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運動の法則と保存則運動方程式・運動量・エネルギー・衝突の計算

質点の運動は運動方程式 mr¨=Fm\ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F} で決まり、力を成分に分けて微分方程式を解けば位置が時刻の関数として求まる。外力の和が零なら全運動量が、保存力だけが仕事をするなら力学的エネルギーが、原点のまわりの外力のモーメントが零なら角運動量が保存する。保存則は運動方程式を時間で積分した結果なので、どの条件が満たされるかを確かめてから使う。

力学 の第1単元（全4単元）。

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ニュートンの運動の3法則

定義

慣性系と運動量

力を受けない質点が静止または等速直線運動を続けるように見える座標系を慣性系という（第1法則）。質量 mm、速度 v\boldsymbol{v} の質点の運動量を p=mv\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v} と定める。慣性系に対して等速で並進する座標系も慣性系であり、回転や加速をする座標系は慣性系でない。

定理・法則

運動方程式（第2法則）と作用・反作用の法則（第3法則）

条件

慣性系で観測し、質点の質量 mm が一定であるとする。

主張

dpdt=F,md2rdt2=F\frac{d\boldsymbol{p}}{dt} = \boldsymbol{F}, \qquad m\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2} = \boldsymbol{F}

2つの質点が互いに及ぼす力は、大きさが等しく向きが反対である：F12=−F21\boldsymbol{F}_{12} = -\boldsymbol{F}_{21}。

要点

加速度 A\boldsymbol{A} で動く座標系では mr¨′=F−mAm\ddot{\boldsymbol{r}}' = \boldsymbol{F} - m\boldsymbol{A} のように慣性力が加わり、回転座標系では遠心力とコリオリ力が加わる。質量が変わる物体（ロケット）では、出入りする質量の運動量まで含めて dp/dtd\boldsymbol{p}/dt を数える。

運動方程式を解く手順は次の通り。

  1. 物体ごとに受ける力をすべて書き出す（重力、垂直抗力、張力、摩擦力、ばねの力など）。
  2. 座標軸を決め、各物体の運動方程式を成分で書く。糸やレールの拘束条件を式にして未知数と式の数をそろえる。
  3. 微分方程式を初期条件のもとで解き、次元と特別な場合で確かめる。

運動量・エネルギー・角運動量が保存する条件

定理・法則

運動量保存則

条件

質点系に働く外力の和が零である。内力は作用・反作用の法則を満たす。

主張

P=∑imivi=一定\boldsymbol{P} = \sum_i m_i \boldsymbol{v}_i = \text{一定}

要点

各質点の運動方程式を足すと内力が打ち消し合い、dP/dt=∑Fextd\boldsymbol{P}/dt = \sum \boldsymbol{F}^{\text{ext}} になる。外力の和が零でなくても、ある方向の成分が零ならその成分だけ保存する。衝突のように短時間に大きな内力が働く場合は、重力などの有限な外力による力積を無視できる。

定理・法則

仕事とエネルギーの定理、力学的エネルギー保存則

条件

仕事とエネルギーの定理はどんな力でも成り立つ。力学的エネルギー保存則は、仕事をする力が保存力 F=−∇U\boldsymbol{F} = -\nabla U だけで、UU が時間を陽に含まないときに成り立つ。

主張

12mvB2−12mvA2=∫ABF⋅dr,12mv2+U(r)=一定\frac{1}{2}mv_{\mathrm{B}}^2 - \frac{1}{2}mv_{\mathrm{A}}^2 = \int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}, \qquad \frac{1}{2}mv^2 + U(\boldsymbol{r}) = \text{一定}

要点

力が保存力であるのは、単連結な領域で ∇×F=0\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0} のとき、つまり仕事が経路によらないときである。動摩擦力や空気抵抗は保存力でなく、力学的エネルギーは減る。垂直抗力のように運動方向と垂直な力は仕事をしないので、保存則を妨げない。

定理・法則

角運動量保存則

条件

固定点 O のまわりの外力のモーメント（トルク）の和が零である。

主張

L=r×p,dLdt=r×F=N=0 ⇒ L=一定\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}, \qquad \frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{N} = \boldsymbol{0} \ \Rightarrow \ \boldsymbol{L} = \text{一定}

要点

力が常に O を向く中心力なら r×F=0\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0} で角運動量が保存する。どの点のまわりで考えるかで L\boldsymbol{L} も N\boldsymbol{N} も変わる。中心力の運動は中心力とケプラーの法則で扱う。

力と衝突の公式

摩擦力
f静≤μN,f動=μ′Nf_{\text{静}} \le \mu N, \qquad f_{\text{動}} = \mu' N

NN は垂直抗力。静止摩擦力は釣り合いから決まり、μN\mu N はその上限にすぎない。

ばねの力と位置エネルギー
F=−kx,U=12kx2F = -kx, \qquad U = \frac{1}{2}kx^2
一様重力の位置エネルギー
U=mghU = mgh
万有引力の位置エネルギー
U(r)=−GMmrU(r) = -\frac{GMm}{r}

無限遠を基準 U=0U = 0 にとる。G=6.67430×10−11 N m2/kg2G = 6.67430 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}（CODATA 2018）。

反発係数
e=−v2′−v1′v2−v1e = -\frac{v_2' - v_1'}{v_2 - v_1}

e=1e = 1 が弾性衝突、e=0e = 0 が完全非弾性衝突。0≤e≤10 \le e \le 1。

1次元弾性衝突（v2=0v_2 = 0）
v1′=m1−m2m1+m2v1,v2′=2m1m1+m2v1v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1, \qquad v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1
重心の運動
MR¨=∑Fext,R=1M∑imiriM\ddot{\boldsymbol{R}} = \sum \boldsymbol{F}^{\text{ext}}, \qquad \boldsymbol{R} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\boldsymbol{r}_i

