# 正則関数とコーシー・リーマンの方程式｜複素微分の定義・正則の判定・等角写像

> 複素関数の微分可能性と正則の定義、コーシー・リーマンの方程式による判定（全微分可能性の条件つき）、調和共役の求め方、正則関数が交角を保つ理由を計算例と図で解説。偏微分だけで判定する誤りも扱います。

- HTML版（正規URL）: https://inshihub.com/basics/complex-analysis/holomorphic-functions-cauchy-riemann
- 科目: [複素関数論](https://inshihub.com/basics/complex-analysis)（大学基礎課程の数学・物理・化学・生物・情報）
- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [偏微分と極値](https://inshihub.com/basics/calculus/partial-derivatives-extrema)

複素関数 $f(z)$ が点 $z_0$ で微分可能とは、極限 $\lim_{h\to 0} \{f(z_0 + h) - f(z_0)\}/h$ が $h$ の近づき方によらず存在することをいい、$z_0$ の近くのすべての点で微分可能なとき $z_0$ で正則という。$f = u + iv$ が微分可能であることは、$u, v$ が全微分可能でコーシー・リーマンの方程式 $u_x = v_y$、$u_y = -v_x$ を満たすことと同値で、このとき $f'(z) = u_x + iv_x$ である。正則で $f'(z_0) \neq 0$ の点では、写像 $w = f(z)$ は曲線の交わる角を保つ。

## 複素微分と正則の定義

### 定義：複素微分可能と正則

$f$ を開集合 $D \subset \mathbb{C}$ で定義された複素数値関数とする。$z_0 \in D$ で

$$f'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} \qquad (h \in \mathbb{C})$$

が存在するとき、$f$ は $z_0$ で複素微分可能という。$h$ は実軸方向だけでなく、あらゆる向きから $0$ に近づく。$f$ が $z_0$ のある近傍のすべての点で微分可能なとき $z_0$ で正則、$D$ のすべての点で正則なとき $D$ で正則という。$\mathbb{C}$ 全体で正則な関数を整関数という。

### 定義：初等関数

$z = x + iy$ に対して

$$e^z = e^x(\cos y + i\sin y), \qquad \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \qquad \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$$

と定める。これらは整関数で、$(e^z)' = e^z$ など実数のときと同じ微分公式が成り立つ。$e^z$ は周期 $2\pi i$ をもつ。対数の主値は $\operatorname{Log} z = \ln|z| + i\operatorname{Arg} z$（$-\pi < \operatorname{Arg} z \le \pi$）で、$\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$ で正則、$(\operatorname{Log} z)' = 1/z$。

多項式、有理関数（分母が $0$ の点を除く）、正則関数の和・積・商・合成は正則である。$\bar{z}$、$|z|$、$\operatorname{Re} z$ は $z$ の式として書けても、どの点でも正則でない。

## コーシー・リーマンの方程式

### 定理・法則：コーシー・リーマンの方程式による判定

条件：

$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ を開集合 $D$ で定義された関数とし、$z_0 = x_0 + iy_0 \in D$。

主張：

$f$ が $z_0$ で複素微分可能であるための必要十分条件は、$u, v$ が $(x_0, y_0)$ で全微分可能で

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

を満たすことである。このとき $f'(z_0) = u_x + iv_x = v_y - iu_y$。

要点：

$h$ を実軸方向から近づけると $f' = u_x + iv_x$、虚軸方向から近づけると $f' = v_y - iu_y$ となり、両者を等しいとおくと方程式が出る。偏導関数が存在して方程式を満たすだけでは足りない。$f = \sqrt{|xy|}$（$v = 0$）は原点で $u_x = u_y = v_x = v_y = 0$ だが、$y = x$（$x > 0$）に沿うと $\{f(z) - f(0)\}/z = 1/(1+i)$ となり、実軸に沿う値 $0$ と異なるので微分可能でない。

実用上は、$u, v$ の偏導関数が $D$ で連続（$C^1$ 級）ならば全微分可能なので、$D$ でコーシー・リーマンの方程式が成り立つことを確かめれば $f$ は $D$ で正則とわかる。

