# 中心力とケプラーの法則｜有効ポテンシャル・軌道の方程式・惑星の周期

> 中心力のもとで角運動量が保存する理由、有効ポテンシャルによる運動の分類、軌道の方程式から楕円軌道を導く方法、ケプラーの3法則を解説。脱出速度、静止軌道の半径、近日点と遠日点の速さの計算例も載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [運動の法則と保存則](https://inshihub.com/basics/mechanics/newtons-laws-conservation)

力が常に一点を向き大きさが距離 $r$ だけで決まる中心力では、角運動量 $\boldsymbol{L}$ と力学的エネルギーが保存し、運動は一つの平面内に限られる。動径方向の運動は、遠心力の項を加えた有効ポテンシャル $U_{\text{eff}}(r) = L^2/(2mr^2) + U(r)$ の中の1次元運動として扱える。逆2乗の引力 $U = -k/r$ では軌道が円錐曲線 $r = p/(1 + e\cos\theta)$ になり、楕円軌道の周期は $T^2 = 4\pi^2a^3/(GM)$ を満たす。

## 中心力と保存量

### 定義：中心力

原点に置いた力の中心からの位置を $\boldsymbol{r}$ として、$\boldsymbol{F} = f(r)\,\boldsymbol{r}/r$ の形の力を中心力という。$f(r) < 0$ が引力である。このとき $\boldsymbol{F} = -\nabla U$、$U(r) = -\int f(r)\,dr$ と書けるので、中心力は保存力である。

### 定理・法則：角運動量保存と面積速度一定（ケプラーの第2法則）

条件：

質点に働く力が、固定した中心 O に関する中心力だけである。

主張：

$\boldsymbol{L} = m\boldsymbol{r} \times \dot{\boldsymbol{r}}$ は一定で、運動は $\boldsymbol{L}$ に垂直な平面内に限られる。その平面の極座標 $(r, \theta)$ で

$$L = mr^2\dot{\theta} = \text{一定}, \qquad \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2\dot{\theta} = \frac{L}{2m}$$

要点：

$d\boldsymbol{L}/dt = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$ から出る。面積速度一定は逆2乗則に限らず、すべての中心力で成り立つ。

極座標での速度の2乗は $\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2$ なので、$\dot{\theta} = L/(mr^2)$ を使ってエネルギーは

$$E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} + U(r) = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + U_{\text{eff}}(r)$$

となる。$E \ge U_{\text{eff}}(r)$ を満たす $r$ の範囲だけを動ける。$U_{\text{eff}}$ の極小点が円軌道で、$E$ が極小値より大きく零より小さければ $r$ は2つの転回点の間を往復する（束縛軌道）。$E \ge 0$ で $U(\infty) = 0$ なら無限遠へ飛び去る。

## 軌道の方程式と円錐曲線

### 定理・法則：軌道の方程式（ビネの公式）

条件：

中心力 $f(r)$ のもとで $L \neq 0$。$u = 1/r$ を $\theta$ の関数とみる。

主張：

$$\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = -\frac{m}{L^2u^2}\,f\!\left(\frac{1}{u}\right)$$

要点：

$\dot{r} = -\dfrac{L}{m}\dfrac{du}{d\theta}$、$\ddot{r} = -\dfrac{L^2u^2}{m^2}\dfrac{d^2u}{d\theta^2}$ を動径方向の運動方程式 $m(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) = f(r)$ に代入して $t$ を消す。

### 定理・法則：逆2乗の引力の軌道（ケプラーの第1法則）

条件：

$f(r) = -k/r^2$（$k > 0$）、太陽と惑星なら $k = GMm$ で $M \gg m$ とする。

主張：

$$r = \frac{p}{1 + e\cos(\theta - \theta_0)}, \qquad p = \frac{L^2}{mk}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mk^2}}$$

$0 \le e < 1$（$E < 0$）で楕円、$e = 1$（$E = 0$）で放物線、$e > 1$（$E > 0$）で双曲線。楕円の長半径は $a = p/(1 - e^2) = k/(2|E|)$ である。

要点：

右辺は定数 $mk/L^2$ になり、$u = (mk/L^2)(1 + e\cos\theta)$ が解である。2体問題では $m$ を換算質量 $\mu = mM/(m + M)$ に、相対座標を $\boldsymbol{r}$ に置き換えれば同じ式になる。

### 定理・法則：ケプラーの第3法則

条件：

逆2乗の引力による楕円軌道で $M \gg m$。

主張：

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}a^3$$

要点：

楕円の面積 $\pi ab$（$b = a\sqrt{1 - e^2}$）を面積速度 $L/(2m)$ で割ると周期になり、$L^2 = GMm^2a(1 - e^2)$ を代入すると $e$ が消える。$M \gg m$ でないときは $GM$ を $G(M + m)$ に置き換える。

