剛体の回転慣性モーメントの計算・平行軸の定理・転がり運動

固定軸のまわりの剛体の回転は $I\dot{\omega} = N$ で決まる。 $I = \int r_\perp^2\,dm$ は軸からの距離 $r_\perp$ の2乗で重みをつけた質量の和（慣性モーメント）、 $N$ は軸のまわりの外力のモーメントである。軸を重心から距離 $d$ だけ平行に移すと $I = I_{\mathrm{G}} + Md^2$ となる。転がる物体では、重心の並進の運動方程式と重心まわりの回転の運動方程式を、滑らない条件 $v = R\omega$ で結ぶ。

力学の第4単元（全4単元）。先に読む単元：運動の法則と保存則、微分積分・重積分

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剛体の運動方程式と慣性モーメント

定義

剛体と慣性モーメント

どの2点の距離も変わらない物体を剛体という。剛体の運動は重心の並進と重心まわりの回転に分けられる。ある軸のまわりの慣性モーメントを

I = \sum_i m_i r_{\perp i}^2 = \int r_\perp^2\,dm

で定める。 $r_\perp$ は質量要素から軸までの距離である。単位は $\mathrm{kg\,m^2}$ 。

定理・法則

剛体の運動方程式

条件

並進の式は常に成り立つ。回転の式は、慣性系に固定した点または重心のまわりのモーメントで書く。 $I\dot{\omega} = N$ の形は、方向が固定された回転軸（固定軸か、平面運動での重心を通る軸）の場合に限る。

主張

M\dot{\boldsymbol{V}}_{\mathrm{G}} = \sum \boldsymbol{F}^{\text{ext}}, \qquad \frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{N}, \qquad I\frac{d\omega}{dt} = N

要点

加速する任意の点のまわりで $d\boldsymbol{L}/dt = \boldsymbol{N}$ を書くと、一般には余分な項が出る。重心まわりなら重心が加速していても成り立つ。3次元の回転では $\boldsymbol{L} = \mathsf{I}\boldsymbol{\omega}$ の $\mathsf{I}$ が慣性テンソルになり、 $\boldsymbol{L}$ と $\boldsymbol{\omega}$ は主軸方向でなければ平行にならない。

固定軸のまわりの回転の運動エネルギーは $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ 、角運動量の軸方向成分は $L = I\omega$ である。並進と回転を同時にする剛体では $K = \frac{1}{2}MV_{\mathrm{G}}^2 + \frac{1}{2}I_{\mathrm{G}}\omega^2$ と、重心の運動と重心まわりの回転に分けて足す。

平行軸の定理と直交軸の定理

定理・法則

平行軸の定理

条件

$I_{\mathrm{G}}$ は重心を通る軸のまわりの慣性モーメント。新しい軸はその軸に平行で、距離が $d$ 。

主張

I = I_{\mathrm{G}} + Md^2

要点

重心からの位置で $\int r_\perp^2 dm$ を展開すると、交差項が $\int \boldsymbol{r}'\,dm = \boldsymbol{0}$ （重心の定義）で消える。基準にする軸が重心を通らないときは、この式をそのまま使えない。

定理・法則

直交軸の定理

条件

厚みを無視できる平板（質量が $xy$ 平面内だけにある）で、 $z$ 軸は板に垂直。

主張

I_z = I_x + I_y

要点

$r_\perp^2 = x^2 + y^2$ を分ければ出る。立体には使えない。円板の直径まわりの慣性モーメントは、対称性 $I_x = I_y$ とこの式から $MR^2/4$ になる。

一様な物体の慣性モーメント

細い棒（長さ $L$ 、中心を通り棒に垂直な軸）: $I = \frac{1}{12}ML^2$
細い棒（端を通り棒に垂直な軸）: $I = \frac{1}{3}ML^2$
円板・円柱（中心軸）: $I = \frac{1}{2}MR^2$
円環・薄い円筒（中心軸）: $I = MR^2$
球（中心を通る軸）: $I = \frac{2}{5}MR^2$
薄い球殻（中心を通る軸）: $I = \frac{2}{3}MR^2$

滑らずに転がる条件

定理・法則

転がり運動の式

条件

半径 $R$ の円形断面の剛体が平面上を滑らずに転がる。接触点の速度が零であることが条件。

主張

V_{\mathrm{G}} = R\omega, \qquad a_{\mathrm{G}} = R\dot{\omega}

重心の並進の運動方程式と、重心まわりの回転の運動方程式 $I_{\mathrm{G}}\dot{\omega} = fR$ （ $f$ は接触点の摩擦力）を、この関係で連立する。

要点

滑らずに転がるときの摩擦は静止摩擦で、接触点が動かないので仕事をしない。そのため力学的エネルギーが保存する。必要な摩擦力が $\mu N$ を超えると滑りが起こり、 $V_{\mathrm{G}} = R\omega$ は成り立たなくなる。

剛体の計算例

計算例

棒の慣性モーメントと平行軸の定理

長さ $L$ 、質量 $M$ の一様な細い棒について、中心を通る垂直な軸と、端を通る垂直な軸のまわりの慣性モーメントを求めよ。

解答

線密度は $M/L$ 。中心からの距離を $s$ として

I_{\mathrm{G}} = \int_{-L/2}^{L/2} \frac{M}{L}s^2\,ds = \frac{1}{12}ML^2, \qquad I_{\text{端}} = \int_0^L \frac{M}{L}s^2\,ds = \frac{1}{3}ML^2

