東北大 情報科学研究科 情報基礎科学専攻 数学群 2023年8月実施 院試 解答例・解説

積分表示を作る理由

差商の形を直接扱うと，$x=y$ に近づく極限で場合分けが重くなる。指数関数の基本定理 $$e^x-e^y=\int_y^x e^u\,du$$ を $u=y+t(x-y)$ と置き換えると，対角線上も含めて同じ式で扱える。この時点で連続性と偏微分計算がほぼ終わる。

全微分可能性の確認

偏微分係数が存在するだけでは全微分可能性は従わない。ここでは一次近似からの余りが $o(\sqrt{h^2+k^2})$ であることを明示した。積分表示では余り評価が $t$ に関して一様にできるため，極限操作の正当化が書きやすい。

核の基底

核は行基本変形で最も確実に求められる。階数が2なので核の次元は $4-2=2$ である。この次元確認を書いておくと，得られた2本が基底であることの根拠になる。

直交補空間の検算

$W^\perp$ は2次元である。提示した $q_1,q_2$ は互いに直交し，どちらも $p_1,p_2$ に直交するため，正規化すれば正規直交基底になる。最後の分解では $$p_1\cdot w'=0,\qquad p_2\cdot w'=0$$ が成り立つので，$w'\in W^\perp$ の確認も済んでいる。

偏微分の出し方

長方形領域の上端または右端だけが動くので，偏微分は1変数積分になる。被積分関数の連続性を先に示しておくと，積分の基本定理を安心して使える。

極値の数え上げ

$g_n'(x)$ の式そのものよりも，変数変換 $z=n\pi x^2$ が重要である。これにより根の問題は標準的な $\tan z=z$ の解の個数に帰着する。区間ごとに $\tan z$ の符号と単調性を見れば，解を近似計算せずに個数だけを正確に数えられる。

合同変換と正定値性

正定値性は相似変換ではなく合同変換で保たれる。すなわち正則行列 $P$ に対して $M$ と $P^TMP$ は同時に正定値である。この問題では2次の場合の平方完成が，そのまま高次元のSchur補の議論につながっている。

Schur補の見方

$x^TAx+2x^Ty+y^TBy$ を $y$ について平方完成すると，残る項が $A-B^{-1}$ になる。ここで $B$ の正定値性は，逆行列の存在と第2項の正値性の両方に必要である。