# ハミルトン形式｜正準方程式・ポアソン括弧・正準変換

> ルジャンドル変換によるハミルトニアンの作り方、ハミルトンの正準方程式、ハミルトニアンが保存しエネルギーに等しい条件、ポアソン括弧と正準変換の判定を解説。調和振動子、中心力、荷電粒子、角運動量の計算例も載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16
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ハミルトン形式では一般化座標 $q_i$ と一般化運動量 $p_i = \partial L/\partial \dot{q}_i$ を独立な変数とし、ハミルトニアン $H = \sum_i p_i\dot{q}_i - L$ を $q, p, t$ の関数として書く。運動は1階の連立方程式 $\dot{q}_i = \partial H/\partial p_i$、$\dot{p}_i = -\partial H/\partial q_i$ で決まる。物理量 $f$ の時間変化はポアソン括弧で $\dot{f} = \{f, H\} + \partial f/\partial t$ と書け、$\{q, p\} = 1$ を保つ変数変換が正準変換である。

## 一般化運動量とハミルトニアン

### 定義：ハミルトニアン

ラグランジアン $L(q, \dot{q}, t)$ から一般化運動量 $p_i = \partial L/\partial \dot{q}_i$ を定め、この式を $\dot{q}_i$ について解いて $\dot{q}_i = \dot{q}_i(q, p, t)$ とする。

$$H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot{q}_i - L$$

の右辺から $\dot{q}$ を消して $q, p, t$ で表したものをハミルトニアンという（ルジャンドル変換）。$(q, p)$ のつくる $2n$ 次元の空間を位相空間という。

$\dot{q}$ について解けるためには、行列 $\partial^2 L/\partial \dot{q}_i\partial \dot{q}_j$ が正則である必要がある。通常の $T = \frac{1}{2}\sum T_{ij}(q)\dot{q}_i\dot{q}_j$ では $T_{ij}$ が正定値なので解ける。$H$ を作るときは、$\dot{q}$ を残したまま $p\dot{q} - L$ を書いて終わりにせず、必ず $p$ で書き直す。

## ハミルトンの正準方程式

### 定理・法則：正準方程式

条件：

$L$ がラグランジュ方程式を満たし、ルジャンドル変換が可能（上の行列が正則）である。

主張：

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}, \qquad \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}$$

要点：

$dH = \sum(\dot{q}_i\,dp_i - \dot{p}_i\,dq_i) - \frac{\partial L}{\partial t}dt$ を計算し、ラグランジュ方程式 $\dot{p}_i = \partial L/\partial q_i$ を使うと出る。$n$ 個の2階の方程式が $2n$ 個の1階の方程式になる。

### 定理・法則：ハミルトニアンの保存とエネルギー

条件：

保存するための条件は $H$ が時間を陽に含まないこと。$H = T + U$ となる条件は、一般化座標と直交座標の関係が時間を含まず、$U$ が速度を含まないこと。

主張：

$$\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} = 0 \ \Rightarrow \ H = \text{一定}$$

要点：

2つの条件は別のものである。回転する枠に拘束された系では $H$ が保存しても $T + U$ と異なる。逆に $H = T + U$ でも、$U$ が時間を含めば保存しない。

### 定理・法則：リウヴィルの定理

条件：

系の時間発展が正準方程式で与えられる。

主張：

位相空間の領域の体積は時間発展で変わらない。

要点：

位相空間の流れ $(\dot{q}, \dot{p})$ の発散が $\partial^2 H/\partial q\partial p - \partial^2 H/\partial p\partial q = 0$ になることから出る。統計力学で等確率の仮定を使う根拠の一つになる。