検算

平行軸の定理で $d = L/2$ とすると $\frac{1}{12}ML^2 + M\frac{L^2}{4} = \frac{1}{3}ML^2$ となり、直接積分した値に一致する。

計算例

円板と球の慣性モーメント

半径 $R$ 、質量 $M$ の一様な円板（中心軸）と一様な球（中心を通る軸）の慣性モーメントを求めよ。

解答

円板は面密度 $\sigma = M/(\pi R^2)$ で、半径 $r$ の輪に分けて $I = \int_0^R r^2\,\sigma 2\pi r\,dr = \frac{1}{2}MR^2$ 。

球は半径 $r$ 、厚さ $dr$ の球殻に分ける。球殻の慣性モーメントは $\frac{2}{3}r^2\,dm$ なので、 $\rho = M/(\frac{4}{3}\pi R^3)$ として

I = \int_0^R \frac{2}{3}r^2 \cdot \rho 4\pi r^2\,dr = \frac{2}{5}MR^2

検算

球殻の $\frac{2}{3}r^2$ は、3軸の和 $I_x + I_y + I_z = \int 2r^2 dm = 2r^2\,dm$ を対称性で3等分した値である。どちらも $MR^2$ より小さく、質量が軸の近くにある分だけ円環より回しやすい。

計算例

斜面を転がり落ちる球

傾き $\theta$ の斜面を、一様な球（質量 $M$ 、半径 $R$ ）が滑らずに転がり落ちる。重心の加速度と、滑らないために必要な静止摩擦係数を求めよ。

解答

斜面下向きを正、摩擦力 $f$ を斜面上向きとする。

Ma = Mg\sin\theta - f, \qquad I_{\mathrm{G}}\frac{a}{R} = fR

から $a = \dfrac{g\sin\theta}{1 + I_{\mathrm{G}}/(MR^2)}$ 。球では $I_{\mathrm{G}} = \frac{2}{5}MR^2$ なので $a = \frac{5}{7}g\sin\theta$ 、 $f = \frac{2}{7}Mg\sin\theta$ 。 $f \le \mu N = \mu Mg\cos\theta$ から $\mu \ge \frac{2}{7}\tan\theta$ 。

検算

エネルギー保存 $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}MR^2(v/R)^2$ から $v^2 = \frac{10}{7}gh$ 。等加速度の式 $v^2 = 2a(h/\sin\theta)$ に $a = \frac{5}{7}g\sin\theta$ を入れても同じになる。円板では $\frac{2}{3}g\sin\theta$ 、円環では $\frac{1}{2}g\sin\theta$ で、 $I_{\mathrm{G}}/(MR^2)$ が大きいほど遅い。

計算例

棒の実体振り子

長さ $L$ の一様な棒の一端を水平な軸で支え、鉛直面内で小さく振らせる。周期を求めよ。

解答

支点のまわりの回転の運動方程式は、重心までの距離 $d = L/2$ として $I\ddot{\theta} = -Mgd\sin\theta \approx -Mgd\,\theta$ 。周期は

T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{Mgd}} = 2\pi\sqrt{\frac{ML^2/3}{MgL/2}} = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}

検算

長さ $\frac{2}{3}L$ の単振り子と同じ周期になる。全質量が距離 $d$ の一点にあれば $I = Md^2$ で $T = 2\pi\sqrt{d/g}$ となり、単振り子に戻る。

答案でよくある誤り

1
重心を通らない軸から平行軸の定理を使う。 $I = I_{\mathrm{G}} + Md^2$ の $I_{\mathrm{G}}$ は必ず重心を通る軸のもので、別の軸どうしの換算は一度重心の軸を経由する。
2
立体に直交軸の定理を使う。 $I_z = I_x + I_y$ は平板だけで成り立つ。立体の球では3軸の和 $= 2\int r^2dm$ を使う。
3
転がる物体の運動エネルギーを $\frac{1}{2}MV^2$ だけにする。回転の $\frac{1}{2}I_{\mathrm{G}}\omega^2$ を加える。支点まわりの $\frac{1}{2}I\omega^2$ で書く場合は並進の項を足さない。
4
滑らずに転がるときの摩擦力を $\mu N$ とおく。静止摩擦力は運動方程式から決め、その大きさが $\mu N$ 以下であることを条件として使う。
5
加速している接触点のまわりで $I\dot{\omega} = N$ を書く。回転の式は固定点か重心のまわりでとる。

剛体の回転が出た院試の過去問

院試hubが年度別解説の大問を分類した集計から、この単元の内容を扱う出題を挙げる。問題文は各大学の公式過去問で確かめ、解き方は各年度の解説ページで読める。

剛体の回転運動

17大学・120問（2013〜2027年度）

新しい年度の出題

九州大学大学院物理学 2026年度第1問物理学I：ねじりばかりと回転系上の球面振り子
九州大学大学院機械工学 2026年度第9問機械力学第2問（可動滑車の振動）
九州工業大学大学院専門科目（物理情報工学） 2026年度第1問力学
京都大学地球惑星科学専攻基礎科目 2026年度第2問力学
京都大学数学・機械力学・専門科目 2026年度第3問段差を上がる剛体球
京都大学専門科目（物理学） 2026年度第9問II-3 力学(連星系・剛体円環の歳差運動)

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九州大学大学院物理学 2026年度第1問物理学I：ねじりばかりと回転系上の球面振り子
名古屋大学大学院物理学 2026年度第1問力学
大阪大学物理学 2026年度第1問小振動と基準振動
室蘭工業大学大学院専門科目 2026年度第10問機械力学：質点を持つ棒の振り子

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力学の前後の単元

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