阪大 理学研究科 物理学専攻・宇宙地球科学専攻 物理学 2023年度 院試 解答例・解説

方針

この問題の要点は、中央のばねのポテンシャルを $\frac12k_{AB}(x_A-x_B)^2$ と書けるかどうかである。等質量・等ばね定数の前半では $x_A+x_B$ と $x_A-x_B$ がそのまま基準振動になる。後半では、単独で同じ角振動数をもつという条件により、重心座標と相対座標の交差項が消える。

符号の検算

同相運動 $x_A=x_B$ では中央のばねは伸びないので、角振動数は $\sqrt{k/m}$ のままでなければならない。逆相運動 $x_A=-x_B$ では中央のばねの伸びが $2x_A$ となるため、復元力が強くなり角振動数が大きくなる。この物理的検算により、$\omega_{A-B}$ の $+2k_{AB}$ の符号を確認できる。

典型ミス

重心座標を単純平均 $(x_A+x_B)/2$ としてしまうと、$m_A\ne m_B$ の場合に運動エネルギーが対角化されない。また、$x_r=x_A-x_B$ と定義したなら、中央のばねのエネルギーは符号によらず $\frac12k_{AB}x_r^2$ である。ここで力の符号を直接追うより、ラグランジアンから導く方が誤りにくい。

試験で書くべき点

係数問題では、まず $x_G(t)$ と $x_r(t)$ を初期条件から決め、最後に $x_A,x_B$ へ戻す流れを答案に残すと部分点が取りやすい。特に初速度がどちらも 0 なので、$\sin$ 項の係数がすべて 0 になる理由を一行で示しておくとよい。

方針

この問題は、ローレンツ力、$\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0$、エネルギー保存を順につなぐ構成である。最初に一様磁場で回転の向きと符号を確定し、その符号を非一様磁場の計算にも引き継ぐことが重要である。

物理的な見方

$dB_z/dz>0$ では、進行方向に磁場が強くなる。保存量 $v_\phi^2/B_z$ のため、横方向速度は大きくなる。その分、全運動エネルギー保存により $v_z$ が小さくなり、十分強い磁場に達すると $v_z=0$ となって反射する。これは磁気ミラーの基本機構である。

符号の注意

正電荷で $B_z>0$ の場合、円運動は $+z$ 方向から見ると時計回りである。したがって、問題で定められた正の $\phi$ 方向とは逆向きになり $v_\phi<0$ となる。ここを落とすと $m_z$ と $F_z$ の符号が連鎖的に誤る。

検算

半径 $r\propto B_z^{-1/2}$ は、強い磁場ほどラーマー半径が小さくなるという直観と一致する。また $\Phi=\pi r^2B_z$ が一定であることは、断熱不変量が保たれていることの別表現であり、最後の設問の強い検算になる。

方針

ハミルトニアンは $\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}$ だけで決まる二準位系である。固有値はパウリ行列の代数から一行で決まり、時間発展はエネルギー固有状態に位相因子を付けるだけでよい。磁場の向きが時間変化する後半では、基底そのものの時間微分が $a_1,a_2$ を混合する。

位相の扱い

エネルギーが $-\hbar\omega$ の状態には $e^{+i\omega t}$、$+\hbar\omega$ の状態には $e^{-i\omega t}$ が掛かる。符号を逆にしても確率だけを見る設問では気づきにくいが、(a),(b) の虚数符号で誤りが現れる。

歳差運動の意味

$\langle\sigma_z\rangle=1-2\sin^22\theta\sin^2\omega t$ は、初期スピンが有効磁場方向とずれているときだけ振動する。$n_x=0$ なら $\theta=0$ で振動せず、$n_z=0$ なら振幅が最大になる。これは古典的な歳差運動の量子版として理解できる。

断熱極限と急速極限

ゆっくり回す場合は、状態が瞬間固有状態に追随するため $|\uparrow\rangle$ から $|\downarrow\rangle$ に移る。速く回す場合は、状態ベクトルが実質的に動かないので $|\uparrow\rangle$ のままである。選択肢問題では、全体位相は物理的に区別できないため無視してよい。

方針

調和トラップでは「体積」に相当する量が普通の箱の体積ではなく、熱的な広がり $l_{\mathrm{th}}^3$ で決まる。古典分配関数を $Z_1=(l_{\mathrm{th}}/\lambda_{\mathrm{th}})^3$ と見直すと、自由エネルギーが $\rho\lambda_{\mathrm{th}}^3$ だけで書ける理由が明確になる。

長さの意味

$l_{\mathrm{th}}$ はポテンシャルエネルギーが熱エネルギーと同程度になる空間的広がりであり、温度が高いほど大きく、トラップが強いほど小さい。一方 $\lambda_{\mathrm{th}}$ は量子波束の熱的な波長で、温度が低いほど大きい。量子統計性は、この二つの比を通じて現れる。

凝縮条件の読み方

通常相では $\mu<e_g$ で、$A=\beta(e_g-\mu)>0$ である。温度を下げると $N(\beta\hbar\omega)^3$ が増加するが、励起状態が受け入れられる粒子数には $I(0)$ による上限がある。その上限に達した後、化学ポテンシャルは $e_g$ を超えられず、基底状態の占有数だけが巨視的に増える。

典型ミス

$N!$ を入れ忘れると古典自由エネルギーの $1-\ln(\rho\lambda_{\mathrm{th}}^3)$ が得られない。また、状態密度の係数 $C$ は縮退度 $g_s\simeq s^2/2$ から決まるため、単に3次元だから $s^2$ としてしまうと係数が2倍ずれる。

検算

$C=1/2$ を用いると、臨界温度は $T_c\propto \omega N^{1/3}$ となる。粒子数を増やすほど、またトラップを強くするほど凝縮温度が上がるという物理的傾向と一致している。