東北大 情報科学研究科 情報基礎科学専攻 数学群 2022年8月実施 院試 解答例・解説

符号の確認

$\partial f/\partial x$ は負であるため，二重積分の値も負になる。一方，最後の1変数積分は $e^{-e^x}>e^{-e^{2x}}$ により正である。順序交換後の式と最後に求める式は符号が逆なので，ここを落とすと答えの符号を誤る。

端点での収束

$x=0$ 付近では分子が1次の大きさで消えるため，最後の積分は特異に見えても有限である。無限遠では $e^{-e^x}$ が非常に速く0へ向かうので収束性に問題はない。

正則性と核の関係

有限次元では $\dim\ker A\ge1$ と $A$ が特異であることは同値である。したがって第3問は，行列式の因数分解を再利用できる。

特異でも連立方程式が解けるとは限らない

$\alpha=2$ では核は大きいが，右辺が列空間に入らないため $Ay=b$ は解を持たない。特異な場合は，核だけでなく拡大係数行列の整合性を必ず確認する必要がある。

第2微分の符号

内部最大点では任意方向の2階微分が非正になる。ここでは座標軸方向だけ見れば十分で， $f_{xx}\le0,\ f_{yy}\le0$ からラプラシアンが正になれないことが分かる。

境界への帰着

具体例では内部停留点が領域外にあるため，最大値は境界上に限られる。境界条件から $x^2$ を消去すると1変数の二次関数になり，端点と頂点を含めて確認できる。頂点が許容範囲に入っていることを書くのが重要である。

分解の見方

$\mathbb{R}^3$ は $\mathbf{1}$ の張る1次元空間と，成分和が0の2次元空間に分かれる。$J$ は前者では3倍，後者では0として働く。この分解を使うと，6次元の問題が2次元部分と4次元部分に分かれる。

逆行列の形

対称なブロック構造を保つため，逆行列も同じ形に置くのが自然である。$J^2=3J$ を使えば係数比較だけで確認できる。固有値から正則条件を先に出しておくと，分母が0にならない条件も同時に確認できる。