完全微分形である。$\Phi_x = M$ を $x$ で積分して $\Phi = x^2y + 3x + h(y)$。$\Phi_y = x^2 + h'(y) = N$ から $h'(y) = 4y$、$h = 2y^2$。

$\Phi = x^2y + 3x + 2y^2$ を偏微分すると $\Phi_x = 2xy + 3 = M$、$\Phi_y = x^2 + 4y = N$。

$M_y = 1$、$N_x = 2$ で完全微分形でない。$\frac{N_x - M_y}{M} = \frac{1}{y}$ は $y$ だけの関数なので、$\mu = e^{\int dy/y} = y$。掛けると $y^2\,dx + 2xy\,dy = d(xy^2) = 0$ で、一般解は $xy^2 = C$。

変数を分離すると $\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{2x}$ から $y = Cx^{-1/2}$ となり、$xy^2 = C^2$ と同じ曲線族になる。

$n = 2$ なので $z = y^{-1}$ とおく。$z' = -y^{-2}y' = -y^{-2}(y^2 - y) = -1 + z$ から $z' - z = -1$。積分因子 $e^{-x}$ で解いて $z = 1 + Ce^{x}$。よって $y = \frac{1}{1 + Ce^{x}}$。$z = y^{-1}$ の置き換えで除いた $y = 0$ も解である。

$y = \frac{1}{1 + Ce^x}$ について $y' = -\frac{Ce^x}{(1 + Ce^x)^2}$、$y^2 - y = \frac{1 - (1 + Ce^x)}{(1 + Ce^x)^2} = -\frac{Ce^x}{(1 + Ce^x)^2}$ で一致する。$C = 0$ は定数解 $y = 1$ にあたる。