正則関数とコーシー・リーマンの方程式複素微分の定義・正則の判定・等角写像

$f_1$: $u = x^2 - y^2$、$v = 2xy$。$u_x = 2x = v_y$、$u_y = -2y = -v_x$ がすべての点で成り立ち、偏導関数は連続なので整関数。$f_1' = u_x + iv_x = 2x + 2iy = 2z$。

$f_2$: $u = x$、$v = -y$。$u_x = 1$、$v_y = -1$ でどの点でも方程式を満たさない。どこでも微分可能でない。

$f_3$: $u = x^2 + y^2$、$v = 0$。$u_x = 2x = 0$、$u_y = 2y = 0$ が必要なので、微分可能な点は原点だけ。原点の近傍で微分可能でないから、どの点でも正則でない。

$f_2$ の差分商は $\bar{h}/h$ で、$h$ を実数にすると $1$、純虚数にすると $-1$。極限が近づき方で変わることを直接確かめられる。$f_3$ は原点で差分商 $\bar{h}$ が $0$ に収束し、微分係数 $0$ をもつ。

$u_{xx} + u_{yy} = 6x - 6x = 0$ で調和である。$v_y = u_x = 3x^2 - 3y^2$ を $y$ で積分して $v = 3x^2 y - y^3 + h(x)$。$v_x = 6xy + h'(x)$ と $-u_y = 6xy - 1$ を比べて $h' = -1$、$h = -x + C$。

$z^3 = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2 y - y^3)$、$-iz = y - ix$ なので、$z^3 - iz$ の実部は $x^3 - 3xy^2 + y = u$、虚部は $3x^2 y - y^3 - x$ で一致する。$y = 0$ とおくと $f(x) = u(x, 0) + iv(x, 0) = x^3 - ix + iC$ となり、$x$ を $z$ に置き換えても同じ式が得られる。

$x = a$ 上の点 $a + it$ は $U = a^2 - t^2$、$V = 2at$ に移る。$t = V/(2a)$ を消去して

（左に開く放物線）。同様に $y = b$ の像は $U = \dfrac{V^2}{4b^2} - b^2$（右に開く放物線）。交点 $z_0 = a + ib$ で、元の2直線の接ベクトルは $i$ と $1$ なので、像の接ベクトルは $f'(z_0)i = 2z_0 i$ と $2z_0$。一方は他方を $90^\circ$ 回したものだから直交する。

実ベクトルで書くと $2z_0 = (2a, 2b)$、$2z_0 i = (-2b, 2a)$ で、内積は $-4ab + 4ab = 0$。どちらの放物線も焦点は原点で、共焦放物線の族になる。

$e^{a + it} = e^a e^{it}$ なので、$x = a$ の像は原点中心・半径 $e^a$ の円（$t$ が長さ $2\pi$ 動くと一周する）。$e^{s + ib} = e^s e^{ib}$ なので、$y = b$ の像は原点から偏角 $b$ の向きに出る半直線。円と半直線は交点で直交する。

$(e^z)' = e^z \neq 0$ なので、どの点でも交角は保たれ、結果と合う。$|e^z| = e^x$ から、$x \to -\infty$ で円は原点に縮み、原点そのものは像に入らない。