偏微分と極値全微分可能性・連鎖律・ヘッセ行列による判定

2変数関数 $f(x, y)$ の偏微分 $f_x$ は、 $y$ を固定して $x$ で微分したものである。偏微分が存在しても全微分可能（接平面で1次近似できる）とは限らず、連続とも限らない。偏導関数が連続なら全微分可能で、連鎖律が使える。極値の候補は $f_x = f_y = 0$ の点で、ヘッセ行列式 $f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ の符号と $f_{xx}$ の符号で極大・極小・鞍点を判定する。

微分積分の第4単元（全8単元）。先に読む単元：テイラー展開

院試数学基礎完成シリーズ微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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偏微分と全微分可能性の定義

定義

偏微分係数

$f(x, y)$ の点 $(a, b)$ での $x$ についての偏微分係数を

f_x(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h, b) - f(a, b)}{h}

で定める。 $f_y$ も同様である。偏微分係数は $x$ 軸・ $y$ 軸に平行な方向だけの変化率である。

定義

全微分可能性

定数 $A, B$ があり

f(a + h, b + k) = f(a, b) + Ah + Bk + o\big(\sqrt{h^2 + k^2}\big) \quad ((h, k) \to (0, 0))

が成り立つとき、 $f$ は $(a, b)$ で全微分可能という。このとき $A = f_x(a, b)$ 、 $B = f_y(a, b)$ で、 $df = f_x\,dx + f_y\,dy$ を全微分という。 $z = f(a, b) + A(x - a) + B(y - b)$ が接平面である。

偏微分可能・全微分可能・連続の関係

定理・法則

全微分可能性の十分条件

条件

$f_x$ 、 $f_y$ が点 $(a, b)$ の近くで存在し、 $(a, b)$ で連続（とくに $f$ が $C^1$ 級）。

主張

$f$ は $(a, b)$ で全微分可能である。全微分可能なら $f$ は連続で、偏微分可能である。

要点

$f(a + h, b + k) - f(a, b)$ を $x$ 方向と $y$ 方向の差に分け、それぞれに平均値の定理を使う。逆向きはどれも成り立たない。偏微分可能でも連続とは限らず、全微分可能でも $C^1$ 級とは限らない。

定理・法則

偏微分の順序交換（シュワルツの定理）

条件

$f_{xy}$ と $f_{yx}$ が点の近くで存在し、その点で連続（とくに $f$ が $C^2$ 級）。

主張

$f_{xy} = f_{yx}$ が成り立つ。

要点

連続性がないと成り立たない。 $f = xy(x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)$ 、 $f(0, 0) = 0$ では $f_x(0, y) = -y$ 、 $f_y(x, 0) = x$ から $f_{xy}(0, 0) = -1$ 、 $f_{yx}(0, 0) = 1$ となる。ここで $f_{xy}$ は $x$ 、 $y$ の順に偏微分したものとする。

計算例

偏微分できるが連続でない関数

$f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ （ $(x, y) \neq (0, 0)$ ）、 $f(0, 0) = 0$ の、原点での偏微分可能性と連続性を調べよ。

解答

$f(h, 0) = 0$ なので $f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} 0/h = 0$ 。同様に $f_y(0, 0) = 0$ で、偏微分可能である。一方、直線 $y = x$ に沿うと $f(x, x) = 1/2$ 、 $y = 0$ に沿うと $f(x, 0) = 0$ で、近づき方により値が異なる。よって $(x, y) \to (0, 0)$ の極限は存在せず、原点で連続でない。連続でないので全微分可能でもない。

検算

直線 $y = mx$ に沿うと $f = m/(1 + m^2)$ で、 $m$ によって $-1/2$ から $1/2$ までの値をとる。

多変数の連鎖律

定理・法則

連鎖律

条件

$f(x, y)$ が全微分可能で、 $x = x(u, v)$ 、 $y = y(u, v)$ が偏微分可能。

主張

\frac{\partial f}{\partial u} = f_x \frac{\partial x}{\partial u} + f_y \frac{\partial y}{\partial u}, \qquad \frac{\partial f}{\partial v} = f_x \frac{\partial x}{\partial v} + f_y \frac{\partial y}{\partial v}

要点

$f$ が偏微分可能なだけでは成り立たない。 $f = x^2y/(x^2 + y^2)$ 、 $f(0, 0) = 0$ は原点で連続で $f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 0$ だが全微分可能でない。 $x = y = t$ を代入すると $f = t/2$ で $t$ による微分は $1/2$ になり、連鎖律から出る $f_x + f_y = 0$ と合わない。

計算例

極座標での偏微分

$x = r\cos\theta$ 、 $y = r\sin\theta$ とおく。 $C^1$ 級の $f$ について $f_x^2 + f_y^2 = f_r^2 + \dfrac{1}{r^2} f_\theta^2$ を示せ。

解答

連鎖律から

f_r = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta, \qquad f_\theta = -f_x r\sin\theta + f_y r\cos\theta

よって $f_r^2 + f_\theta^2/r^2 = (f_x\cos\theta + f_y\sin\theta)^2 + (-f_x\sin\theta + f_y\cos\theta)^2 = f_x^2 + f_y^2$ 。交差項は打ち消し合い、 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ が残る。

検算

$f = x^2 + y^2 = r^2$ では左辺 $4x^2 + 4y^2 = 4r^2$ 、右辺 $(2r)^2 + 0 = 4r^2$ 。同じ方法で2階まで計算すると $f_{xx} + f_{yy} = f_{rr} + f_r/r + f_{\theta\theta}/r^2$ も出る。

