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重積分累次積分・積分順序の交換・ヤコビアンによる変数変換

重積分 ∬Df(x,y) dx dy\iint_D f(x, y)\,dx\,dy は、領域 DD を細かく分けたリーマン和の極限である。ff が連続で DD が有界閉領域なら、1変数の積分を2回行う累次積分で計算でき、積分の順序も交換できる。変数変換 x=x(u,v)x = x(u, v)、y=y(u,v)y = y(u, v) では dx dydx\,dy をヤコビアンの絶対値 ∣∂(x,y)/∂(u,v)∣ du dv|\partial(x, y)/\partial(u, v)|\,du\,dv に置き換える。極座標では dx dy=r dr dθdx\,dy = r\,dr\,d\theta になる。

微分積分 の第6単元（全8単元）。先に読む単元：偏微分と極値

院試数学 基礎完成シリーズ 微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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重積分と累次積分の定義

定義

長方形上の2重積分

長方形 R=[a,b]×[c,d]R = [a, b] \times [c, d] を小長方形 RijR_{ij} に分け、各 RijR_{ij} から点 (ξi,ηj)(\xi_i, \eta_j) を選んでリーマン和 ∑f(ξi,ηj) ∣Rij∣\sum f(\xi_i, \eta_j)\,|R_{ij}| をつくる。分割を細かくしたときに、点の選び方によらず一定の値に収束するなら、ff は RR で積分可能といい、その値を ∬Rf dx dy\iint_R f\,dx\,dy と書く。一般の有界領域 DD では、DD を含む長方形上で DD の外を 00 とした関数を積分する。

定義

縦線領域と累次積分

D={(x,y)∣a≤x≤b, φ1(x)≤y≤φ2(x)}D = \{(x, y) \mid a \le x \le b,\ \varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x)\}（φ1,φ2\varphi_1, \varphi_2 は連続）の形の領域を縦線領域という。この上での

∫ab(∫φ1(x)φ2(x)f(x,y) dy)dx\int_a^b \left( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y)\,dy \right) dx

を累次積分という。内側の積分では xx を定数として扱う。

フビニの定理と積分順序の交換

定理・法則

フビニの定理

条件

DD は縦線領域で、横線領域 {c≤y≤d, ψ1(y)≤x≤ψ2(y)}\{c \le y \le d,\ \psi_1(y) \le x \le \psi_2(y)\} としても表せる。ff は DD で連続。

主張

∬Df dx dy=∫ab∫φ1(x)φ2(x)f dy dx=∫cd∫ψ1(y)ψ2(y)f dx dy\iint_D f\,dx\,dy = \int_a^b \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f\,dy\,dx = \int_c^d \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f\,dx\,dy

要点

非有界な領域や非有界な関数では、f≥0f \ge 0 のとき、または ∬∣f∣<∞\iint |f| < \infty のときに順序を交換できる。この条件が崩れると、2つの累次積分が異なる値になることがある。

計算例

積分順序を交換して計算する

∫01∫x1ey2 dy dx\displaystyle \int_0^1 \int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx を求めよ。

解答

ey2e^{y^2} の原始関数は初等関数で書けないので、順序を交換する。領域は 0≤x≤y≤10 \le x \le y \le 1 で、横線領域として 0≤y≤10 \le y \le 1、0≤x≤y0 \le x \le y と書ける。

∫01∫0yey2 dx dy=∫01yey2 dy=[ey22]01=e−12\int_0^1 \int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy = \int_0^1 y e^{y^2}\,dy = \left[\frac{e^{y^2}}{2}\right]_0^1 = \frac{e - 1}{2}

検算

数値積分すると約 0.859140.85914 で、(e−1)/2=0.85914…(e - 1)/2 = 0.85914\ldots と一致する。領域の図を描いて、交換後の範囲が同じ三角形を表すかを確かめる。

計算例

順序を変えると値が変わる例

f(x,y)=x2−y2(x2+y2)2f(x, y) = \dfrac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} の [0,1]2[0, 1]^2 上の2つの累次積分を比べよ。

解答

∂∂yyx2+y2=f\dfrac{\partial}{\partial y}\dfrac{y}{x^2 + y^2} = f なので ∫01f dy=11+x2\int_0^1 f\,dy = \dfrac{1}{1 + x^2}、これを xx で積分すると π/4\pi/4。同様に ∫01f dx=−11+y2\int_0^1 f\,dx = -\dfrac{1}{1 + y^2} で、yy で積分すると −π/4-\pi/4。2つの累次積分は一致しない。

検算

ff は原点の近くで有界でなく、∬[0,1]2∣f∣ dx dy=∞\iint_{[0,1]^2} |f|\,dx\,dy = \infty なので、フビニの定理の条件を満たさない。f(y,x)=−f(x,y)f(y, x) = -f(x, y) の対称性からも、2つの値が符号違いになることが分かる。

変数変換とヤコビアン

定理・法則

重積分の変数変換

条件

Φ:(u,v)↦(x(u,v),y(u,v))\Phi : (u, v) \mapsto (x(u, v), y(u, v)) は領域 EE から DD への C1C^1 級の全単射で、ヤコビアン J=∂(x,y)∂(u,v)J = \dfrac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} が EE で 00 にならない（面積 00 の集合を除いてよい）。ff は DD で連続。

