阪大 理学研究科 物理学専攻・宇宙地球科学専攻 物理学 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

角度は鉛直下向きから測るものとし、微小量は 2 次まで残す。重力ポテンシャルは $V=mgy$ である。

1. 単振り子では $$x=\ell\sin\theta,\qquad y=-\ell\cos\theta$$ であるから $$K=\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2,\qquad V=-mg\ell\cos\theta \simeq -mg\ell+\frac{1}{2}mg\ell\theta^2 .$$ したがって、定数項を除けば $$L=\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 -\frac{1}{2}mg\ell\theta^2 .$$
2. オイラー・ラグランジュ方程式より $$\frac{d}{dt}(m\ell^2\dot{\theta})+mg\ell\theta=0, \qquad \ddot{\theta}+\frac{g}{\ell}\theta=0 .$$ 初期条件 $\theta(0)=\theta_0,\ \dot{\theta}(0)=0$ から $$\theta(t)=\theta_0\cos\sqrt{\frac{g}{\ell}}\,t, \qquad T=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} .$$
3. 棒の線密度を $\lambda=m/(2a)$ とする。固定端からの距離を $\xi$ とすれば $$I=\int_0^{2a}\lambda \xi^2\,d\xi =\frac{m}{2a}\frac{(2a)^3}{3} =\frac{4}{3}ma^2 .$$
4. 棒の重心は固定端から距離 $a$ にある。したがって $$K=\frac{1}{2}I\dot{\theta}^2 =\frac{2}{3}ma^2\dot{\theta}^2,\qquad V=-mga\cos\theta \simeq -mga+\frac{1}{2}mga\theta^2 .$$ $I$ を用いずに書くと、定数項を除いて $$L=\frac{2}{3}ma^2\dot{\theta}^2 -\frac{1}{2}mga\theta^2 .$$
5. 棒の小振動方程式は $$\frac{4}{3}ma^2\ddot{\theta}+mga\theta=0, \qquad \ddot{\theta}+\frac{3g}{4a}\theta=0 .$$ よって $$T=2\pi\sqrt{\frac{4a}{3g}} .$$ 単振り子の周期 $2\pi\sqrt{\ell_{\mathrm{eq}}/g}$ と比較して $$\ell_{\mathrm{eq}}=\frac{4a}{3}$$ が相当単振り子の長さである。
6. 棒の先端を $P$ とする。質点の位置は、棒の長さが $2a$、ばねの長さが $a+r$ であることから $$X=2a\sin\theta+(a+r)\sin\phi,\qquad Y=-2a\cos\theta-(a+r)\cos\phi .$$ よって $$\dot{X}=2a\dot{\theta}\cos\theta+\dot{r}\sin\phi +(a+r)\dot{\phi}\cos\phi,$$ $$\dot{Y}=2a\dot{\theta}\sin\theta-\dot{r}\cos\phi +(a+r)\dot{\phi}\sin\phi .$$
7. ばね定数を $k=mg/(6\ell)$ とすると、全ポテンシャルは $$V=-mga\cos\theta +\frac{m}{6}g\{-2a\cos\theta-(a+r)\cos\phi\} +\frac{1}{2}k(\ell+r)^2 .$$ 2 次まで展開すると、$r$ の 1 次項は重力とばねで相殺され、 $$V=\mathrm{const} +\frac{2}{3}mga\,\theta^2 +\frac{1}{12}mga\,\phi^2 +\frac{mg}{12\ell}r^2 .$$
8. 2 次の運動エネルギーでは $$\dot{X}\simeq 2a\dot{\theta}+a\dot{\phi}, \qquad \dot{Y}\simeq -\dot{r}.$$ したがって、質点と棒の運動エネルギーの和は $$K=\frac{2}{3}ma^2\dot{\theta}^2 +\frac{m}{12}\left\{\dot{r}^2+a^2(2\dot{\theta}+\dot{\phi})^2\right\}$$ $$=ma^2\dot{\theta}^2 +\frac{1}{3}ma^2\dot{\theta}\dot{\phi} +\frac{1}{12}ma^2\dot{\phi}^2 +\frac{1}{12}m\dot{r}^2 .$$ よって 2 次のラグランジアンは、定数項を除いて $$L=\frac{m}{12}\dot{r}^2-\frac{mg}{12\ell}r^2 +ma^2\dot{\theta}^2 +\frac{1}{3}ma^2\dot{\theta}\dot{\phi} +\frac{1}{12}ma^2\dot{\phi}^2 -\frac{2}{3}mga\theta^2 -\frac{1}{12}mga\phi^2 .$$
9. $r$ についての方程式は $$\frac{m}{6}\ddot{r}+\frac{mg}{6\ell}r=0, \qquad \ddot{r}+\frac{g}{\ell}r=0 .$$ したがって $r$ は $\theta,\phi$ から分離した基準座標であり、 $$T_r=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} .$$
10. $\theta,\phi$ については $$6\ddot{\theta}+\ddot{\phi}+\frac{4g}{a}\theta=0, \qquad 2\ddot{\theta}+\ddot{\phi}+\frac{g}{a}\phi=0 .$$ これを $$\ddot{\theta}=-\frac{g}{a}\theta+\frac{g}{4a}\phi,\qquad \ddot{\phi}=\frac{2g}{a}\theta-\frac{3g}{2a}\phi$$ と解く。$Q_1=4\theta+\phi,\ Q_2=2\theta-\phi$ とおくと $$\ddot{Q}_1=-\frac{g}{2a}Q_1,\qquad \ddot{Q}_2=-\frac{2g}{a}Q_2 .$$ よって $$A=\frac{g}{2a},\qquad B=\frac{2g}{a}.$$ 相当単振り子の長さはそれぞれ $$\ell_1=\frac{g}{A}=2a,\qquad \ell_2=\frac{g}{B}=\frac{a}{2}.$$