# 1階常微分方程式｜変数分離・線形・完全微分形の解き方と解の一意性

> 1階常微分方程式の解き方を型ごとに解説。変数分離形、線形方程式の積分因子、完全微分形と積分因子、ベルヌーイ型、同次形の手順と、解の存在と一意性（リプシッツ条件）、解が爆発する例、典型的な誤りを載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16

1階常微分方程式 $y' = f(x, y)$ は、式の型で解き方が決まる。変数分離形は両辺を積分し、線形方程式 $y' + P(x)y = Q(x)$ は積分因子 $e^{\int P\,dx}$ を掛け、完全微分形 $M\,dx + N\,dy = 0$（$M_y = N_x$）はポテンシャル関数を求める。初期値問題の解がただ1つに決まるのは、$f$ が連続で $y$ についてリプシッツ条件を満たすときである。

## 常微分方程式・一般解・初期値問題

### 定義：常微分方程式と解

1変数の未知関数 $y(x)$ とその導関数を含む等式を常微分方程式といい、含まれる最高階の導関数の階数を方程式の階数という。1階の方程式を $y' = f(x, y)$ の形に書いたものを正規形という。

区間 $I$ で微分可能な関数 $y = \varphi(x)$ が、$I$ のすべての $x$ で $\varphi'(x) = f(x, \varphi(x))$ を満たすとき、$\varphi$ を $I$ 上の解という。任意定数を1つ含み、それを動かして得られる解の族を一般解、定数に値を入れた解を特殊解という。一般解の定数をどう選んでも得られない解を特異解という。

### 定義：初期値問題

方程式 $y' = f(x, y)$ と条件 $y(x_0) = y_0$ の組を初期値問題という。一般解の任意定数を初期条件で決めると答えになる。解は $x_0$ を含む区間でだけ定義されることがあり、その区間も答えの一部である。

## 解の存在と一意性の条件

### 定理・法則：解の存在と一意性（ピカール・リンデレーフの定理）

条件：

$f(x, y)$ は長方形 $D = \{\lvert x - x_0\rvert \le a, \ \lvert y - y_0\rvert \le b\}$ で連続で、$y$ についてリプシッツ条件を満たす。つまり定数 $K$ があって

$$\lvert f(x, y_1) - f(x, y_2)\rvert \le K\lvert y_1 - y_2\rvert \quad ((x, y_1), (x, y_2) \in D)$$

が成り立つ。$M = \max_D\lvert f\rvert$、$h = \min(a, b/M)$ とする。

主張：

初期値問題 $y' = f(x, y)$、$y(x_0) = y_0$ の解が区間 $\lvert x - x_0\rvert \le h$ にただ1つ存在する。

要点：

逐次近似 $y_{k+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, y_k(t))\,dt$ が一様収束することで示す。$\partial f/\partial y$ が $D$ で連続なら、平均値の定理からリプシッツ条件が成り立つ。$f$ が連続なだけなら解は存在する（ペアノの定理）が、一意とは限らない。

### 計算例：一意性が崩れる例

$y' = 3y^{2/3}$、$y(0) = 0$ の解を調べよ。

解答：

$y = 0$ は解である。$y = x^3$ も $y' = 3x^2 = 3(x^3)^{2/3}$ を満たし、$y(0) = 0$ なので解である。さらに任意の $c \ge 0$ について、$x \le c$ で $0$、$x > c$ で $(x - c)^3$ とつないだ関数も解になる。$f(y) = 3y^{2/3}$ は連続だが、$\partial f/\partial y = 2y^{-1/3}$ が $y = 0$ の近くで有界でなく、リプシッツ条件を満たさない。

検算：

$y_0 \neq 0$ の初期値なら、$y_0$ の近くで $\partial f/\partial y$ が連続なので解は局所的にただ1つである。

### 計算例：解が有限の $x$ で発散する例

$y' = y^2$、$y(0) = 1$ を解け。

解答：

変数を分離して $\frac{dy}{y^2} = dx$、積分して $-\frac{1}{y} = x + C$。$y(0) = 1$ から $C = -1$ で、$y = \frac{1}{1 - x}$。解は $x < 1$ でだけ定義され、$x \to 1 - 0$ で $+\infty$ に発散する。

検算：

$y' = \frac{1}{(1 - x)^2} = y^2$。$f(y) = y^2$ は全平面でなめらかでも、解が全区間で存在するとは限らない。一意性の定理が保証するのは $x_0$ の近くの区間だけである。

## 型ごとの解き方

### 1階常微分方程式の型と解法

- 変数分離形

  $$y' = g(x)h(y) \ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx + C$$

  $h(y_*) = 0$ となる定数 $y = y_*$ も解で、割り算で失われるので別に書く。

- 線形

  $$y' + P(x)y = Q(x) \ \Rightarrow\ y = e^{-\int P\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P\,dx}\,dx + C\right)$$

  両辺に積分因子 $e^{\int P\,dx}$ を掛けると、左辺が $\left(ye^{\int P\,dx}\right)'$ になる。

- 同次形

  $$y' = g\!\left(\frac{y}{x}\right) \ \Rightarrow\ u = \frac{y}{x}, \quad xu' = g(u) - u$$

  $u$ についての変数分離形になる。

- ベルヌーイ型

  $$y' + P(x)y = Q(x)y^n \ (n \neq 0, 1) \ \Rightarrow\ z = y^{1-n}, \quad z' + (1 - n)P z = (1 - n)Q$$

  $z$ についての線形方程式になる。$n > 0$ なら $y = 0$ も解。

- 完全微分形

  $$M\,dx + N\,dy = 0, \quad \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \ \Rightarrow\ \Phi(x, y) = C, \quad \Phi_x = M, \ \Phi_y = N$$

