基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。
微分積分編の内容を見る ローラン展開 条件
f f f A = { z : r < ∣ z − a ∣ < R } A = \{ z : r < |z - a| < R \} A = { z : r < ∣ z − a ∣ < R } 0 ≤ r < R ≤ ∞ 0 \le r < R \le \infty 0 ≤ r < R ≤ ∞
主張
f f f A A A
f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n ( z − a ) n , a n = 1 2 π i ∮ ∣ ζ − a ∣ = ρ f ( ζ ) ( ζ − a ) n + 1 d ζ ( r < ρ < R ) f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - a)^n, \qquad a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\, d\zeta \quad (r < \rho < R) f ( z ) = n = − ∞ ∑ ∞ a n ( z − a ) n , a n = 2 π i 1 ∮ ∣ ζ − a ∣ = ρ ( ζ − a ) n + 1 f ( ζ ) d ζ ( r < ρ < R ) と展開でき、級数は A A A
要点
円環の外周と内周でコーシーの積分公式を使い、外周の積分を正のべき、内周の積分を負のべきの級数に展開する。一意性から、等比級数などどんな方法で求めた展開も、この係数と一致する。r = 0 r = 0 r = 0 a − n = 0 a_{-n} = 0 a − n = 0 n ≥ 1 n \ge 1 n ≥ 1
主要部と留数 ローラン展開の負のべきの部分 ∑ n = 1 ∞ a − n ( z − a ) − n \sum_{n=1}^{\infty} a_{-n}(z - a)^{-n} ∑ n = 1 ∞ a − n ( z − a ) − n a − 1 a_{-1} a − 1 f f f a a a Res ( f , a ) \operatorname{Res}(f, a) Res ( f , a ) 留数定理 で使う）。
展開に使う級数 等比級数（内側） 1 1 − w = ∑ n = 0 ∞ w n ( ∣ w ∣ < 1 ) \frac{1}{1 - w} = \sum_{n=0}^{\infty} w^n \qquad (|w| < 1) 1 − w 1 = n = 0 ∑ ∞ w n ( ∣ w ∣ < 1 ) 等比級数（外側） 1 1 − w = − ∑ n = 1 ∞ w − n ( ∣ w ∣ > 1 ) \frac{1}{1 - w} = -\sum_{n=1}^{\infty} w^{-n} \qquad (|w| > 1) 1 − w 1 = − n = 1 ∑ ∞ w − n ( ∣ w ∣ > 1 ) 1 1 − w = − 1 w ⋅ 1 1 − 1 / w \frac{1}{1 - w} = -\frac{1}{w}\cdot\frac{1}{1 - 1/w} 1 − w 1 = − w 1 ⋅ 1 − 1/ w 1
指数関数 e z = ∑ n = 0 ∞ z n n ! ( ∣ z ∣ < ∞ ) e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \qquad (|z| < \infty) e z = n = 0 ∑ ∞ n ! z n ( ∣ z ∣ < ∞ ) 三角関数 sin z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , cos z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n ( 2 n ) ! \sin z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}, \qquad \cos z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!} sin z = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! ( − 1 ) n z 2 n + 1 , cos z = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( − 1 ) n z 2 n 孤立特異点 f f f 0 < ∣ z − a ∣ < δ 0 < |z - a| < \delta 0 < ∣ z − a ∣ < δ a a a a a a 0 < ∣ z − a ∣ < δ 0 < |z-a| < \delta 0 < ∣ z − a ∣ < δ
除去可能特異点：主要部が無い。f ( a ) = a 0 f(a) = a_0 f ( a ) = a 0 a a a m m m a − m ≠ 0 a_{-m} \neq 0 a − m = 0 a − n = 0 a_{-n} = 0 a − n = 0 n > m n > m n > m 真性特異点：a − n ≠ 0 a_{-n} \neq 0 a − n = 0 n ≥ 1 n \ge 1 n ≥ 1 特異点の判定法 主張
a a a ⟺ \iff ⟺ a a a f f f ⟺ \iff ⟺ lim z → a f ( z ) \lim_{z\to a} f(z) lim z → a f ( z ) a a a m m m ⟺ \iff ⟺ lim z → a ( z − a ) m f ( z ) \lim_{z\to a} (z - a)^m f(z) lim z → a ( z − a ) m f ( z ) 0 0 0 ∣ f ( z ) ∣ → ∞ |f(z)| \to \infty ∣ f ( z ) ∣ → ∞ g g g a a a m m m g ( a ) = ⋯ = g ( m − 1 ) ( a ) = 0 g(a) = \cdots = g^{(m-1)}(a) = 0 g ( a ) = ⋯ = g ( m − 1 ) ( a ) = 0 g ( m ) ( a ) ≠ 0 g^{(m)}(a) \neq 0 g ( m ) ( a ) = 0 1 / g 1/g 1/ g a a a m m m a a a a a a f f f C \mathbb{C} C 要点