主張

∬Df(x,y) dx dy=∬Ef(x(u,v),y(u,v)) ∣J∣ du dv,J=det⁡(xuxvyuyv)\iint_D f(x, y)\,dx\,dy = \iint_E f(x(u, v), y(u, v))\,|J|\,du\,dv, \qquad J = \det \begin{pmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{pmatrix}

要点

∣J∣|J| は (u,v)(u, v) の小長方形が (x,y)(x, y) 平面で何倍の面積に写るかを表す。1変数の置換積分と違い、絶対値をとる。

よく使う座標のヤコビアン

極座標
x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θ:dx dy=r dr dθx = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta: \quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta
円柱座標
x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θ, z=z:dx dy dz=r dr dθ dzx = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z: \quad dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz
球座標
x=rsin⁡θcos⁡φ, y=rsin⁡θsin⁡φ, z=rcos⁡θ:dx dy dz=r2sin⁡θ dr dθ dφx = r\sin\theta\cos\varphi,\ y = r\sin\theta\sin\varphi,\ z = r\cos\theta: \quad dx\,dy\,dz = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi

θ∈[0,π]\theta \in [0, \pi] は zz 軸からの角、φ∈[0,2π)\varphi \in [0, 2\pi) は方位角とする。

1次変換
(xy)=A(uv):dx dy=∣det⁡A∣ du dv\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}: \quad dx\,dy = |\det A|\,du\,dv

計算例

極座標でガウス積分を求める

I=∫−∞∞e−x2 dxI = \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx を求めよ。

解答

被積分関数は正なので、順序の交換と極座標への変換ができる。

I2=∬R2e−(x2+y2) dx dy=∫02π∫0∞e−r2r dr dθ=2π⋅12=πI^2 = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2 + y^2)}\,dx\,dy = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty e^{-r^2} r\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi

I>0I > 0 なので I=πI = \sqrt{\pi}。

検算

ガンマ関数で書くと I=Γ(1/2)=πI = \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} と一致する。∫0∞e−r2r dr\int_0^\infty e^{-r^2} r\,dr は s=r2s = r^2 と置けば 12∫0∞e−s ds=1/2\tfrac{1}{2}\int_0^\infty e^{-s}\,ds = 1/2。

計算例

1次変換で正方形の領域に直す

D={(x,y)∣∣x+y∣≤1, ∣x−y∣≤1}D = \{(x, y) \mid |x + y| \le 1,\ |x - y| \le 1\} のとき ∬D(x+y)2 dx dy\iint_D (x + y)^2\,dx\,dy を求めよ。

解答

u=x+yu = x + y、v=x−yv = x - y とおくと、DD は [−1,1]2[-1, 1]^2 に写る。逆に解いて x=(u+v)/2x = (u + v)/2、y=(u−v)/2y = (u - v)/2 なので

J=det⁡(1/21/21/2−1/2)=−12,∣J∣=12J = \det \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2}, \qquad |J| = \frac{1}{2}

よって積分は ∫−11∫−11u22 du dv=12⋅23⋅2=23\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \frac{u^2}{2}\,du\,dv = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}。

検算

DD は頂点 (±1,0)(\pm 1, 0)、(0,±1)(0, \pm 1) の正方形で面積 22。[−1,1]2[-1, 1]^2 の面積 44 に ∣J∣=1/2|J| = 1/2 を掛けた値と一致する。xx で領域を分けて直接累次積分しても 2/32/3 になる。

答案でよくある誤り

  1. 1

    極座標に変えたときに rr を掛け忘れる。dx dy=r dr dθdx\,dy = r\,dr\,d\theta で、球座標では r2sin⁡θr^2\sin\theta が掛かる。

  2. 2

    変数変換でヤコビアンの逆数を掛ける。u=x+yu = x + y のように (u,v)(u, v) を (x,y)(x, y) で表した場合は、∂(u,v)/∂(x,y)\partial(u, v)/\partial(x, y) の逆数が ∂(x,y)/∂(u,v)\partial(x, y)/\partial(u, v) になる。どちらを計算したかを明記する。

  3. 3

    積分順序を交換したときに範囲を書き換えない。領域を図に描き、外側の変数の範囲を定数で、内側の変数の範囲を外側の変数の関数で書き直す。

  4. 4

    ヤコビアンの符号をそのまま使う。変数変換では ∣J∣|J| を掛ける。上の1次変換の例で J=−1/2J = -1/2 をそのまま使うと、正の関数の積分が負になる。

  5. 5

    広義の重積分で条件を確かめずに順序を交換する。f≥0f \ge 0 か ∬∣f∣<∞\iint |f| < \infty を確認する。(x2−y2)/(x2+y2)2(x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)^2 では順序で値が変わる。

重積分が出た院試の過去問

院試hubが年度別解説の大問を分類した集計から、この単元の内容を扱う出題を挙げる。問題文は各大学の公式過去問で確かめ、解き方は各年度の解説ページで読める。

重積分と極座標

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