阪大 理学研究科 物理学専攻・宇宙地球科学専攻 物理学 2021年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

I. 斥力型 $1/r$ ポテンシャル

極座標で $$T=\frac{m}{2}\left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2\right),\qquad U(r)=\frac{\alpha}{r}$$ であるから $$L_{\mathrm{lag}}=\frac{m}{2}\left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2\right)-\frac{\alpha}{r}.$$ Euler--Lagrange 方程式は $$m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)=\frac{\alpha}{r^2},\qquad \frac{d}{dt}\left(mr^2\dot\theta\right)=0.$$ したがって角運動量の大きさを $$\ell=mr^2\dot\theta$$ とおくと $\ell$ は保存する。問題文で角運動量を $L$ と書く流儀に合わせるなら、以下の $\ell$ を $L$ と読めばよい。

$u=1/r$ とおく。標準的な Binet の式から $$\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=-\frac{m\alpha}{\ell^2}$$ を得るので、 $$u=A\cos(\theta-\theta_0)-\frac{m\alpha}{\ell^2}.$$ よって軌道は $$r=\frac{1}{A\cos(\theta-\theta_0)-m\alpha/\ell^2}$$ である。

散乱では、入射側の無限遠で角運動量は $$\ell=mbv_0$$ である。最接近方向を $\theta=0$ にとると、無限遠では $u=0$ だから $$\cos\theta_1=\frac{m\alpha}{A\ell^2}.$$ また $$\dot r=-\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\theta}\dot\theta =-\frac{\ell}{m}\frac{du}{d\theta} =\frac{\ell A}{m}\sin\theta$$ であり、無限遠で速さが $v_0$ になるため $$\sin\theta_1=\frac{mv_0}{A\ell}.$$ 散乱角を $\phi_s=\pi-2\theta_1$ とすれば $$\tan\frac{\phi_s}{2}=\cot\theta_1 =\frac{\cos\theta_1}{\sin\theta_1} =\frac{\alpha}{\ell v_0} =\frac{\alpha}{mbv_0^2}.$$

II. 引力型 $r^{-n}$ ポテンシャル

$$U(r)=-\frac{\beta}{r^n},\qquad L_{\mathrm{lag}}=\frac{m}{2}\left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2\right)+\frac{\beta}{r^n}.$$ 運動方程式は $$m(\ddot r-r\dot\theta^2)=-\frac{n\beta}{r^{n+1}},\qquad \frac{d}{dt}(mr^2\dot\theta)=0.$$ 半径 $r_0$、角速度 $\omega_0$ の等速円運動では $$m r_0\omega_0^2=\frac{n\beta}{r_0^{n+1}}, \qquad m\omega_0^2r_0^{n+2}=n\beta.$$

角運動量を固定して動径の安定性を調べるには、有効ポテンシャル $$U_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{\ell^2}{2mr^2}-\frac{\beta}{r^n}$$ を使う。円軌道条件 $U_{\mathrm{eff}}'(r_0)=0$ より $$\frac{\ell^2}{m}=n\beta r_0^{2-n}.$$ 二階微分は $$U_{\mathrm{eff}}''(r_0) =\frac{3\ell^2}{mr_0^4}-\frac{n(n+1)\beta}{r_0^{n+2}} =\frac{n\beta(2-n)}{r_0^{n+2}}.$$ したがって微小動径振動が可能なのは $$U_{\mathrm{eff}}''(r_0)>0$$ のとき、すなわち $$0<n<2$$ である。このとき動径振動の角振動数は $\omega_r=\omega_0\sqrt{2-n}$ である。