阪大 理学研究科 物理学専攻・宇宙地球科学専攻 物理学 2026年度 院試 解答例・解説

方針

全体を通して、安定なつり合いの近くでラグランジアンを 2 次形式に落とす問題である。 小振動では、運動エネルギーは速度の 2 次、ポテンシャルは変位の 2 次までで十分であり、 定数項は運動方程式に影響しない。

ばね付き振り子での近似の要点

$r,\theta,\phi$ をすべて 1 次の微小量と数える。例えば $r\phi^2$ や $r\dot{\phi}^2$ は 3 次以上なので捨てる。一方、 $(2a\dot{\theta}+a\dot{\phi})^2$ の交差項 $\dot{\theta}\dot{\phi}$ は 2 次なので残さなければならない。

検算

$r$ 方向の有効質量は $m/6$、ばね定数は $mg/(6\ell)$ なので $\omega_r^2=k/(m/6)=g/\ell$ と読める。ラグランジアンから得た結果と一致する。 また $Q_1,Q_2$ の相当長はそれぞれ $2a,\ a/2$ であり、振動数が $g/\ell_{\mathrm{eq}}$ の形になっていることも確認できる。

典型ミス

棒の慣性モーメントで積分範囲を $0$ から $a$ にしてしまうと、長さ $2a$ の情報を落とす。 また、ばねの自然長からの伸びは $\ell+r$ であって $r$ だけではない。 ただし展開後は、静的つり合いの条件により $r$ の 1 次項が消える。 ここを明示すると答案の説得力が高い。

方針

前半は円筒対称性とアンペールの法則だけで決まる。後半は円筒波であり、 ラプラシアンに現れる $r^{-1}\partial_r(r\partial_r)$ が本質である。 この項があるため、遠方波の振幅は平面波と異なり $r^{-1/2}$ で減衰する。

符号の確認

電子の電荷は負で、速度は $-z$ 方向である。電流の向きや磁場の向きは規約に依存して見えやすいが、 アルフベン電流限界では力の大きさを用いればよい。 したがって最終的な電流限界は正の大きさとして $4\pi m v_z/(e\mu_0)$ と書ける。

試験で書くべきポイント

グラフ問題では、内部の直線増加、外部の $1/r$ 減少、接続点 $B_\phi(R)=\mu_0I/(2\pi R)$ の 3 点を必ず示す。 波動方程式では $\nabla$ 記号を使わない指定があるため、円筒座標で成分を展開した形で答える。

典型ミス

$\partial_r(r^{-1/2}\cos\psi)$ では、位相の微分による $-kr^{-1/2}\sin\psi$ だけでなく、振幅の微分による $-(1/2)r^{-3/2}\cos\psi$ も出る。 後者は遠方で小さいが、設問が $r$ を含む形での磁場を求めているため残しておくのが安全である。

方針

無限井戸は、中心を原点に取ると偶奇性が強く効く。初期状態が偶関数なので、 奇関数固有状態は最初から除外できる。確率、期待値、時間発展はすべて同じ展開係数 $c_n$ から決まる。

規格化と確率の検算

得られた確率は $$\sum_{n:\mathrm{odd}}\frac{960}{n^6\pi^6} =\frac{960}{\pi^6}\frac{\pi^6}{960}=1$$ となる。展開係数の符号を固有関数の位相で変えても、確率と期待値は変わらない。

標準偏差の注意

$\langle H^2\rangle$ は $\langle H\rangle^2$ ではない。 本問では $P_n\propto n^{-6}$ なので、$\langle H\rangle$ では $\sum n^{-4}$、$\langle H^2\rangle$ では $\sum n^{-2}$ が現れる。 使用する級数が入れ替わると次元は合っても数値係数が誤る。

散乱問題の見方

左側が無限壁なので透過波はなく、反射率は必ず 1 である。 求めるべき非自明な情報は反射位相 $\delta$ である。 接続条件は波動関数だけでなく導関数にも課す必要があり、 比をとると任意定数 $A,B$ が消えて位相条件だけが残る。

方針

相互作用なしでは独立な 2 状態系の積として分配関数を作る。 相互作用ありでは、隣接スピンの片方を平均値 $m$ で置き換え、揺らぎの 2 次を捨てる。 その結果、相互作用系が有効磁場 $Jzm+h$ 中の独立スピンへ帰着する。

平均場近似の数え上げ

最近接対の数は $Nz/2$ である。ここで $Nz$ としてしまうと定数項が 2 倍になる。 一方、$\sum_{\langle i,j\rangle}(S_i+S_j)$ では各サイトのスピンが最近接数 $z$ 回現れるので $z\sum_iS_i$ である。定数項と有効磁場項で数え方が異なる点が失点しやすい。

自己無撞着方程式の意味

$m$ は任意パラメータではなく、平均場ハミルトニアンから計算し直した 1 サイト磁化と一致しなければならない。 この条件が $m=\tanh[\beta(Jzm+h)]$ である。 グラフで見れば、$y=m$ と $y=\tanh(\beta Jzm)$ の交点が許される平均磁化を表す。

臨界指数の検算

$T_c$ は原点での傾きが 1 になる条件から決まる。 $T<T_c$ で非零解が小さい範囲では 3 次まで展開すればよい。 得られる $|m|\propto(T_c-T)^{1/2}$ は平均場近似の標準的な臨界指数 $\beta_{\mathrm{crit}}=1/2$ に対応する。