極と真性特異点は、∣ f ( z ) ∣ → ∞ |f(z)| \to \infty ∣ f ( z ) ∣ → ∞ f f f
領域ごとに異なる展開 f ( z ) = 1 ( z − 1 ) ( z − 2 ) f(z) = \dfrac{1}{(z - 1)(z - 2)} f ( z ) = ( z − 1 ) ( z − 2 ) 1 ∣ z ∣ < 1 |z| < 1 ∣ z ∣ < 1 1 < ∣ z ∣ < 2 1 < |z| < 2 1 < ∣ z ∣ < 2 ∣ z ∣ > 2 |z| > 2 ∣ z ∣ > 2
解答
部分分数に分けて f = 1 z − 2 − 1 z − 1 f = \dfrac{1}{z - 2} - \dfrac{1}{z - 1} f = z − 2 1 − z − 1 1
∣ z ∣ < 2 |z| < 2 ∣ z ∣ < 2 1 z − 2 = − 1 2 ⋅ 1 1 − z / 2 = − ∑ n = 0 ∞ z n 2 n + 1 \dfrac{1}{z - 2} = -\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1 - z/2} = -\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{z^n}{2^{n+1}} z − 2 1 = − 2 1 ⋅ 1 − z /2 1 = − ∑ n = 0 ∞ 2 n + 1 z n ∣ z ∣ > 2 |z| > 2 ∣ z ∣ > 2 1 z − 2 = 1 z ⋅ 1 1 − 2 / z = ∑ n = 1 ∞ 2 n − 1 z − n \dfrac{1}{z - 2} = \dfrac{1}{z}\cdot\dfrac{1}{1 - 2/z} = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-1} z^{-n} z − 2 1 = z 1 ⋅ 1 − 2/ z 1 = ∑ n = 1 ∞ 2 n − 1 z − n
∣ z ∣ < 1 |z| < 1 ∣ z ∣ < 1 − 1 z − 1 = ∑ n = 0 ∞ z n -\dfrac{1}{z - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n − z − 1 1 = ∑ n = 0 ∞ z n ∣ z ∣ > 1 |z| > 1 ∣ z ∣ > 1 − 1 z − 1 = − ∑ n = 1 ∞ z − n -\dfrac{1}{z - 1} = -\sum_{n=1}^{\infty} z^{-n} − z − 1 1 = − ∑ n = 1 ∞ z − n
(a) f = ∑ n = 0 ∞ ( 1 − 1 2 n + 1 ) z n (b) f = − ∑ n = 0 ∞ z n 2 n + 1 − ∑ n = 1 ∞ z − n (c) f = ∑ n = 2 ∞ ( 2 n − 1 − 1 ) z − n \begin{aligned} &\text{(a)} \quad f = \sum_{n=0}^{\infty} \left( 1 - \frac{1}{2^{n+1}} \right) z^n \\ &\text{(b)} \quad f = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^{n+1}} - \sum_{n=1}^{\infty} z^{-n} \\ &\text{(c)} \quad f = \sum_{n=2}^{\infty} (2^{n-1} - 1) z^{-n} \end{aligned} (a) f = n = 0 ∑ ∞ ( 1 − 2 n + 1 1 ) z n (b) f = − n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 z n − n = 1 ∑ ∞ z − n (c) f = n = 2 ∑ ∞ ( 2 n − 1 − 1 ) z − n 検算
(a) の定数項は 1 − 1 2 = 1 2 = f ( 0 ) 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = f(0) 1 − 2 1 = 2 1 = f ( 0 ) ∣ z ∣ |z| ∣ z ∣ f ≈ 1 / z 2 f \approx 1/z^2 f ≈ 1/ z 2 ( 2 − 1 ) z − 2 (2 - 1)z^{-2} ( 2 − 1 ) z − 2 z = 1.5 e 0.3 i z = 1.5e^{0.3i} z = 1.5 e 0.3 i f f f
極の位数と留数 sin z z 4 \dfrac{\sin z}{z^4} z 4 sin z z = 0 z = 0 z = 0
解答
sin z z 4 = 1 z 4 ( z − z 3 6 + z 5 120 − ⋯ ) = 1 z 3 − 1 6 z + z 120 − ⋯ \frac{\sin z}{z^4} = \frac{1}{z^4}\left( z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} - \cdots \right) = \frac{1}{z^3} - \frac{1}{6z} + \frac{z}{120} - \cdots z 4 sin z = z 4 1 ( z − 6 z 3 + 120 z 5 − ⋯ ) = z 3 1 − 6 z 1 + 120 z − ⋯ 主要部の最高次が z − 3 z^{-3} z − 3 z − 1 z^{-1} z − 1 − 1 6 -\dfrac{1}{6} − 6 1