ヘッセ行列による極値判定

定理・法則

2変数関数の極値判定

条件

$f$ は点 $(a, b)$ の近くで $C^2$ 級で、 $f_x(a, b) = f_y(a, b) = 0$ 。 $H = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ を $(a, b)$ で評価する。

主張

$H > 0$ かつ $f_{xx} > 0$ なら極小。
$H > 0$ かつ $f_{xx} < 0$ なら極大。
$H < 0$ なら極値でない（鞍点）。
$H = 0$ ならこの判定法では決まらない。

要点

2次のテイラー展開 $f(a + h, b + k) \approx f(a, b) + \tfrac{1}{2}(f_{xx}h^2 + 2f_{xy}hk + f_{yy}k^2)$ の2次形式の符号で決まる。 $n$ 変数ではヘッセ行列が正定値なら極小、負定値なら極大、正負の固有値を両方もてば鞍点である。

計算例

停留点を求めて極値を判定する

$f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ の極値を求めよ。

解答

$f_x = 3x^2 - 3y = 0$ 、 $f_y = 3y^2 - 3x = 0$ から $y = x^2$ 、 $x^4 = x$ 。実数解は $(0, 0)$ と $(1, 1)$ 。 $f_{xx} = 6x$ 、 $f_{yy} = 6y$ 、 $f_{xy} = -3$ より

$(0, 0)$ ： $H = 0 \cdot 0 - 9 = -9 < 0$ で鞍点。
$(1, 1)$ ： $H = 36 - 9 = 27 > 0$ 、 $f_{xx} = 6 > 0$ で極小。極小値は $f(1, 1) = -1$ 。

検算

原点では $f(t, t) = 2t^3 - 3t^2 < 0$ 、 $f(t, -t) = 3t^2 > 0$ （ $t \neq 0$ が小さいとき）で、正負の値をとるから極値でない。

計算例

判定法で決まらない場合

$f = x^4 + y^4$ と $g = x^4 - y^4$ の原点での極値を調べよ。

解答

どちらも原点で1階偏微分が $0$ 、2階偏微分がすべて $0$ なので $H = 0$ で判定法は使えない。定義に戻ると、 $f > 0 = f(0, 0)$ （原点以外）なので $f$ は極小。 $g$ は $x$ 軸上で正、 $y$ 軸上で負の値をとるので極値でない。

検算

$H = 0$ の点では、軸や直線 $y = mx$ 、曲線に沿った値を調べ、原点との大小を直接比べる。

答案でよくある誤り

1
偏微分可能だから連続だと結論する。偏微分は軸方向の情報しか持たないので、 $xy/(x^2 + y^2)$ のように連続でない例がある。連続性は $(x, y) \to (a, b)$ の極限で調べる。
2
直線 $y = mx$ に沿った極限が一致することから、極限が存在すると結論する。 $x^2y/(x^4 + y^2)$ はすべての直線に沿って $0$ に近づくが、 $y = x^2$ に沿うと $1/2$ になる。存在を示すときは極座標などで $|f - L|$ を $(x, y)$ の向きによらず評価する。
3
停留点の判定で $H = 0$ のときに「極値なし」と書く。 $H = 0$ は判定できないという意味なので、高次の項や直線・曲線に沿った値で調べる。
4
$H > 0$ だけで極小と判定する。 $H > 0$ のときは $f_{xx}$ の符号で極大か極小かが分かれる。
5
停留点を求めるときに $x^4 = x$ を $x^3 = 1$ と割って $x = 0$ を落とす。両辺を変数で割る前に、その変数が $0$ の場合を分けて調べる。

偏微分と極値が出た院試の過去問

院試hubが年度別解説の大問を分類した集計から、この単元の内容を扱う出題を挙げる。問題文は各大学の公式過去問で確かめ、解き方は各年度の解説ページで読める。

偏微分可能性と連続性

9大学・12問（2007〜2026年度）

新しい年度の出題

名古屋大学大学院数学 2026年度第3問後期 1 日目第 3 問 $f_{n}(x,y)=x^{n}y/(x^{2}+y^{2})$ の連続性・偏微分・$C^{1}$
東北大学大学院情報基礎科学専攻数学群 2025年度第3問偏微分可能性と全微分可能性
九州大学大学院基礎科目 2024年度第2問偏微分可能性と二階微分
早稲田大学大学院機械科学・航空宇宙専攻専門科目 2024年度第1問数学：行列指数関数と複素対数
千葉大学大学院専門科目（A0・A問題・B問題） 2021年度第11問B5 コーシー・リーマンと留数定理による広義積分
東京科学大学数学 2021年度第3問多変数解析・連続性

解答まで無料で読める演習問題

早稲田大学大学院機械科学・航空宇宙専攻専門科目 2024年度第1問数学：行列指数関数と複素対数
東北大学大学院情報基礎科学専攻数学群 2023年度第1問対角線上の連続性と全微分
東京大学専門科目A 2014年度第3問距離関数の微分
東京大学専門科目A 2007年度第2問偏微分可能性と極座標積分

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微分積分の前後の単元

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この単元を使う：ラグランジュの未定乗数法
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この単元を使う：ベクトル解析・勾配・発散・回転
この単元を使う：複素関数論・正則関数とコーシー・リーマンの方程式
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