## 軌道計算の公式

- 円軌道の速さ

  $$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

  $mv^2/r = GMm/r^2$ から。$U_{\text{eff}}$ の極小点 $r_0 = L^2/(mk)$ でもある。

- 脱出速度

  $$v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

  $\frac{1}{2}mv^2 - GMm/R = 0$ から。空気抵抗と天体の自転は無視する。

- 活力の式（vis-viva）

  $$v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)$$

  楕円軌道上の任意の点で成り立つ。$E = -GMm/(2a)$ とエネルギー保存から出る。

- 近点・遠点の距離

  $$r_{\text{p}} = a(1 - e), \qquad r_{\text{a}} = a(1 + e)$$

- 近点・遠点の速さ

  $$v_{\text{p}} = \sqrt{\frac{GM}{a}\cdot\frac{1 + e}{1 - e}}, \qquad r_{\text{p}}v_{\text{p}} = r_{\text{a}}v_{\text{a}}$$

  近点と遠点では速度が動径に垂直なので、$L = mrv$ がそのまま使える。

## 中心力の計算例

### 計算例：地球からの脱出速度

地球の $GM = 3.986 \times 10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$、平均半径 $R = 6.371 \times 10^6\ \mathrm{m}$ として、地表からの脱出速度を求めよ。

解答：

$$v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.986 \times 10^{14}}{6.371 \times 10^6}} \approx 1.12 \times 10^4\ \mathrm{m/s}$$

およそ $11.2\ \mathrm{km/s}$ である。

検算：

地表すれすれの円軌道の速さ $\sqrt{GM/R} \approx 7.9\ \mathrm{km/s}$ の $\sqrt{2}$ 倍になっている。$\sqrt{(\mathrm{m^3/s^2})/\mathrm{m}} = \mathrm{m/s}$。

### 計算例：静止軌道の半径

地球の自転周期（恒星日）$T = 86164\ \mathrm{s}$ と同じ周期の円軌道の半径を求めよ。

解答：

第3法則から

$$a = \left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{3.986 \times 10^{14} \times 86164^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} \approx 4.216 \times 10^7\ \mathrm{m}$$

地心から約 $42{,}200\ \mathrm{km}$、地表からは約 $35{,}800\ \mathrm{km}$ の高さである。

検算：

このときの速さ $\sqrt{GM/a} \approx 3.07\ \mathrm{km/s}$ と $2\pi a/T \approx 3.07\ \mathrm{km/s}$ が一致する。周期に太陽日 $86400\ \mathrm{s}$ を使うと半径がわずかにずれるので、恒星日を使う。

### 計算例：逆2乗則で軌道の方程式を解く

$f(r) = -k/r^2$ のとき、軌道の方程式を解いて $r(\theta)$ を求めよ。

解答：

$f(1/u) = -ku^2$ なので

$$\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{mk}{L^2}$$

定数の特解 $mk/L^2$ と斉次解 $C\cos(\theta - \theta_0)$ を足して $u = \dfrac{mk}{L^2}\{1 + e\cos(\theta - \theta_0)\}$（$e = CL^2/(mk)$）。逆数をとって $r = p/\{1 + e\cos(\theta - \theta_0)\}$、$p = L^2/(mk)$。

検算：

$e = 0$ では $r = L^2/(mk)$ の円で、$U_{\text{eff}}$ を微分して零とおいた半径と一致する。そのとき $E = U_{\text{eff}}(r_0) = -mk^2/(2L^2)$ で、$e$ の式に代入すると $e = 0$ になる。

### 計算例：近点と遠点の速さの比

離心率 $e$ の楕円軌道で、近点の速さ $v_{\text{p}}$ と遠点の速さ $v_{\text{a}}$ の比を求めよ。

解答：

近点と遠点では速度が動径に垂直なので、角運動量保存は $mr_{\text{p}}v_{\text{p}} = mr_{\text{a}}v_{\text{a}}$ となる。

$$\frac{v_{\text{p}}}{v_{\text{a}}} = \frac{r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}} = \frac{1 + e}{1 - e}$$

検算：

活力の式から $v_{\text{p}}^2 = \frac{GM}{a}\frac{1 + e}{1 - e}$、$v_{\text{a}}^2 = \frac{GM}{a}\frac{1 - e}{1 + e}$ で、比をとると同じ結果になる。$e = 0$ では比が $1$ で円軌道に一致する。

## 答案でよくある誤り

1. 軌道上の任意の点で $L = mrv$ とする。$L = mrv\sin\alpha$（$\alpha$ は $\boldsymbol{r}$ と $\boldsymbol{v}$ のなす角）で、$mrv$ になるのは速度が動径に垂直な近点・遠点と円軌道だけである。
2. 有効ポテンシャルに遠心力の項 $L^2/(2mr^2)$ を入れ忘れる。$\dot{\theta}$ を $L$ で消すと動径方向の運動にこの項が現れる。
3. 第3法則の $a$ に近点距離や平均距離を入れる。$a$ は楕円の長半径 $(r_{\text{p}} + r_{\text{a}})/2$ である。
4. 2体問題で中心の天体を固定したまま扱う。質量が同程度なら換算質量 $\mu$ と相対座標を使い、周期の式では $G(M + m)$ にする。
5. 面積速度一定を逆2乗則の性質と考える。角運動量保存から出るので、すべての中心力で成り立つ。楕円軌道と第3法則の形は逆2乗則に固有である。