ハミルトン形式正準方程式・ポアソン括弧・正準変換

ハミルトン形式では一般化座標 $q_i$ と一般化運動量 $p_i = \partial L/\partial \dot{q}_i$ を独立な変数とし、ハミルトニアン $H = \sum_i p_i\dot{q}_i - L$ を $q, p, t$ の関数として書く。運動は1階の連立方程式 $\dot{q}_i = \partial H/\partial p_i$ 、 $\dot{p}_i = -\partial H/\partial q_i$ で決まる。物理量 $f$ の時間変化はポアソン括弧で $\dot{f} = \{f, H\} + \partial f/\partial t$ と書け、 $\{q, p\} = 1$ を保つ変数変換が正準変換である。

解析力学の第2単元（全2単元）。先に読む単元：ラグランジュ形式

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一般化運動量とハミルトニアン

定義

ハミルトニアン

ラグランジアン $L(q, \dot{q}, t)$ から一般化運動量 $p_i = \partial L/\partial \dot{q}_i$ を定め、この式を $\dot{q}_i$ について解いて $\dot{q}_i = \dot{q}_i(q, p, t)$ とする。

H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot{q}_i - L

の右辺から $\dot{q}$ を消して $q, p, t$ で表したものをハミルトニアンという（ルジャンドル変換）。 $(q, p)$ のつくる $2n$ 次元の空間を位相空間という。

$\dot{q}$ について解けるためには、行列 $\partial^2 L/\partial \dot{q}_i\partial \dot{q}_j$ が正則である必要がある。通常の $T = \frac{1}{2}\sum T_{ij}(q)\dot{q}_i\dot{q}_j$ では $T_{ij}$ が正定値なので解ける。 $H$ を作るときは、 $\dot{q}$ を残したまま $p\dot{q} - L$ を書いて終わりにせず、必ず $p$ で書き直す。

ハミルトンの正準方程式

定理・法則

正準方程式

条件

$L$ がラグランジュ方程式を満たし、ルジャンドル変換が可能（上の行列が正則）である。

主張

\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}, \qquad \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}

要点

$dH = \sum(\dot{q}_i\,dp_i - \dot{p}_i\,dq_i) - \frac{\partial L}{\partial t}dt$ を計算し、ラグランジュ方程式 $\dot{p}_i = \partial L/\partial q_i$ を使うと出る。 $n$ 個の2階の方程式が $2n$ 個の1階の方程式になる。

定理・法則

ハミルトニアンの保存とエネルギー

条件

保存するための条件は $H$ が時間を陽に含まないこと。 $H = T + U$ となる条件は、一般化座標と直交座標の関係が時間を含まず、 $U$ が速度を含まないこと。

主張

\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} = 0 \ \Rightarrow \ H = \text{一定}

要点

2つの条件は別のものである。回転する枠に拘束された系では $H$ が保存しても $T + U$ と異なる。逆に $H = T + U$ でも、 $U$ が時間を含めば保存しない。

定理・法則

リウヴィルの定理

条件

系の時間発展が正準方程式で与えられる。

主張

位相空間の領域の体積は時間発展で変わらない。

要点

位相空間の流れ $(\dot{q}, \dot{p})$ の発散が $\partial^2 H/\partial q\partial p - \partial^2 H/\partial p\partial q = 0$ になることから出る。統計力学で等確率の仮定を使う根拠の一つになる。

ポアソン括弧と正準変換の判定

定義

ポアソン括弧

位相空間上の関数 $f, g$ に対して

\{f, g\} = \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)

と定める。符号の順序は教科書で逆の流儀もあるので、ここではこの定義を使う。

ポアソン括弧の性質

時間発展: $\frac{df}{dt} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}$
$f$ が時間を陽に含まず $\{f, H\} = 0$ なら、 $f$ は保存量である。
基本括弧: $\{q_i, q_j\} = 0, \quad \{p_i, p_j\} = 0, \quad \{q_i, p_j\} = \delta_{ij}$
反対称性と線形性: $\{f, g\} = -\{g, f\}, \qquad \{af + bg, h\} = a\{f, h\} + b\{g, h\}$
ライプニッツ則: $\{fg, h\} = f\{g, h\} + \{f, h\}g$
ヤコビ恒等式: $\{f, \{g, h\}\} + \{g, \{h, f\}\} + \{h, \{f, g\}\} = 0$
2つの保存量のポアソン括弧も保存量になる（ポアソンの定理）。
角運動量: $\{L_x, L_y\} = L_z, \quad \{L_y, L_z\} = L_x, \quad \{L_z, L_x\} = L_y$

定理・法則

正準変換の判定

条件

自由度 1 の変数変換 $(q, p) \to (Q, P)$ が時間を含まず、逆変換ができる。

主張

変換が正準である（新しい変数でも正準方程式が同じ形で成り立ち、新しいハミルトニアンは $K(Q, P) = H$ になる）ための条件は

\{Q, P\}_{q, p} = \frac{\partial Q}{\partial q}\frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p}\frac{\partial P}{\partial q} = 1

要点

$\{Q, P\}_{q,p} = 1$ は、変換のヤコビ行列式が $1$ であることと同じである。自由度 $n$ では、すべての $Q_i, P_j$ について基本括弧が保たれることが条件になる。時間を含む変換では $K = H + \partial F/\partial t$ （ $F$ は母関数）となる。

ハミルトン形式の計算例

計算例

調和振動子の位相空間の軌道

$L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}m\omega^2x^2$ からハミルトニアンと正準方程式を求め、エネルギー $E$ の軌道が囲む位相空間の面積を求めよ。

解答

$p = m\dot{x}$ から $\dot{x} = p/m$ 。

H = p\dot{x} - L = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2, \qquad \dot{x} = \frac{p}{m}, \qquad \dot{p} = -m\omega^2x

