院試の解析力学一般化座標と正準変換、保存量の確かめ方

解析力学では、自分で選んだ座標から運動方程式を立て、対称性や保存量を手がかりに運動を調べます。一般化座標と共役運動量は、量子力学でも統計力学でも使います。

ラグランジュ形式とハミルトン形式の計算で確かめたいのは、どの変数を独立に扱っているか、どの条件なら保存則が使えるか、の二つです。

学部で身につけておく基礎

• ニュートン力学：力、運動量、角運動量、エネルギー保存の使い分け。慣性系と非慣性系の関係
• 線形代数：対称行列の固有値問題と直交対角化、基底変換、二次形式。基準振動にも慣性テンソルにも出てきます。連立線形系の固有値解法もここで練習できます
• 偏微分の連鎖律：合成関数の偏微分、ヤコビアン、全微分。ルジャンドル変換と正準変換の計算はこれなしでは進みません
• 常微分方程式：定数係数の線形系
• 変分法：オイラー＝ラグランジュ方程式の導出と、束縛条件付きの変分（ラグランジュの未定乗数法）
• ベクトル解析：勾配と回転。ネーターの定理を応用するとき、運動量場や角運動量場の扱いで使います

ラグランジアンは書けたのに偏微分で止まるなら、連鎖律と変分法の例題に戻りましょう。座標と速度を独立に偏微分する操作と、運動に沿った時間微分は別物です。両者を区別して練習してください。結合振動子の基準モードを求めるときは、常微分方程式の固有値解法を使います。

論点別に確認する計算と条件

一般化座標の選び方から運動方程式、保存量の確認まで、以下の5分野に分けました。受験する専攻の出題範囲と過去問を見て、必要な分野を選んでください。

ラグランジュ形式と一般化座標

単振り子や二重振り子、回転座標系の中の質点、束縛条件のある質点系。どれも、座標の定義を決めてからラグランジアンを組み立てます。

二重振り子なら、θ₁ と θ₂ を鉛直から測るか、上下のリンクの相対角を使うかで式の見た目が変わります。どちらの座標でも解けます。角度の基準と正の向きを明記しておけば十分です。

運動エネルギーを一般化座標と一般化速度で書き直してから、オイラー＝ラグランジュ方程式の偏微分を計算します。3次元空間の N 個の質点に k 個の独立なホロノミック拘束があるなら、拘束が独立に保たれる範囲で自由度は f = 3N − k です。重複する拘束を二重に数えたり、この式を非ホロノミック拘束にそのまま当てはめたりしてはいけません。

ハミルトン形式と正準変換

ラグランジアンからハミルトニアンを作るには、共役運動量 pᵢ = ∂L/∂q̇ᵢ を求め、一般化速度を座標と運動量、時間の関数として解きます。

この逆変換が局所的にできる通常の系なら、H = Σpᵢq̇ᵢ − L に代入して H(q, p, t) と表し、q̇ᵢ = ∂H/∂pᵢ、ṗᵢ = −∂H/∂qᵢ を使います。速度が残った式を使うときも、q と p の関数として扱えているかを確かめてください。

正準変換の母関数は、独立変数の組によって F₁(q, Q)、F₂(q, P)、F₃(p, Q)、F₄(p, P) の4種類です。同じ変換を複数の母関数で表せることもあります。選んだ変数の組で変換が解けるかを確かめ、種類ごとの符号を混同しないように。

時間を固定した偏微分では、F₁ と F₂ の関係式は次の形です。F₂ の Pᵢ による偏微分は符号が正になります。

どの変数を固定して偏微分するかも、母関数の引数に合わせます。

母関数が時間に陽に依存するなら、新しいハミルトニアンに K = H + ∂F/∂t の項が加わります。右辺を新変数 Q、P、t で表してから、新しい正準方程式に進んでください。

ポアソン括弧と保存量

ポアソン括弧は、正準変数 q、p の関数どうしに定義されます。括弧の計算そのものにハミルトニアンは要りません。

時間を固定して偏微分し、基本括弧 {qᵢ, pⱼ} = δᵢⱼ と、双線形性、反対称性、ライプニッツ則を確かめます。速度を含む量なら、先に q と p の関数に書き直します。

保存量かどうかを判定するときは、運動を決める H と、F が時間に陽に依存するかの両方を見ます。運動に沿った全微分は次の式です。

F が時間に陽に依存しなければ、{F, H} = 0 で保存量です。F(q, p, t) の場合は、括弧がゼロでも ∂F/∂t が残ることがあるので、dF/dt 全体がゼロかを調べます。

時間に陽に依存しない F と G がどちらも H とポアソン可換なら、ヤコビ恒等式から {F, G} も保存量です。角運動量 L = r × p の成分については、{Lᵢ, Lⱼ} = Σₖ εᵢⱼₖ Lₖ を括弧の定義と照らし合わせてください。

母関数とポアソン括弧の定義と符号は、ケンブリッジ大学の講義資料The Hamiltonian Formalism（4.3、4.4.3節）でも確認できます。

振動論との接続（基準モード）

結合振動子の小振動では、静止した平衡点のまわりでラグランジアンを二次まで展開します。時間に陽に依存せず、運動エネルギーが速度の二次形式で、ポテンシャルが座標だけの関数である系だとしましょう。

この場合、ηᵢ = qᵢ − qᵢ⁽⁰⁾ を使って L = ½ ΣMᵢⱼη̇ᵢη̇ⱼ − ½ ΣKᵢⱼηᵢηⱼ と書けます。M と K は平衡点で評価した質量行列と剛性行列で、正定値の M に対する一般化固有値問題を解きます。

a はモードを表す固有ベクトルです。

速度に比例する力や、速度と座標が交差する項があるなら、上の形には当てはまりません。運動方程式から確かめ直します。基準モードを答えるときは、最大成分を1にする、質量行列で正規化する、といった規約を添えてください。固有ベクトルを定数倍しても同じモードです。

剛体運動（オイラー角・慣性テンソル）

慣性テンソルを計算するときは、重心系か固定点系か、どの向きの軸を扱うかを図と式で示します。主軸変換や平行軸の定理を使う前に、基準点と回転軸を確認しましょう。

オイラー角には規約がいくつもあるので、回転の順序と角度の向きを明記します。定義と整合した計算なら、別の規約を使っても同じ運動です。

一様重力の中で対称軸上の一点を固定した対称コマでは、自転角が循環座標になり、対称軸方向の角運動量が保存します。この条件とエネルギー保存を確かめてから、有効ポテンシャルで歳差と章動を調べます。非対称な剛体や、別の外力が働く場合に、同じ保存量を無条件で使うのは誤りです。