ラグランジュ形式ラグランジュ方程式の立て方・成り立つ条件・保存量

自由度 $n$ の系を一般化座標 $q_1, \dots, q_n$ で表し、ラグランジアン $L = T - U$ を作って $\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \dfrac{\partial L}{\partial q_i} = 0$ を解くと運動方程式が得られる。この方程式は、拘束がホロノミックで拘束力が仕事をせず、ほかの力がポテンシャルから導けるときに成り立つ。 $L$ が $q_i$ を含まなければ一般化運動量 $p_i = \partial L/\partial \dot{q}_i$ が保存し、 $L$ が時間を陽に含まなければエネルギー関数 $h = \sum_i \dot{q}_i p_i - L$ が保存する。

解析力学の第1単元（全2単元）。先に読む単元：力学・運動の法則と保存則

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一般化座標とラグランジアン

定義

一般化座標

$N$ 個の質点の位置 $\boldsymbol{r}_1, \dots, \boldsymbol{r}_N$ が $k$ 個の拘束条件 $g_j(\boldsymbol{r}_1, \dots, \boldsymbol{r}_N, t) = 0$ を満たすとき、自由度は $n = 3N - k$ である。各位置を $n$ 個の独立な変数で $\boldsymbol{r}_a = \boldsymbol{r}_a(q_1, \dots, q_n, t)$ と表せるとき、 $q_i$ を一般化座標、 $\dot{q}_i$ を一般化速度という。位置座標だけの等式で書ける拘束をホロノミック拘束という。

定義

ラグランジアンと作用

運動エネルギー $T$ と位置エネルギー $U$ を一般化座標で書き、 $L(q, \dot{q}, t) = T - U$ をラグランジアンという。時刻 $t_1$ から $t_2$ までの経路に対して

S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t)\,dt

を作用という。

ラグランジュ方程式が成り立つ条件

定理・法則

ラグランジュ方程式

条件

拘束はホロノミックで、拘束力は仮想変位に対して仕事をしない（滑らかな面、伸びない糸など）。拘束力以外の力は $U(q, t)$ から導ける。速度によるポテンシャル $U(q, \dot{q}, t)$ でも、ローレンツ力のように一般化力が $Q_i = \frac{d}{dt}\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial U}{\partial q_i}$ と書ければよい。

主張

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \qquad (i = 1, \dots, n)

要点

ダランベールの原理から導くほか、端点 $q(t_1), q(t_2)$ を固定した変分 $\delta S = 0$ （ハミルトンの原理）のオイラー・ラグランジュ方程式としても得られる。摩擦のように $U$ から導けない力は右辺に一般化力 $Q_i = \sum_a \boldsymbol{F}_a \cdot \partial \boldsymbol{r}_a/\partial q_i$ として加える。転がりの条件のような、速度でしか書けない非ホロノミック拘束では、拘束を代入した $L$ からこの式を作ると誤った運動方程式になり、未定乗数を使う。

ラグランジュ方程式を立てる手順は次の通り。

自由度を数え、拘束を自動的に満たす一般化座標を選ぶ。
各質点の位置を一般化座標で書いて時間微分し、 $T$ を $q, \dot{q}$ で表す。
$U$ を書き、 $L = T - U$ を作って各座標で方程式を立てる。
$q_i$ を含まない $L$ の座標や、時間を陽に含まない $L$ から保存量を読み取り、積分に使う。

循環座標と保存量

定理・法則

循環座標と一般化運動量の保存

条件

$L$ が座標 $q_j$ を含まない（ $\partial L/\partial q_j = 0$ ）。このような $q_j$ を循環座標という。

主張

p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = \text{一定}

要点

$L$ が空間の並進で変わらなければ全運動量、回転で変わらなければ角運動量が保存する。対称性と保存量のこの対応をネーターの定理という。

定理・法則

エネルギー関数の保存

条件

$L$ が時間 $t$ を陽に含まない（ $\partial L/\partial t = 0$ ）。

主張

h = \sum_i \dot{q}_i\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - L = \text{一定}

要点

$dh/dt = -\partial L/\partial t$ から出る。 $h$ が $T + U$ に等しいのは、座標変換が時間を含まず $T$ が $\dot{q}$ の2次の同次式になるときである。回転する枠に拘束された系では、 $h$ は保存しても $T + U$ とは異なる。

よく使うラグランジアン

極座標の質点（平面）: $L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2) - U(r)$
単振り子（長さ $l$ 、鉛直下向きから $\theta$ ）: $L = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos\theta$
電磁場中の荷電粒子: $L = \frac{1}{2}m\dot{\boldsymbol{r}}^2 - q\phi(\boldsymbol{r}, t) + q\dot{\boldsymbol{r}}\cdot\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t)$
$\phi$ はスカラーポテンシャル、 $\boldsymbol{A}$ はベクトルポテンシャル（SI単位系）。ラグランジュ方程式はローレンツ力 $q(\boldsymbol{E} + \dot{\boldsymbol{r}} \times \boldsymbol{B})$ の運動方程式になる。
微小振動の形: $L \approx \frac{1}{2}\sum_{ij} T_{ij}\dot{q}_i\dot{q}_j - \frac{1}{2}\sum_{ij} V_{ij}q_iq_j$
安定な平衡点のまわりで展開した形。基準振動数 $\omega$ は $\det(V - \omega^2T) = 0$ から求める。

ラグランジュ方程式の計算例

計算例

単振り子

長さ $l$ の糸につけた質量 $m$ のおもりの運動方程式を、鉛直下向きからの角度 $\theta$ を一般化座標として求めよ。

解答

おもりの位置は $(l\sin\theta, -l\cos\theta)$ で、 $T = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2$ 、 $U = -mgl\cos\theta$ 。 $L = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos\theta$ から

