中心力とケプラーの法則有効ポテンシャル・軌道の方程式・惑星の周期

力が常に一点を向き大きさが距離 $r$ だけで決まる中心力では、角運動量 $\boldsymbol{L}$ と力学的エネルギーが保存し、運動は一つの平面内に限られる。動径方向の運動は、遠心力の項を加えた有効ポテンシャル $U_{\text{eff}}(r) = L^2/(2mr^2) + U(r)$ の中の1次元運動として扱える。逆2乗の引力 $U = -k/r$ では軌道が円錐曲線 $r = p/(1 + e\cos\theta)$ になり、楕円軌道の周期は $T^2 = 4\pi^2a^3/(GM)$ を満たす。

力学の第3単元（全4単元）。先に読む単元：運動の法則と保存則

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中心力と保存量

定義

中心力

原点に置いた力の中心からの位置を $\boldsymbol{r}$ として、 $\boldsymbol{F} = f(r)\,\boldsymbol{r}/r$ の形の力を中心力という。 $f(r) < 0$ が引力である。このとき $\boldsymbol{F} = -\nabla U$ 、 $U(r) = -\int f(r)\,dr$ と書けるので、中心力は保存力である。

定理・法則

角運動量保存と面積速度一定（ケプラーの第2法則）

条件

質点に働く力が、固定した中心 O に関する中心力だけである。

主張

$\boldsymbol{L} = m\boldsymbol{r} \times \dot{\boldsymbol{r}}$ は一定で、運動は $\boldsymbol{L}$ に垂直な平面内に限られる。その平面の極座標 $(r, \theta)$ で

L = mr^2\dot{\theta} = \text{一定}, \qquad \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2\dot{\theta} = \frac{L}{2m}

要点

$d\boldsymbol{L}/dt = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$ から出る。面積速度一定は逆2乗則に限らず、すべての中心力で成り立つ。

極座標での速度の2乗は $\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2$ なので、 $\dot{\theta} = L/(mr^2)$ を使ってエネルギーは

E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} + U(r) = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + U_{\text{eff}}(r)

となる。 $E \ge U_{\text{eff}}(r)$ を満たす $r$ の範囲だけを動ける。 $U_{\text{eff}}$ の極小点が円軌道で、 $E$ が極小値より大きく零より小さければ $r$ は2つの転回点の間を往復する（束縛軌道）。 $E \ge 0$ で $U(\infty) = 0$ なら無限遠へ飛び去る。

軌道の方程式と円錐曲線

定理・法則

軌道の方程式（ビネの公式）

条件

中心力 $f(r)$ のもとで $L \neq 0$ 。 $u = 1/r$ を $\theta$ の関数とみる。

主張

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = -\frac{m}{L^2u^2}\,f\!\left(\frac{1}{u}\right)

要点

$\dot{r} = -\dfrac{L}{m}\dfrac{du}{d\theta}$ 、 $\ddot{r} = -\dfrac{L^2u^2}{m^2}\dfrac{d^2u}{d\theta^2}$ を動径方向の運動方程式 $m(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) = f(r)$ に代入して $t$ を消す。

定理・法則

逆2乗の引力の軌道（ケプラーの第1法則）

条件

$f(r) = -k/r^2$ （ $k > 0$ ）、太陽と惑星なら $k = GMm$ で $M \gg m$ とする。

主張

r = \frac{p}{1 + e\cos(\theta - \theta_0)}, \qquad p = \frac{L^2}{mk}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}

$0 \le e < 1$ （ $E < 0$ ）で楕円、 $e = 1$ （ $E = 0$ ）で放物線、 $e > 1$ （ $E > 0$ ）で双曲線。楕円の長半径は $a = p/(1 - e^2) = k/(2|E|)$ である。

要点

右辺は定数 $mk/L^2$ になり、 $u = (mk/L^2)(1 + e\cos\theta)$ が解である。2体問題では $m$ を換算質量 $\mu = mM/(m + M)$ に、相対座標を $\boldsymbol{r}$ に置き換えれば同じ式になる。

定理・法則

ケプラーの第3法則

条件

逆2乗の引力による楕円軌道で $M \gg m$ 。

主張

T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}a^3

要点

楕円の面積 $\pi ab$ （ $b = a\sqrt{1 - e^2}$ ）を面積速度 $L/(2m)$ で割ると周期になり、 $L^2 = GMm^2a(1 - e^2)$ を代入すると $e$ が消える。 $M \gg m$ でないときは $GM$ を $G(M + m)$ に置き換える。