## ポアソン括弧と正準変換の判定

### 定義：ポアソン括弧

位相空間上の関数 $f, g$ に対して

$$\{f, g\} = \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)$$

と定める。符号の順序は教科書で逆の流儀もあるので、ここではこの定義を使う。

### ポアソン括弧の性質

- 時間発展

  $$\frac{df}{dt} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}$$

  $f$ が時間を陽に含まず $\{f, H\} = 0$ なら、$f$ は保存量である。

- 基本括弧

  $$\{q_i, q_j\} = 0, \quad \{p_i, p_j\} = 0, \quad \{q_i, p_j\} = \delta_{ij}$$

- 反対称性と線形性

  $$\{f, g\} = -\{g, f\}, \qquad \{af + bg, h\} = a\{f, h\} + b\{g, h\}$$

- ライプニッツ則

  $$\{fg, h\} = f\{g, h\} + \{f, h\}g$$

- ヤコビ恒等式

  $$\{f, \{g, h\}\} + \{g, \{h, f\}\} + \{h, \{f, g\}\} = 0$$

  2つの保存量のポアソン括弧も保存量になる（ポアソンの定理）。

- 角運動量

  $$\{L_x, L_y\} = L_z, \quad \{L_y, L_z\} = L_x, \quad \{L_z, L_x\} = L_y$$

### 定理・法則：正準変換の判定

条件：

自由度 1 の変数変換 $(q, p) \to (Q, P)$ が時間を含まず、逆変換ができる。

主張：

変換が正準である（新しい変数でも正準方程式が同じ形で成り立ち、新しいハミルトニアンは $K(Q, P) = H$ になる）ための条件は

$$\{Q, P\}_{q, p} = \frac{\partial Q}{\partial q}\frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p}\frac{\partial P}{\partial q} = 1$$

要点：

$\{Q, P\}_{q,p} = 1$ は、変換のヤコビ行列式が $1$ であることと同じである。自由度 $n$ では、すべての $Q_i, P_j$ について基本括弧が保たれることが条件になる。時間を含む変換では $K = H + \partial F/\partial t$（$F$ は母関数）となる。

## ハミルトン形式の計算例

### 計算例：調和振動子の位相空間の軌道

$L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}m\omega^2x^2$ からハミルトニアンと正準方程式を求め、エネルギー $E$ の軌道が囲む位相空間の面積を求めよ。

解答：

$p = m\dot{x}$ から $\dot{x} = p/m$。

$$H = p\dot{x} - L = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2, \qquad \dot{x} = \frac{p}{m}, \qquad \dot{p} = -m\omega^2x$$

$H = E$ の軌道は半軸 $\sqrt{2E/(m\omega^2)}$ と $\sqrt{2mE}$ の楕円で、面積は $\pi\sqrt{2E/(m\omega^2)}\sqrt{2mE} = 2\pi E/\omega$。

検算：

2式から $p$ を消すと $\ddot{x} = -\omega^2x$ でニュートンの式に戻る。面積の次元は $\mathrm{J}/\mathrm{s^{-1}} = \mathrm{J\,s}$ で、作用の次元である。

### 計算例：中心力のハミルトニアン

平面内で $U(r)$ を受ける質点のハミルトニアンを極座標で求めよ。

解答：

$L = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2) - U(r)$ から $p_r = m\dot{r}$、$p_\phi = mr^2\dot{\phi}$。$\dot{r} = p_r/m$、$\dot{\phi} = p_\phi/(mr^2)$ を代入して

$$H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\phi^2}{2mr^2} + U(r)$$

$H$ は $\phi$ を含まないので $\dot{p}_\phi = -\partial H/\partial \phi = 0$ で、角運動量が保存する。

検算：

$\dot{p}_r = -\partial H/\partial r = p_\phi^2/(mr^3) - U'(r)$ は、ラグランジュ形式の $m\ddot{r} = mr\dot{\phi}^2 - U'(r)$ と一致する。座標変換が時間を含まないので $H = T + U$ である。

### 計算例：電磁場中の荷電粒子

$L = \frac{1}{2}m\dot{\boldsymbol{r}}^2 - q\phi + q\dot{\boldsymbol{r}}\cdot\boldsymbol{A}$ のハミルトニアンを求めよ。

解答：

正準運動量は $\boldsymbol{p} = m\dot{\boldsymbol{r}} + q\boldsymbol{A}$ で、$\dot{\boldsymbol{r}} = (\boldsymbol{p} - q\boldsymbol{A})/m$。

$$H = \boldsymbol{p}\cdot\dot{\boldsymbol{r}} - L = \frac{(\boldsymbol{p} - q\boldsymbol{A})^2}{2m} + q\phi$$

検算：

$\boldsymbol{A} = \boldsymbol{0}$ で通常の $p^2/(2m) + q\phi$ に戻る。一様な磁場 $\boldsymbol{B} = B\boldsymbol{e}_z$ で $\boldsymbol{A} = \frac{B}{2}(-y, x, 0)$ とすると、ラグランジュ方程式は $m\ddot{x} = qB\dot{y}$、$m\ddot{y} = -qB\dot{x}$ となり、$q\dot{\boldsymbol{r}} \times \boldsymbol{B}$ の成分と一致する。