\frac{d}{dt}(ml^2\dot{\theta}) + mgl\sin\theta = 0 \ \Rightarrow \ \ddot{\theta} = -\frac{g}{l}\sin\theta

検算

糸の張力は仕事をしないので方程式に現れない。接線方向のニュートンの式 $ml\ddot{\theta} = -mg\sin\theta$ と一致する。小さな振れでは $\omega = \sqrt{g/l}$ の単振動になる。

計算例

アトウッドの器械

質量を無視できる滑らかな滑車に糸をかけ、両端に質量 $m_1, m_2$ （ $m_1 > m_2$ ）をつるす。 $m_1$ の下向きの変位を $x$ として加速度を求めよ。

解答

糸の長さが一定なので $m_2$ は $x$ だけ上がる。 $T = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)\dot{x}^2$ 、 $U = -m_1gx + m_2gx$ 。

L = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)\dot{x}^2 + (m_1 - m_2)gx, \qquad \ddot{x} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}g

検算

$m_1 = m_2$ で $\ddot{x} = 0$ 、 $m_2 = 0$ で自由落下 $\ddot{x} = g$ 。2つの物体の運動方程式から張力を消去しても同じ式になる。

計算例

中心力のもとの質点と角運動量

平面内で $U(r)$ を受ける質点のラグランジュ方程式を極座標で書き、保存量を求めよ。

解答

$L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2) - U(r)$ 。 $\phi$ は循環座標なので

p_\phi = mr^2\dot{\phi} = \text{一定}, \qquad m\ddot{r} - mr\dot{\phi}^2 + U'(r) = 0

$p_\phi$ は角運動量で、 $L$ が時間を含まないのでエネルギー $\frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2) + U(r)$ も保存する。

検算

$r$ の式の $mr\dot{\phi}^2$ は遠心力の項である。 $\dot{\phi} = p_\phi/(mr^2)$ を入れると $mr\dot{\phi}^2 - U'(r) = -\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{p_\phi^2}{2mr^2} + U\right)$ となり、有効ポテンシャルの微分で書ける。中心力とケプラーの法則の式と一致する。

計算例

回転する輪に通したビーズ

半径 $R$ の円形の針金が鉛直な直径のまわりに一定の角速度 $\omega$ で回る。針金に通した質量 $m$ のビーズ（摩擦なし）について、最下点からの角度 $\theta$ の運動方程式と平衡点を求めよ。

解答

速度は輪に沿う成分 $R\dot{\theta}$ と回転による成分 $R\omega\sin\theta$ からなるので

L = \frac{1}{2}mR^2(\dot{\theta}^2 + \omega^2\sin^2\theta) + mgR\cos\theta

\ddot{\theta} = \sin\theta\left(\omega^2\cos\theta - \frac{g}{R}\right)

平衡点は $\theta = 0$ と、 $\omega^2 > g/R$ のときの $\cos\theta_0 = g/(R\omega^2)$ 。 $\theta = 0$ のまわりの小振動の角振動数の2乗は $g/R - \omega^2$ で、 $\omega^2 > g/R$ では負になり最下点は不安定になる。 $\theta_0$ のまわりの角振動数は $\omega\sin\theta_0$ である。

検算

$L$ は時間を陽に含まないので $h = \frac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2 - \frac{1}{2}mR^2\omega^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta$ が保存する。これは $T + U$ と回転の項の符号が異なり、針金を回す外部の力が仕事をするため $T + U$ は保存しない。 $\omega = 0$ では単振り子の式に戻る。

答案でよくある誤り

1
$T$ を一般化速度の2乗の和だけで書き、回転する座標系や動く支点の項を落とす。慣性系での位置を一般化座標で書き、それを時間微分して $T$ を作る。
2
$L = T + U$ と符号を誤る。 $L = T - U$ で、重力なら $U = mgz$ （ $z$ は鉛直上向き）なので $L$ には $-mgz$ が入る。
3
$\partial L/\partial \dot{q}$ を時間で微分するとき、 $q$ と $\dot{q}$ の両方を通じた時間変化を落とす。 $\frac{d}{dt}$ は全微分で、たとえば $\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\phi}) = 2mr\dot{r}\dot{\phi} + mr^2\ddot{\phi}$ 。
4
エネルギー関数 $h$ をいつも $T + U$ とする。拘束が時間を含むと一致しない。回転する輪の例では $h$ は保存し $T + U$ は保存しない。
5
摩擦がある系や転がりの条件をそのまま $L$ に入れる。 $U$ から導けない力は一般化力 $Q_i$ として右辺に加え、非ホロノミック拘束は未定乗数で扱う。

ラグランジュ形式が出た院試の過去問

院試hubが年度別解説の大問を分類した集計から、この単元の内容を扱う出題を挙げる。問題文は各大学の公式過去問で確かめ、解き方は各年度の解説ページで読める。

ラグランジアン

14大学・78問（2013〜2026年度）

新しい年度の出題

九州大学大学院物理学 2026年度第1問物理学I：ねじりばかりと回転系上の球面振り子
京都大学専門科目（物理学） 2026年度第2問I-2 解析力学(放物面上の質点)
京都大学数学・機械力学・専門科目 2026年度第4問円板と剛体棒の連成振動
北海道大学大学院情報科学専攻システム情報科学コース専門科目 2026年度第4問力学
北海道大学大学院専門科目（地球惑星科学） 2026年度第4問II-1 慣性モーメントと転がり運動
千葉大学大学院物理学 2026年度第1問連成振動

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九州大学大学院物理学 2026年度第1問物理学I：ねじりばかりと回転系上の球面振り子
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