- 積分因子

  $$\frac{M_y - N_x}{N} = \rho(x) \Rightarrow \mu = e^{\int\rho\,dx}, \qquad \frac{N_x - M_y}{M} = \sigma(y) \Rightarrow \mu = e^{\int\sigma\,dy}$$

  $\mu M\,dx + \mu N\,dy = 0$ が完全微分形になる。

### 定理・法則：完全微分形の判定

条件：

$M, N$ は単連結な領域 $D$（穴のない領域）で連続な1階偏導関数をもつ。

主張：

$M\,dx + N\,dy$ がある関数 $\Phi$ の全微分 $d\Phi$ になるための必要十分条件は、$D$ で $M_y = N_x$ が成り立つことである。このとき $\Phi(x, y) = \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)}(M\,dx + N\,dy)$ は経路によらない。

要点：

単連結でない領域では十分条件にならない。$M = \frac{-y}{x^2 + y^2}$、$N = \frac{x}{x^2 + y^2}$ は原点を除いた平面で $M_y = N_x$ を満たすが、原点を回る閉曲線に沿った積分は $2\pi$ で、全平面からの1価のポテンシャルをもたない。

## 線形・完全微分形・ベルヌーイ型の計算例

### 計算例：線形方程式

$y' + 2xy = x$、$y(0) = 0$ を解け。

解答：

積分因子は $e^{\int 2x\,dx} = e^{x^2}$。両辺に掛けると

$$\left(ye^{x^2}\right)' = xe^{x^2} \quad\Longrightarrow\quad ye^{x^2} = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$$

よって $y = \frac{1}{2} + Ce^{-x^2}$。$y(0) = 0$ から $C = -\frac{1}{2}$ で、$y = \frac{1}{2}\left(1 - e^{-x^2}\right)$。

検算：

$y' = xe^{-x^2}$、$2xy = x - xe^{-x^2}$ で、和は $x$。変数分離形 $y' = x(1 - 2y)$ とみて解いても同じ式になる。

### 計算例：完全微分形

$(2xy + 3)\,dx + (x^2 + 4y)\,dy = 0$ の一般解を求めよ。

解答：

$M = 2xy + 3$、$N = x^2 + 4y$ で $M_y = 2x = N_x$ なので完全微分形である。$\Phi_x = M$ を $x$ で積分して $\Phi = x^2y + 3x + h(y)$。$\Phi_y = x^2 + h'(y) = N$ から $h'(y) = 4y$、$h = 2y^2$。

$$x^2y + 3x + 2y^2 = C$$

検算：

$\Phi = x^2y + 3x + 2y^2$ を偏微分すると $\Phi_x = 2xy + 3 = M$、$\Phi_y = x^2 + 4y = N$。

### 計算例：積分因子で完全微分形にする

$y\,dx + 2x\,dy = 0$（$x > 0$）を解け。

解答：

$M_y = 1$、$N_x = 2$ で完全微分形でない。$\frac{N_x - M_y}{M} = \frac{1}{y}$ は $y$ だけの関数なので、$\mu = e^{\int dy/y} = y$。掛けると $y^2\,dx + 2xy\,dy = d(xy^2) = 0$ で、一般解は $xy^2 = C$。

検算：

変数を分離すると $\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{2x}$ から $y = Cx^{-1/2}$ となり、$xy^2 = C^2$ と同じ曲線族になる。

### 計算例：ベルヌーイ型

$y' + y = y^2$ の一般解を求めよ。

解答：

$n = 2$ なので $z = y^{-1}$ とおく。$z' = -y^{-2}y' = -y^{-2}(y^2 - y) = -1 + z$ から $z' - z = -1$。積分因子 $e^{-x}$ で解いて $z = 1 + Ce^{x}$。よって $y = \frac{1}{1 + Ce^{x}}$。$z = y^{-1}$ の置き換えで除いた $y = 0$ も解である。

検算：

$y = \frac{1}{1 + Ce^x}$ について $y' = -\frac{Ce^x}{(1 + Ce^x)^2}$、$y^2 - y = \frac{1 - (1 + Ce^x)}{(1 + Ce^x)^2} = -\frac{Ce^x}{(1 + Ce^x)^2}$ で一致する。$C = 0$ は定数解 $y = 1$ にあたる。

## 答案でよくある誤り

1. $h(y)$ で割って変数分離し、$h(y) = 0$ の定数解を落とす。$y' = xy$ では $y = 0$ も解で、一般解 $y = Ce^{x^2/2}$ の $C = 0$ に含めるか、別に書く。
2. $\int\frac{dy}{y} = \log y$ と書き、$y < 0$ の解を失う。$\log\lvert y\rvert$ と書き、$\lvert y\rvert = e^{C}e^{G(x)}$ から $y = \pm e^{C}e^{G(x)}$ を任意定数 $A$ にまとめる。
3. 線形方程式で $y' + P(x)y = Q(x)$ の形に直す前に積分因子を作る。$x y' + y = x^2$ なら $x$ で割って $P = \frac{1}{x}$ とする（$x \neq 0$ の区間で解く）。
4. $\Phi_x = M$ を $x$ で積分したあと、積分定数を $y$ の関数 $h(y)$ にしない。$h(y)$ は $\Phi_y = N$ から決める。
5. 解の定義区間を書かない。$y' = y^2$、$y(0) = 1$ の解 $y = \frac{1}{1 - x}$ は $x < 1$ でだけ解であり、$x > 1$ の枝は同じ初期値問題の解ではない。