阪大 理学研究科 物理学専攻・宇宙地球科学専攻 物理学 2021年度 院試 解答例・解説

方針

中心力では、まず角運動量保存を出してから $u=1/r$ に移るのが最短である。散乱角は、軌道式そのものよりも無限遠での幾何と動径速度から $\cos\theta_1,\sin\theta_1$ を求めると計算が崩れにくい。

検算

$\alpha$ が小さい極限では $\tan(\phi_s/2)\to 0$ となり、散乱角も小さくなる。衝突パラメータ $b$ や入射エネルギー $mv_0^2/2$ が大きいほど曲がりにくいことも式と合っている。

典型ミス

$U=\alpha/r$ は斥力であり、力は $+\alpha r^{-2}\mathbf e_r$ 向きである。ここで符号を引力型と取り違えると、Binet 方程式の定数項と散乱角の式が同時に反転する。また、安定条件では力の式を直接線形化するより、有効ポテンシャルの二階微分で判定する方が安全である。

方針

回転する帯電球殻は、表面電流を直接積分してもよいが、一様磁化球との対応を見抜くと後半が大幅に短くなる。鍵は $$\mathbf K=\sigma\omega R\sin\theta\,\mathbf e_\phi$$ が $\mathbf K_b=\mathbf M\times\mathbf n$ と同じ形をしていることである。

検算

全電荷 $Q=4\pi R^2\sigma$ を用いると $$m=\frac{1}{3}Q\omega R^2$$ であり、回転する一様帯電球殻の既知公式と一致する。また $\omega=0$ または $\sigma=0$ で磁場が消える。

典型ミス

帯の面積に $\sin\theta$ が一つ、ループ面積に $\sin^2\theta$ が入るため、$dm$ は $\sin^3\theta$ に比例する。ここを $\sin^2\theta$ で止めると全双極子モーメントがずれる。磁荷面密度は $\eta$ そのものではなく法線成分 $\eta\cos\theta$ である。

方針

一次元は昇降演算子、二次元は $x,y$ 方向の独立な振動子として処理する。縮重した第一励起状態では、実基底 $\Phi_x,\Phi_y$ のままだと角運動量が対角化されないので、複素線形結合に取り替える。

検算

$B$ が微小なとき $$E_{1,\pm}(B)=2\hbar\omega\pm\frac{e\hbar B}{2m}+O(B^2)$$ であり、一次摂動 $W_1=(e/2m)L_z$ と一致する。基底状態は角運動量を持たないため一次の Zeeman 分裂を受けない。

典型ミス

電子の電荷を $-e$ としつつ、問題では $(p+eA)$ の形で書かれている。ここで符号を勝手に $(p-eA)$ に変えると磁気モーメントの符号が逆になる。また、$\omega\to0$ 極限では $\Omega=e|B|/(2m)$ となるため、$B$ の符号と絶対値を区別する。

方針

前半は通常の $dU=T\,dS-p\,dV$ と符号が違うため、与えられた熱力学第一法則から機械的に Legendre 変換するのが安全である。後半は独立な二準位系なので、分配関数からエネルギーを出してから $T$ で微分する。

検算

$C_M=C_H-T\alpha^2/\chi$ は、通常の $C_p-C_V$ 型の関係と同じ構造を持つ。安定な常磁性体では $\chi>0$ なので、磁化を固定すると磁場一定より熱容量が小さくなる。

典型ミス

$G=U-TS-HM$ の微分で $H\,dM$ が相殺されることを確認しないまま符号を暗記すると、Maxwell 関係式の符号を誤る。統計力学では $\beta=1/(kT)$ の $T$ 微分で負号が出るが、エネルギー全体にも負号があるため熱容量は正になる。