運動方程式と保存則の計算例

計算例

摩擦のある斜面を滑り下りる物体

傾き θ=30∘\theta = 30^\circ の斜面を質量 mm の物体が滑り下りる。動摩擦係数を μ′=0.20\mu' = 0.20、重力加速度を g=9.8 m/s2g = 9.8\ \mathrm{m/s^2} として、加速度の大きさを求めよ。

解答

斜面に垂直な方向の釣り合いから N=mgcos⁡θN = mg\cos\theta。斜面に沿って下向きを正とする運動方程式は

ma=mgsin⁡θ−μ′mgcos⁡θma = mg\sin\theta - \mu' mg\cos\theta

よって a=g(sin⁡θ−μ′cos⁡θ)=9.8×(0.5−0.20×0.866)≈3.2 m/s2a = g(\sin\theta - \mu'\cos\theta) = 9.8 \times (0.5 - 0.20 \times 0.866) \approx 3.2\ \mathrm{m/s^2}。

検算

μ′=0\mu' = 0 で a=gsin⁡θa = g\sin\theta、θ=90∘\theta = 90^\circ で自由落下 a=ga = g になる。a>0a > 0 となるのは tan⁡θ>μ′\tan\theta > \mu' のときで、tan⁡30∘≈0.577>0.20\tan 30^\circ \approx 0.577 > 0.20 を満たす。

計算例

1次元の弾性衝突

速さ v1v_1 の質点 1（質量 m1m_1）が、静止した質点 2（質量 m2m_2）に正面から弾性衝突する。衝突後の速度を求めよ。

解答

運動量保存 m1v1=m1v1′+m2v2′m_1v_1 = m_1v_1' + m_2v_2' と、反発係数 e=1e = 1 の式 v2′−v1′=v1v_2' - v_1' = v_1 を連立する。

v1′=m1−m2m1+m2v1,v2′=2m1m1+m2v1v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1, \qquad v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1

検算

運動エネルギー 12m1v1′2+12m2v2′2\frac{1}{2}m_1v_1'^2 + \frac{1}{2}m_2v_2'^2 を計算すると 12m1v12\frac{1}{2}m_1v_1^2 に一致する。m1=m2m_1 = m_2 なら速度が入れ替わり、m2→∞m_2 \to \infty なら v1′=−v1v_1' = -v_1 で壁に跳ね返る。

計算例

完全非弾性衝突で失われる運動エネルギー

上と同じ状況で、2つの質点が衝突後に一体となって動く。失われる運動エネルギーを求めよ。

解答

運動量保存から一体の速度は V=m1v1m1+m2V = \dfrac{m_1v_1}{m_1 + m_2}。失われる運動エネルギーは

ΔK=12m1v12−12(m1+m2)V2=12m1m2m1+m2v12\Delta K = \frac{1}{2}m_1v_1^2 - \frac{1}{2}(m_1 + m_2)V^2 = \frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}v_1^2

検算

μ=m1m2/(m1+m2)\mu = m_1m_2/(m_1 + m_2) は換算質量で、ΔK\Delta K は重心系で見た衝突前の運動エネルギー 12μv12\frac{1}{2}\mu v_1^2 に等しい。重心系では衝突後に両方が止まるので、重心系の運動エネルギーがすべて失われる。

計算例

速度に比例する抵抗を受ける落下

質量 mm の物体が静止状態から落下し、速度に比例する抵抗 −bv-bv（b>0b > 0）を受ける。速度 v(t)v(t) と終端速度を求めよ。

解答

下向きを正として mv˙=mg−bvm\dot{v} = mg - bv。変数分離して v(0)=0v(0) = 0 で解くと

v(t)=mgb(1−e−bt/m)v(t) = \frac{mg}{b}\left(1 - e^{-bt/m}\right)

t→∞t \to \infty で終端速度 v∞=mg/bv_\infty = mg/b に近づく。時定数は m/bm/b である。

検算

t≪m/bt \ll m/b では e−bt/m≈1−bt/me^{-bt/m} \approx 1 - bt/m から v≈gtv \approx gt となり、自由落下に一致する。mg/bmg/b の次元は kg⋅(m/s2)/(N s/m)=m/s\mathrm{kg \cdot (m/s^2)} / (\mathrm{N\,s/m}) = \mathrm{m/s}。

答案でよくある誤り

  1. 1

    静止摩擦力を常に μN\mu N とおく。静止しているときの摩擦力は釣り合いの式から決め、μN\mu N を超えないかを最後に確かめる。

  2. 2

    摩擦や非弾性衝突がある場面で力学的エネルギー保存を使う。保存しない場合は、仕事とエネルギーの定理で失われた分を摩擦の仕事として加える。

  3. 3

    衝突で運動量と運動エネルギーの両方を保存させる。運動エネルギーが保存するのは弾性衝突だけで、一般には運動量保存と反発係数の式を連立する。

  4. 4

    加速する電車の中など、慣性系でない座標系で慣性力を入れずに運動方程式を書く。地面に固定した慣性系で書くか、座標系の加速度 A\boldsymbol{A} に対して −mA-m\boldsymbol{A} を加える。

  5. 5

    外力の和が零でないのに、全方向の運動量を保存させる。外力が鉛直方向だけなら、保存するのは水平成分だけである。

力学の前後の単元

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