東北大 情報科学研究科 情報基礎科学専攻 数学群 2023年8月実施 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

与えられた関数は，次の積分表示で一つの式にまとめられる。 $$f(x,y)=\int_0^1 \exp\{tx+(1-t)y\}\,dt .$$ 実際，$x\ne y$ なら右辺は $$\int_0^1 e^{y+t(x-y)}\,dt =\frac{e^x-e^y}{x-y}$$ であり，$x=y$ なら $e^x$ である。したがって被積分関数は $(x,y,t)$ について連続で，積分区間も固定されているから，特に $(a,a)$ で連続である。

同じ表示から積分記号下で偏微分してよいので $$f_x(x,y)=\int_0^1 t\exp\{tx+(1-t)y\}\,dt,\qquad f_y(x,y)=\int_0^1 (1-t)\exp\{tx+(1-t)y\}\,dt .$$ よって $$f_x(a,a)=e^a\int_0^1 t\,dt=\frac{e^a}{2},\qquad f_y(a,a)=e^a\int_0^1 (1-t)\,dt=\frac{e^a}{2}.$$

最後に全微分可能性を示す。$h,k\to0$ とおくと $$\begin{aligned} f(a+h,a+k)-f(a,a) &=\int_0^1 e^a\left(e^{th+(1-t)k}-1\right)\,dt . \end{aligned}$$ $r_t=th+(1-t)k$ とおけば，$|r_t|\le |h|+|k|$ であり， $$e^{r_t}=1+r_t+O\left((|h|+|k|)^2\right)$$ が $0\le t\le1$ で一様に成り立つ。したがって $$\begin{aligned} f(a+h,a+k)-f(a,a) &= e^a\int_0^1 \{th+(1-t)k\}\,dt +O\left((|h|+|k|)^2\right)\\ &= \frac{e^a}{2}(h+k) +o\left(\sqrt{h^2+k^2}\right). \end{aligned}$$ これは $(a,a)$ における全微分可能性を意味する。