検算
sin z \sin z sin z z = 0 z = 0 z = 0 z 4 z^4 z 4 4 − 1 = 3 4 - 1 = 3 4 − 1 = 3 lim z → 0 z 3 ⋅ sin z z 4 = 1 ≠ 0 \lim_{z\to 0} z^3 \cdot \dfrac{\sin z}{z^4} = 1 \neq 0 lim z → 0 z 3 ⋅ z 4 sin z = 1 = 0
真性特異点 e 1 / z e^{1/z} e 1/ z z = 0 z = 0 z = 0
解答
e w e^w e w w = 1 / z w = 1/z w = 1/ z 0 < ∣ z ∣ < ∞ 0 < |z| < \infty 0 < ∣ z ∣ < ∞
e 1 / z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n = 1 + 1 z + 1 2 z 2 + ⋯ e^{1/z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!\, z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2z^2} + \cdots e 1/ z = n = 0 ∑ ∞ n ! z n 1 = 1 + z 1 + 2 z 2 1 + ⋯ 負のべきが無限個あるので真性特異点。留数は 1 1 1
検算
正の実軸から z → + 0 z \to +0 z → + 0 e 1 / z → ∞ e^{1/z} \to \infty e 1/ z → ∞ z → − 0 z \to -0 z → − 0 e 1 / z → 0 e^{1/z} \to 0 e 1/ z → 0 ∮ ∣ z ∣ = 1 e 1 / z d z \oint_{|z|=1} e^{1/z}\,dz ∮ ∣ z ∣ = 1 e 1/ z d z 2 π i 2\pi i 2 π i 1 1 1
除去可能特異点と極の見分け 次の関数の z = 0 z = 0 z = 0 1 − cos z z 2 \dfrac{1 - \cos z}{z^2} z 2 1 − cos z z e z − 1 \dfrac{z}{e^z - 1} e z − 1 z 1 sin z \dfrac{1}{\sin z} sin z 1
解答
(a) 1 − cos z = z 2 2 − z 4 24 + ⋯ 1 - \cos z = \dfrac{z^2}{2} - \dfrac{z^4}{24} + \cdots 1 − cos z = 2 z 2 − 24 z 4 + ⋯ 1 − cos z z 2 = 1 2 − z 2 24 + ⋯ \dfrac{1 - \cos z}{z^2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{z^2}{24} + \cdots z 2 1 − cos z = 2 1 − 24 z 2 + ⋯ f ( 0 ) = 1 / 2 f(0) = 1/2 f ( 0 ) = 1/2
(b) e z − 1 = z ( 1 + z 2 + ⋯ ) e^z - 1 = z\left(1 + \dfrac{z}{2} + \cdots\right) e z − 1 = z ( 1 + 2 z + ⋯ ) z e z − 1 → 1 \dfrac{z}{e^z - 1} \to 1 e z − 1 z → 1 1 − z 2 + z 2 12 − ⋯ 1 - \dfrac{z}{2} + \dfrac{z^2}{12} - \cdots 1 − 2 z + 12 z 2 − ⋯
(c) sin z \sin z sin z 0 0 0 lim z → 0 z / sin z = 1 \lim_{z\to 0} z/\sin z = 1 lim z → 0 z / sin z = 1 1 1 1
検算
(b) の分母は z = 2 π i k z = 2\pi i k z = 2 π ik k ≠ 0 k \neq 0 k = 0 0 0 0 0 0 0 z ( e z ) ′ ∣ z = 2 π i k = 2 π i k \dfrac{z}{(e^z)'}\Big|_{z = 2\pi i k} = 2\pi i k ( e z ) ′ z z = 2 π ik = 2 π ik
どの円環で展開するかを決めずに等比級数を使う。1 1 − w = ∑ w n \frac{1}{1-w} = \sum w^n 1 − w 1 = ∑ w n ∣ w ∣ < 1 |w| < 1 ∣ w ∣ < 1 ∣ z / 2 ∣ < 1 |z/2| < 1 ∣ z /2∣ < 1 ∣ 2 / z ∣ < 1 |2/z| < 1 ∣2/ z ∣ < 1
テイラー展開の係数公式 a n = f ( n ) ( a ) / n ! a_n = f^{(n)}(a)/n! a n = f ( n ) ( a ) / n !
分子と分母の零点の位数を比べずに極の位数を決める。sin z / z 4 \sin z / z^4 sin z / z 4
lim z → a f ( z ) \lim_{z\to a} f(z) lim z → a f ( z ) e 1 / z e^{1/z} e 1/ z
展開の中心を取り違える。z = 1 z = 1 z = 1 w = z − 1 w = z - 1 w = z − 1 w w w z z z z = 0 z = 0 z = 0
院試hubが年度別解説の大問を分類した集計から、この単元の内容を扱う出題を挙げる。問題文は各大学の公式過去問で確かめ、解き方は各年度の解説ページで読める。
このページの本文を数式のLaTeXのまま読むには Markdown版 。最終更新 2026-11-16。誤りに気づいたら 運営者 へ連絡してほしい。
基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。
微分積分編の内容を見る