### 同値な書き方と帰結

- 極座標

  $$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}, \qquad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}$$

  $z = re^{i\theta}$、$r > 0$ で使う。$z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$ はこれを満たす。

- $\bar{z}$ による微分

  $$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial f}{\partial x} + i\frac{\partial f}{\partial y} \right) = 0$$

  コーシー・リーマンの方程式の2式を1つにまとめた形。全微分可能な $f$ がその点で複素微分可能であることは、$\partial f/\partial\bar{z} = 0$ と同値である。$|z|^2 = z\bar{z}$ では $\partial f/\partial\bar{z} = z$ なので、微分可能な点は原点だけになる。

- 調和性

  $$\nabla^2 u = u_{xx} + u_{yy} = 0, \qquad \nabla^2 v = 0$$

  正則関数は何回でも微分できる（[コーシーの積分公式](https://inshihub.com/basics/complex-analysis/cauchy-integral-theorem)から出る）ので、$u_{xx} = v_{yx} = v_{xy} = -u_{yy}$。このとき $v$ を $u$ の調和共役という。

## 正則かどうかの判定と調和共役の計算

### 計算例：$z^2$、$\bar{z}$、$|z|^2$ の判定

$f_1 = z^2$、$f_2 = \bar{z}$、$f_3 = |z|^2$ が複素微分可能な点と正則な点を求めよ。

解答：

$f_1$: $u = x^2 - y^2$、$v = 2xy$。$u_x = 2x = v_y$、$u_y = -2y = -v_x$ がすべての点で成り立ち、偏導関数は連続なので整関数。$f_1' = u_x + iv_x = 2x + 2iy = 2z$。

$f_2$: $u = x$、$v = -y$。$u_x = 1$、$v_y = -1$ でどの点でも方程式を満たさない。どこでも微分可能でない。

$f_3$: $u = x^2 + y^2$、$v = 0$。$u_x = 2x = 0$、$u_y = 2y = 0$ が必要なので、微分可能な点は原点だけ。原点の近傍で微分可能でないから、どの点でも正則でない。

検算：

$f_2$ の差分商は $\bar{h}/h$ で、$h$ を実数にすると $1$、純虚数にすると $-1$。極限が近づき方で変わることを直接確かめられる。$f_3$ は原点で差分商 $\bar{h}$ が $0$ に収束し、微分係数 $0$ をもつ。

### 計算例：調和共役を求める

$u(x, y) = x^3 - 3xy^2 + y$ が調和関数であることを確かめ、$f = u + iv$ が正則となる $v$ と、$f$ を $z$ の式で求めよ。

解答：

$u_{xx} + u_{yy} = 6x - 6x = 0$ で調和である。$v_y = u_x = 3x^2 - 3y^2$ を $y$ で積分して $v = 3x^2 y - y^3 + h(x)$。$v_x = 6xy + h'(x)$ と $-u_y = 6xy - 1$ を比べて $h' = -1$、$h = -x + C$。

$$v = 3x^2 y - y^3 - x + C, \qquad f(z) = z^3 - iz + iC$$

検算：

$z^3 = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2 y - y^3)$、$-iz = y - ix$ なので、$z^3 - iz$ の実部は $x^3 - 3xy^2 + y = u$、虚部は $3x^2 y - y^3 - x$ で一致する。$y = 0$ とおくと $f(x) = u(x, 0) + iv(x, 0) = x^3 - ix + iC$ となり、$x$ を $z$ に置き換えても同じ式が得られる。

## 正則関数が交角を保つ理由

### 定理・法則：等角性

条件：

$f$ は $z_0$ で正則で $f'(z_0) \neq 0$。$z_0$ を通る2本の滑らかな曲線の接ベクトルを複素数 $w_1, w_2$（$\neq 0$）で表す。

主張：

像の曲線の接ベクトルは $f'(z_0)w_1$、$f'(z_0)w_2$ である。どちらも同じ複素数を掛けたものなので、像の曲線どうしの交角は向きも含めて元の交角に等しい。$z_0$ の近くの小さな図形は、$|f'(z_0)|$ 倍に拡大され $\arg f'(z_0)$ だけ回転する。

