東北大 情報科学研究科 情報基礎科学専攻 数学群 2022年8月実施 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

まず行列式を計算する。 $$\begin{aligned} \det A &= 2(4-2\alpha)-\alpha(4-\alpha^2)+2(4-2\alpha)\\ &= \alpha^3-12\alpha+16\\ &= (\alpha-2)^2(\alpha+4). \end{aligned}$$ したがって $A$ が正則である条件は $$\alpha\ne2,\qquad \alpha\ne-4$$ である。

次に特異な場合に $Ay=b$ を解く。まず $\alpha=2$ では，$A$ の各成分はすべて2である。したがって $$Ay=2(y_1+y_2+y_3) \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$ となるが，このベクトルは右辺 $(1,2,3)^T$ にはなり得ない。よって解は存在しない。

$\alpha=-4$ のときは行基本変形により $$\left( \begin{array}{ccc|c} 2&-4&2&1\\ 2&2&-4&-4\\ -4&2&2&3 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&-1&-\frac76\\ 0&1&-1&-\frac56\\ 0&0&0&0 \end{array} \right).$$ したがって $t\in\mathbb{C}$ を任意として $$y= \begin{pmatrix} t-\frac76\\[1mm] t-\frac56\\[1mm] t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac76\\[1mm] -\frac56\\[1mm] 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$ がすべての解である。

$W=\ker A$ の次元が1以上である条件は，$A$ が特異である条件と同じである。よって $$\alpha=2\quad\text{または}\quad \alpha=-4$$ である。

最後に核の基底を求める。$\alpha=2$ では条件は $$y_1+y_2+y_3=0$$ であるから $$W=\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix} \right\}.$$ $\alpha=-4$ では $$W=\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \right\}.$$