### 計算例：角運動量のポアソン括弧と正準変換

$L_x = yp_z - zp_y$、$L_y = zp_x - xp_z$ について $\{L_x, L_y\}$ を計算せよ。また、変換 $x = \sqrt{2P/(m\omega)}\sin Q$、$p = \sqrt{2m\omega P}\cos Q$ が調和振動子のハミルトニアンを $H = \omega P$ にする正準変換であることを確かめよ。

解答：

定義に代入すると、残るのは $z$ と $p_z$ による項だけで

$$\{L_x, L_y\} = \frac{\partial L_x}{\partial z}\frac{\partial L_y}{\partial p_z} - \frac{\partial L_x}{\partial p_z}\frac{\partial L_y}{\partial z} = (-p_y)(-x) - y\,p_x = xp_y - yp_x = L_z$$

変換については $\{x, p\}_{Q, P} = \frac{\partial x}{\partial Q}\frac{\partial p}{\partial P} - \frac{\partial x}{\partial P}\frac{\partial p}{\partial Q} = \cos^2Q + \sin^2Q = 1$ となる。これはヤコビ行列式が $1$ であることを表し、$\{Q, P\}_{x, p} = 1$ と同値なので、変換は正準である。代入すると $H = \omega P(\cos^2Q + \sin^2Q) = \omega P$。

検算：

新しい変数の正準方程式は $\dot{Q} = \omega$、$\dot{P} = 0$ で、$Q = \omega t + \delta$。元に戻すと $x \propto \sin(\omega t + \delta)$ の単振動になる。$P = E/\omega$ は位相空間の面積 $2\pi E/\omega$ を $2\pi$ で割った作用変数である。

## 答案でよくある誤り

1. $H = p\dot{q} - L$ を $\dot{q}$ を残したまま正準方程式に使う。$\dot{q}$ を $p$ で書き直してから偏微分する。
2. $H$ をいつも $T + U$ とおく。座標変換が時間を含む場合や、速度によるポテンシャルがある場合は、ルジャンドル変換で求める。荷電粒子では運動エネルギーが $(\boldsymbol{p} - q\boldsymbol{A})^2/(2m)$ の形になる。
3. 正準運動量 $\boldsymbol{p}$ と運動学的運動量 $m\dot{\boldsymbol{r}}$ を区別しない。磁場中では $\boldsymbol{p} = m\dot{\boldsymbol{r}} + q\boldsymbol{A}$ で、ゲージの取り方で値が変わる。
4. ポアソン括弧の符号の流儀を混ぜる。答案の最初に定義を書き、$\{q, p\} = 1$ になるかで符号を確かめる。
5. 変数変換をすれば正準方程式がいつも同じ形になると考える。$\{Q, P\} = 1$ を満たさない変換では、新しい変数で正準方程式の形が保たれない。

## ハミルトン形式が出た院試の過去問

### [ハミルトン形式](https://inshihub.com/exam-themes/hamiltonian-mechanics)（15大学・86問）

- [九州大学大学院 物理学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-science/physics/2026#problem-1): 物理学I：ねじりばかりと回転系上の球面振り子
- [京都大学 専門科目（物理学） 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/physics-and-astronomy/2026#problem-2): I-2 解析力学(放物面上の質点)
- [名古屋大学大学院 物理学 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-university/graduate-school-of-science/physics/2026#problem-3): 量子力学
- [名古屋工業大学 応用物理 2026年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/applied-physics/2026#problem-4): 量子物理学
- [大阪大学 物理学 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/osaka-university/graduate-school-of-science/physics/2026#problem-3): 一次元量子井戸と散乱
- [広島大学大学院 物理 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/hiroshima-university/graduate-school-of-advanced-science-and-engineering/physics/2026-a#problem-3): 量子力学

解答まで無料で読める演習問題:

- [九州大学大学院 物理学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-science/physics/2026#problem-1): 物理学I：ねじりばかりと回転系上の球面振り子
- [東京大学 専門科目（物理学） 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/physics/specialized-physics/2026#problem-1): 量子力学：周期ポテンシャルとバンドギャップ
- [京都大学 専門科目（物理学） 2025年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/physics-and-astronomy/2025#problem-1): 力学
- [東京大学 専門科目（物理学） 2024年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/physics/specialized-physics/2024#problem-1): 量子力学：反転調和振動子とスクイーズド状態