軌道計算の公式

円軌道の速さ: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
$mv^2/r = GMm/r^2$ から。 $U_{\text{eff}}$ の極小点 $r_0 = L^2/(mk)$ でもある。
脱出速度: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
$\frac{1}{2}mv^2 - GMm/R = 0$ から。空気抵抗と天体の自転は無視する。
活力の式（vis-viva）: $v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)$
楕円軌道上の任意の点で成り立つ。 $E = -GMm/(2a)$ とエネルギー保存から出る。
近点・遠点の距離: $r_{\text{p}} = a(1 - e), \qquad r_{\text{a}} = a(1 + e)$
近点・遠点の速さ: $v_{\text{p}} = \sqrt{\frac{GM}{a}\cdot\frac{1 + e}{1 - e}}, \qquad r_{\text{p}}v_{\text{p}} = r_{\text{a}}v_{\text{a}}$
近点と遠点では速度が動径に垂直なので、 $L = mrv$ がそのまま使える。

中心力の計算例

計算例

地球からの脱出速度

地球の $GM = 3.986 \times 10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$ 、平均半径 $R = 6.371 \times 10^6\ \mathrm{m}$ として、地表からの脱出速度を求めよ。

解答

v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.986 \times 10^{14}}{6.371 \times 10^6}} \approx 1.12 \times 10^4\ \mathrm{m/s}

およそ $11.2\ \mathrm{km/s}$ である。

検算

地表すれすれの円軌道の速さ $\sqrt{GM/R} \approx 7.9\ \mathrm{km/s}$ の $\sqrt{2}$ 倍になっている。 $\sqrt{(\mathrm{m^3/s^2})/\mathrm{m}} = \mathrm{m/s}$ 。

計算例

静止軌道の半径

地球の自転周期（恒星日） $T = 86164\ \mathrm{s}$ と同じ周期の円軌道の半径を求めよ。

解答

第3法則から

a = \left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{3.986 \times 10^{14} \times 86164^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} \approx 4.216 \times 10^7\ \mathrm{m}

地心から約 $42{,}200\ \mathrm{km}$ 、地表からは約 $35{,}800\ \mathrm{km}$ の高さである。

検算

このときの速さ $\sqrt{GM/a} \approx 3.07\ \mathrm{km/s}$ と $2\pi a/T \approx 3.07\ \mathrm{km/s}$ が一致する。周期に太陽日 $86400\ \mathrm{s}$ を使うと半径がわずかにずれるので、恒星日を使う。

計算例

逆2乗則で軌道の方程式を解く

$f(r) = -k/r^2$ のとき、軌道の方程式を解いて $r(\theta)$ を求めよ。

解答

$f(1/u) = -ku^2$ なので

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{mk}{L^2}

定数の特解 $mk/L^2$ と斉次解 $C\cos(\theta - \theta_0)$ を足して $u = \dfrac{mk}{L^2}\{1 + e\cos(\theta - \theta_0)\}$ （ $e = CL^2/(mk)$ ）。逆数をとって $r = p/\{1 + e\cos(\theta - \theta_0)\}$ 、 $p = L^2/(mk)$ 。

検算

$e = 0$ では $r = L^2/(mk)$ の円で、 $U_{\text{eff}}$ を微分して零とおいた半径と一致する。そのとき $E = U_{\text{eff}}(r_0) = -mk^2/(2L^2)$ で、 $e$ の式に代入すると $e = 0$ になる。

計算例

近点と遠点の速さの比

離心率 $e$ の楕円軌道で、近点の速さ $v_{\text{p}}$ と遠点の速さ $v_{\text{a}}$ の比を求めよ。

解答

近点と遠点では速度が動径に垂直なので、角運動量保存は $mr_{\text{p}}v_{\text{p}} = mr_{\text{a}}v_{\text{a}}$ となる。

\frac{v_{\text{p}}}{v_{\text{a}}} = \frac{r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}} = \frac{1 + e}{1 - e}

検算

活力の式から $v_{\text{p}}^2 = \frac{GM}{a}\frac{1 + e}{1 - e}$ 、 $v_{\text{a}}^2 = \frac{GM}{a}\frac{1 - e}{1 + e}$ で、比をとると同じ結果になる。 $e = 0$ では比が $1$ で円軌道に一致する。

答案でよくある誤り

1
軌道上の任意の点で $L = mrv$ とする。 $L = mrv\sin\alpha$ （ $\alpha$ は $\boldsymbol{r}$ と $\boldsymbol{v}$ のなす角）で、 $mrv$ になるのは速度が動径に垂直な近点・遠点と円軌道だけである。
2
有効ポテンシャルに遠心力の項 $L^2/(2mr^2)$ を入れ忘れる。 $\dot{\theta}$ を $L$ で消すと動径方向の運動にこの項が現れる。
3
第3法則の $a$ に近点距離や平均距離を入れる。 $a$ は楕円の長半径 $(r_{\text{p}} + r_{\text{a}})/2$ である。
4
2体問題で中心の天体を固定したまま扱う。質量が同程度なら換算質量 $\mu$ と相対座標を使い、周期の式では $G(M + m)$ にする。
5
面積速度一定を逆2乗則の性質と考える。角運動量保存から出るので、すべての中心力で成り立つ。楕円軌道と第3法則の形は逆2乗則に固有である。

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