コーシーの積分定理と積分公式複素線積分・成り立つ条件・導関数の公式

$f(z) = e^z$ は整関数で、$a = 1$ は円 $|z| = 2$ の内部にある。積分公式から

円の半径を $1 < r$ の範囲で変えても、積分路の変形により値は同じ。数値積分 $\int_0^{2\pi} \frac{e^{2e^{i\theta}}}{2e^{i\theta} - 1}\, 2ie^{i\theta}\,d\theta$ も $2\pi e i \approx 17.08i$ になる。

$f(z) = \cos z$、$a = 0$、$n = 2$ とすると、導関数の公式から

$\cos z = 1 - \dfrac{z^2}{2} + \cdots$ を代入すると $\dfrac{\cos z}{z^3} = \dfrac{1}{z^3} - \dfrac{1}{2z} + \cdots$。円周上の整数べきの積分で残るのは $z^{-1}$ の項だけで、$-\dfrac{1}{2}\cdot 2\pi i = -\pi i$。

部分分数に分けると $\dfrac{1}{z^2 + 1} = \dfrac{1}{2i}\left( \dfrac{1}{z - i} - \dfrac{1}{z + i} \right)$。

$|z| = 2$ の内部には $\pm i$ の両方があるので、$\dfrac{1}{2i}(2\pi i - 2\pi i) = 0$。

$|z - i| = 1$ の内部には $i$ だけがあり、$-i$ は外部にある（$|-i - i| = 2 > 1$）。$\dfrac{1}{z+i}$ の項の積分は $0$ なので $\dfrac{1}{2i}\cdot 2\pi i = \pi$。

$|z| = R$（$R > 1$）の値は $R$ によらず、ML不等式で $\left|\oint\right| \le \dfrac{2\pi R}{R^2 - 1} \to 0$（$R \to \infty$）だから $0$ である。後者は積分公式で $f(z) = 1/(z + i)$、$a = i$ として $2\pi i \cdot \dfrac{1}{2i} = \pi$ と出しても同じ。

$z^2$ は整関数で原始関数 $z^3/3$ をもつので、どちらの経路でも $\dfrac{(1+i)^3}{3} = \dfrac{-2 + 2i}{3}$。

$\bar{z}$ は線分では $\int_0^1 (1 - i)t\,(1 + i)\,dt = \int_0^1 2t\,dt = 1$。折れ線では $\int_0^1 t\,dt + \int_0^1 (1 - it)\,i\,dt = \dfrac{1}{2} + \left(i + \dfrac{1}{2}\right) = 1 + i$。値が経路で異なる。

2つの経路を合わせた閉曲線（正方形の半分の三角形）での $\oint \bar{z}\,dz$ は、$\bar{z}\,dz$ にグリーンの定理を使うと $2i \times (\text{面積}) = 2i\cdot\dfrac{1}{2} = i$ で、折れ線と線分の差 $(1 + i) - 1 = i$ に一致する。単位円では $\oint_{|z|=1} \bar{z}\,dz = 2\pi i$ になる。