阪大 理学研究科 物理学専攻・宇宙地球科学専攻 物理学 2022年度 院試 解答例・解説

方針

前半は剛体振り子であり、支点まわりの角運動量とエネルギー保存を使う。後半は支点が動くため、台の水平運動と棒の回転が速度交差項 $Ma\dot{x}\dot{\theta}$ で結合する。ここを落とすと角振動数が正しく出ない。

支点まわりと重心まわりの慣性モーメント

支点が棒の端にあるので、支点まわりは $I$ ではなく $I+Ma^2$ である。特に $m\to\infty$ の極限では、可動台の問題が固定支点の問題に戻るため、分母が $I+Ma^2=I_O$ になることがよい検算になる。

水平運動量保存

可動台の系には外力の水平成分がない。したがって $$(m+M)\dot{x}+Ma\dot{\theta}=0$$ はラグランジアンから出るだけでなく、水平運動量保存そのものである。初期条件を入れると重心の水平位置に関する拘束が得られ、連立方程式を一つの単振動に落とせる。

極限の検算

$m=0$ では支点が質量をもたず、棒の重心が水平方向に動かない。このため復元に寄与する慣性は重心まわりの $I$ だけになる。一方 $m\to\infty$ では支点固定となり、慣性は $I_O$ になる。有限 $m$ の分母 $$I+\frac{mM}{m+M}a^2$$ はこの二つの極限を正しく結んでいる。

典型ミス

$\cos\theta$ を最初から $1$ にするのはラグランジアンの二次近似では許されるが、運動エネルギーの厳密式を求める設問では不可である。また、ポテンシャルを $Mga(1-\cos\theta)$ と置いてもよいが、基準が $y=0$ なら厳密には $U=-Mga\cos\theta$ であり、定数を捨てる段階を明示すると答案が安定する。

方針

円環の問題は、対称性で消える成分を先に見抜くと計算量が大きく減る。軸上の静電場は $z$ 成分のみ、原点近傍の電場は $(x,y,z)$ の一次式、原点近傍の磁場は一様な $z$ 方向磁場になる。

原点近傍の電場の符号

$$\mathbf{E}_{\mathrm{near}}=\frac{q}{4\varepsilon_0a^2}(-x,-y,2z)$$ は原点が安定平衡でないことを示す。$q>0$ なら正の試験電荷は $xy$ 方向で原点へ、$z$ 方向で原点から離れる。逆符号の点電荷ではこの向きが反転し、問題で問われる向きになる。

電流と角運動量

電流の向きは電荷の符号を含む。したがって $I=qa\omega$ と書くのが安全であり、$q<0$ なら角速度ベクトルと磁場の向きは反対になる。ベクトル式 $$\mathbf{B}=\frac{\mu_0q}{2I_C}\mathbf{L}$$ はこの符号を自動的に含んでいる。

双極子場の検算

遠方場は $r^{-3}$ で減衰する。上で得た $$\mathbf{B} = \frac{\mu_0Ia^2}{4r^5} (3xz,3yz,2z^2-x^2-y^2)$$ も各成分の分子が長さ二乗なので、全体として $r^{-3}$ の次元を持つ。軸上で $+z$ 向き、赤道面で $-z$ 向きになることも、磁気双極子の標準的な形と一致する。

典型ミス

ベクトルポテンシャルの近似で零次項を残してしまう誤りが多い。閉曲線では $\int_C d\mathbf{r}'=\mathbf{0}$ なので、最初に寄与するのは一次項である。また、相互作用エネルギーは常に $-\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}$ であり、磁場の向きが位置によって変わるため、軸上と赤道面で符号が入れ替わる。

方針

デルタ関数ポテンシャルでは、波動関数は連続だが微分は不連続になる。この不連続条件を正しい符号で書ければ、単一散乱中心の反射・透過はすぐ決まる。二重散乱中心は、散乱中心での変換 $Z$ と自由伝播の位相 $Y$ を順に掛ける問題である。

不連続条件の符号

ポテンシャルが $-V_0\delta(x)$ であるため、 $$\phi'(0+)-\phi'(0-)=-\frac{2mV_0}{\hbar^2}\phi(0)$$ となる。ここで符号を逆にしても確率だけは同じ形に見えることがあるが、後半の合成で位相がずれ、行列要素の符号を誤る。

確率保存の検算

単一散乱中心では $$|r|^2+|t|^2=\frac{1+\omega^2}{1+\omega^2}=1.$$ 二重散乱中心の $qa=2n\pi$ の場合も $$|r_2|^2+|t_2|^2=\frac{4+\omega^2}{4+\omega^2}=1.$$ 透過側と入射側の波数が同じなので、振幅の絶対値二乗をそのまま反射率・透過率としてよい。

物理的意味

$qa=2n\pi$ では二つの散乱中心の間を進む波が一周期の整数倍だけ位相を得る。結果として二つのデルタ関数の効果が同位相で重なり、実効的には強さが二倍のデルタ関数に近い反射率になる。高エネルギーでは $$|r|^2\simeq \frac{1}{\omega^2},\qquad |r_2|^2\simeq \frac{4}{\omega^2}$$ となり、反射振幅が二倍、反射率が四倍になることが読み取れる。

典型ミス

行列の順序を $YZZ$ や $ZZY$ としてしまうと、物理的な通過順序と合わない。左から、第一散乱中心、自由伝播、第二散乱中心の順なので $X=ZYZ$ である。また、$Y=I$ となるのは $qa=2n\pi$ のときであり、任意の距離で二つのポテンシャルを単純に足してよいわけではない。

方針

前半は熱力学ポテンシャルの自然変数を丁寧に追う問題である。後半は、表面自由エネルギーの体積微分が圧力差を生み、その圧力差がギブス・デュエム関係式を通じて飽和蒸気圧の曲率依存性を与える。

ギブス・デュエム関係式の意味

$T,P,\mu$ はすべて示強変数なので、一成分一相の平衡状態では独立に三つを指定できない。式 $$d\mu=-s\,dT+v\,dP$$ は、温度一定なら圧力を上げるほど化学ポテンシャルが $v\,dP$ だけ増えることを表す。水滴の問題では液体と気体で $v$ が大きく異なることが本質である。

状態密度の検算

三次元自由粒子の状態密度は $\varepsilon^{1/2}$ に比例する。これは半径 $p$ の運動量空間の球殻面積が $p^2$ に比例し、$\varepsilon\propto p^2$ であるためである。指数 $a=1/2$ が出ない場合は、$dp/d\varepsilon$ の因子を落としている可能性が高い。

表面項から圧力差が出る理由

表面自由エネルギーが $\gamma V^{2/3}$ なら、その体積微分は $$\frac{d}{dV}\gamma V^{2/3}=\frac{2\gamma}{3}V^{-1/3}$$ である。半径が小さいほど曲率が大きく、必要な内外圧差が大きい。風船が小さいときに膨らませにくいという記述は、この $V^{-1/3}$ 依存性の物理的解釈である。

飽和蒸気圧の曲率補正

水滴では液体側の圧力が気体側より高い。気液間で化学ポテンシャルを一致させるには、曲率が大きい小滴ほど気体側の化学ポテンシャル、すなわち蒸気圧も高くなる。最終結果 $$P_G(V)>P_\infty$$ はこの直観と一致する。

典型ミス

$P_L=P_G+BV^b$ を微分するとき、$P_G$ も $V$ の関数であることを忘れない。また、$b=-1/3$ なので $BbV^{b-1}$ は負であり、$V$ が大きくなるほど飽和蒸気圧が下がって $P_\infty$ に近づく。符号の検算としてこの単調性を必ず確認するとよい。