要点：

曲線 $\gamma(t)$ の像 $f(\gamma(t))$ を微分すると、合成関数の微分で $f'(\gamma(t))\gamma'(t)$。$f'(z_0) = 0$ の点では成り立たない。$f$ の $z_0$ での最初の $0$ でない導関数が $k$ 階なら、交角は $k$ 倍になる。$f = z^2$ の原点では角が2倍になる。

（図：HTML版では操作できる図を置いている。$z$ 平面の正方格子（左）と、$f(z) = z^2$、$e^z$、$1/z$ などで移した $w$ 平面の像（右）を並べた図。縦線と横線の像は曲線になるが、$f'(z) \neq 0$ の点では像の曲線どうしも直角に交わる。$z^2$ の原点のように $f'(z) = 0$ となる点では、直角が $180^\circ$ に開く。）

### 計算例：$w = z^2$ による格子の像

$w = z^2 = U + iV$ で、直線 $x = a$（$a \neq 0$）と $y = b$（$b \neq 0$）の像を求め、交点で直交することを確かめよ。

解答：

$x = a$ 上の点 $a + it$ は $U = a^2 - t^2$、$V = 2at$ に移る。$t = V/(2a)$ を消去して

$$U = a^2 - \frac{V^2}{4a^2}$$

（左に開く放物線）。同様に $y = b$ の像は $U = \dfrac{V^2}{4b^2} - b^2$（右に開く放物線）。交点 $z_0 = a + ib$ で、元の2直線の接ベクトルは $i$ と $1$ なので、像の接ベクトルは $f'(z_0)i = 2z_0 i$ と $2z_0$。一方は他方を $90^\circ$ 回したものだから直交する。

検算：

実ベクトルで書くと $2z_0 = (2a, 2b)$、$2z_0 i = (-2b, 2a)$ で、内積は $-4ab + 4ab = 0$。どちらの放物線も焦点は原点で、共焦放物線の族になる。

### 計算例：$w = e^z$ による格子の像

$w = e^z$ で、直線 $x = a$ と $y = b$ の像を求めよ。

解答：

$e^{a + it} = e^a e^{it}$ なので、$x = a$ の像は原点中心・半径 $e^a$ の円（$t$ が長さ $2\pi$ 動くと一周する）。$e^{s + ib} = e^s e^{ib}$ なので、$y = b$ の像は原点から偏角 $b$ の向きに出る半直線。円と半直線は交点で直交する。

検算：

$(e^z)' = e^z \neq 0$ なので、どの点でも交角は保たれ、結果と合う。$|e^z| = e^x$ から、$x \to -\infty$ で円は原点に縮み、原点そのものは像に入らない。

## 答案でよくある誤り

1. 「1点でコーシー・リーマンの方程式が成り立つから、その点で正則」とする。正則にはその点の近傍全体での微分可能性が必要で、$|z|^2$ は原点で微分可能だが正則でない。
2. 偏導関数の存在とコーシー・リーマンの方程式だけで微分可能とする。$u, v$ の全微分可能性（偏導関数の連続性で確かめることが多い）も確認する。
3. $\sin z$、$\cos z$ が実数のときと同じく有界だと考える。$\sin(iy) = i\sinh y$ で、虚軸方向に指数的に大きくなる。$|e^z| = e^{x}$ も $y$ によらない。
4. $\operatorname{Log}(z_1 z_2) = \operatorname{Log} z_1 + \operatorname{Log} z_2$ をいつでも使う。$z_1 = z_2 = -1$ では左辺が $0$、右辺が $2\pi i$ になる。偏角の和が $(-\pi, \pi]$ に入るときだけ成り立つ。
5. $f'(z_0) = 0$ の点でも交角が保たれるとする。等角性の条件は $f'(z_0) \neq 0$ で、$z^2$ の原点では交角が2倍になる。
6. 調和共役を求めるときに $h(x)$ のような積分定数を落とす。$v_y = u_x$ を $y$ で積分したら、もう一方の式 $v_x = -u_y$ で $x$ だけの関数を決める。