$H = E$ の軌道は半軸 $\sqrt{2E/(m\omega^2)}$ と $\sqrt{2mE}$ の楕円で、面積は $\pi\sqrt{2E/(m\omega^2)}\sqrt{2mE} = 2\pi E/\omega$ 。

検算

2式から $p$ を消すと $\ddot{x} = -\omega^2x$ でニュートンの式に戻る。面積の次元は $\mathrm{J}/\mathrm{s^{-1}} = \mathrm{J\,s}$ で、作用の次元である。

計算例

中心力のハミルトニアン

平面内で $U(r)$ を受ける質点のハミルトニアンを極座標で求めよ。

解答

$L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2) - U(r)$ から $p_r = m\dot{r}$ 、 $p_\phi = mr^2\dot{\phi}$ 。 $\dot{r} = p_r/m$ 、 $\dot{\phi} = p_\phi/(mr^2)$ を代入して

H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\phi^2}{2mr^2} + U(r)

$H$ は $\phi$ を含まないので $\dot{p}_\phi = -\partial H/\partial \phi = 0$ で、角運動量が保存する。

検算

$\dot{p}_r = -\partial H/\partial r = p_\phi^2/(mr^3) - U'(r)$ は、ラグランジュ形式の $m\ddot{r} = mr\dot{\phi}^2 - U'(r)$ と一致する。座標変換が時間を含まないので $H = T + U$ である。

計算例

電磁場中の荷電粒子

$L = \frac{1}{2}m\dot{\boldsymbol{r}}^2 - q\phi + q\dot{\boldsymbol{r}}\cdot\boldsymbol{A}$ のハミルトニアンを求めよ。

解答

正準運動量は $\boldsymbol{p} = m\dot{\boldsymbol{r}} + q\boldsymbol{A}$ で、 $\dot{\boldsymbol{r}} = (\boldsymbol{p} - q\boldsymbol{A})/m$ 。

H = \boldsymbol{p}\cdot\dot{\boldsymbol{r}} - L = \frac{(\boldsymbol{p} - q\boldsymbol{A})^2}{2m} + q\phi

検算

$\boldsymbol{A} = \boldsymbol{0}$ で通常の $p^2/(2m) + q\phi$ に戻る。一様な磁場 $\boldsymbol{B} = B\boldsymbol{e}_z$ で $\boldsymbol{A} = \frac{B}{2}(-y, x, 0)$ とすると、ラグランジュ方程式は $m\ddot{x} = qB\dot{y}$ 、 $m\ddot{y} = -qB\dot{x}$ となり、 $q\dot{\boldsymbol{r}} \times \boldsymbol{B}$ の成分と一致する。

計算例

角運動量のポアソン括弧と正準変換

$L_x = yp_z - zp_y$ 、 $L_y = zp_x - xp_z$ について $\{L_x, L_y\}$ を計算せよ。また、変換 $x = \sqrt{2P/(m\omega)}\sin Q$ 、 $p = \sqrt{2m\omega P}\cos Q$ が調和振動子のハミルトニアンを $H = \omega P$ にする正準変換であることを確かめよ。

解答

定義に代入すると、残るのは $z$ と $p_z$ による項だけで

\{L_x, L_y\} = \frac{\partial L_x}{\partial z}\frac{\partial L_y}{\partial p_z} - \frac{\partial L_x}{\partial p_z}\frac{\partial L_y}{\partial z} = (-p_y)(-x) - y\,p_x = xp_y - yp_x = L_z

変換については $\{x, p\}_{Q, P} = \frac{\partial x}{\partial Q}\frac{\partial p}{\partial P} - \frac{\partial x}{\partial P}\frac{\partial p}{\partial Q} = \cos^2Q + \sin^2Q = 1$ となる。これはヤコビ行列式が $1$ であることを表し、 $\{Q, P\}_{x, p} = 1$ と同値なので、変換は正準である。代入すると $H = \omega P(\cos^2Q + \sin^2Q) = \omega P$ 。

検算

新しい変数の正準方程式は $\dot{Q} = \omega$ 、 $\dot{P} = 0$ で、 $Q = \omega t + \delta$ 。元に戻すと $x \propto \sin(\omega t + \delta)$ の単振動になる。 $P = E/\omega$ は位相空間の面積 $2\pi E/\omega$ を $2\pi$ で割った作用変数である。

答案でよくある誤り

1
$H = p\dot{q} - L$ を $\dot{q}$ を残したまま正準方程式に使う。 $\dot{q}$ を $p$ で書き直してから偏微分する。
2
$H$ をいつも $T + U$ とおく。座標変換が時間を含む場合や、速度によるポテンシャルがある場合は、ルジャンドル変換で求める。荷電粒子では運動エネルギーが $(\boldsymbol{p} - q\boldsymbol{A})^2/(2m)$ の形になる。
3
正準運動量 $\boldsymbol{p}$ と運動学的運動量 $m\dot{\boldsymbol{r}}$ を区別しない。磁場中では $\boldsymbol{p} = m\dot{\boldsymbol{r}} + q\boldsymbol{A}$ で、ゲージの取り方で値が変わる。
4
ポアソン括弧の符号の流儀を混ぜる。答案の最初に定義を書き、 $\{q, p\} = 1$ になるかで符号を確かめる。
5
変数変換をすれば正準方程式がいつも同じ形になると考える。 $\{Q, P\} = 1$ を満たさない変換では、新しい変数で正準方程式の形が保たれない。

ハミルトン形式が出た院試の過去問

院試hubが年度別解説の大問を分類した集計から、この単元の内容を扱う出題を挙げる。問題文は各大学の公式過去問で確かめ、解き方は各年度の解説ページで読める。