東北大 情報科学研究科 情報基礎科学専攻 数学群 院試過去問の解答・解説集

東北大 情報基礎科学専攻 数学群の設問の主題と、解説で扱う内容を実施回ごとにまとめています。 微分積分・解析・線形代数は以下の6回すべてで扱っています。

1. 2025年8月実施解説4項目重積分と極座標／線形写像の核と像／偏微分可能性と全微分可能性／実対称行列とRayleigh商

   • 第1問 微分積分・解析重積分と極座標解説: 領域の読み替え / 極座標での境界
   • 第2問 線形代数線形写像の核と像解説: 核の計算 / 交わりの調べ方
   • 第3問 微分方程式偏微分可能性と全微分可能性解説: 全微分可能性の核心 / 偏微分可能と全微分可能の違い
   • 第4問 線形代数実対称行列とRayleigh商解説: 固有値の構造 / Rayleigh商

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2. 2024年8月実施解説4項目楕円領域の重積分／対称行列の固有値と極限／凸関数の基本性質／階数と半正定値行列

   • 第1問 微分積分・解析楕円領域の重積分解説: 領域の見方 / rθ 平面での注意
   • 第2問 数学対称行列の固有値と極限解説: 構造の見抜き方 / 極限の意味
   • 第3問 微分積分・解析凸関数の基本性質解説: 中心となる道具 / 連続性の証明
   • 第4問 線形代数階数と半正定値行列解説: 階数の見方 / 半正定値と固有値

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3. 2023年8月実施解説4項目対角線上の連続性と全微分／核と直交分解／重積分で定まる関数／正定値行列とSchur補

   • 第1問 微分積分・解析対角線上の連続性と全微分解説: 積分表示を作る理由 / 全微分可能性の確認
   • 第2問核と直交分解解説: 核の基底 / 直交補空間の検算
   • 第3問 微分積分・解析重積分で定まる関数解説: 偏微分の出し方 / 極値の数え上げ
   • 第4問 線形代数正定値行列とSchur補解説: 合同変換と正定値性 / Schur補の見方

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4. 2022年8月実施解説4項目指数関数の積分と順序交換／複素行列の特異値と核／最大値原理と楕円領域／ブロック行列の固有値と逆行列

   • 第1問 微分積分・解析指数関数の積分と順序交換解説: 符号の確認 / 端点での収束
   • 第2問 数学複素行列の特異値と核解説: 正則性と核の関係 / 特異でも連立方程式が解けるとは限らない
   • 第3問最大値原理と楕円領域解説: 第2微分の符号 / 境界への帰着
   • 第4問 線形代数ブロック行列の固有値と逆行列解説: 分解の見方 / 逆行列の形

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5. 2021年8月実施解説4項目微分可能性と正則性／行列の対角化と多項式表示／Riemann和の極限／生成部分空間と固有空間の和

   • 第1問 微分積分・解析微分可能性と正則性解説: 振動項は振幅で判定する / 片側の確認
   • 第2問 線形代数行列の対角化と多項式表示解説: 重複固有値の確認 / 多項式表示の考え方
   • 第3問 微分積分・解析Riemann和の極限解説: 和の形を見る / 第2の極限の小さい補正
   • 第4問生成部分空間と固有空間の和解説: 生成系から基底を選ぶ / 固有空間の和

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6. 2020年8月実施解説4項目中心差分と2階微分／共通固有ベクトルと可換行列／非負関数の広義積分／置換表現の不変部分空間

   • 第1問 微分積分・解析中心差分と2階微分解説: 1階微分が消える理由 / 2変数でも混合微分は不要
   • 第2問 線形代数共通固有ベクトルと可換行列解説: 共通固有ベクトルは交わりで探す / 可換性が固有空間を保つ
   • 第3問 微分積分・解析非負関数の広義積分解説: 単調性が効く場所 / xf(x) の評価
   • 第4問置換表現の不変部分空間解説: 置換表現の分解 / 符号表現は含まれない

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