# ローラン展開と孤立特異点｜展開の求め方・特異点の分類・主要部

> ローラン展開の定義と、円環領域ごとに異なる展開の求め方、孤立特異点（除去可能・極・真性特異点）の分類と判定法を計算例で解説。1/((z-1)(z-2))を3つの領域で展開する例と、答案でよくある誤りも載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [コーシーの積分定理と積分公式](https://inshihub.com/basics/complex-analysis/cauchy-integral-theorem)

$f$ が円環領域 $r < |z - a| < R$ で正則なら、$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - a)^n$ と負のべきも含む級数に一意に展開でき、これをローラン展開という。展開は円環ごとに異なるので、どの領域で展開するかを先に決め、等比級数や既知のテイラー展開を組み合わせて係数を求める。孤立特異点 $a$ は、負のべきの部分（主要部）が無いか、有限個か、無限個かで、除去可能特異点・極・真性特異点に分類する。

## ローラン展開の存在と一意性

### 定理・法則：ローラン展開

条件：

$f$ は円環領域 $A = \{ z : r < |z - a| < R \}$（$0 \le r < R \le \infty$）で正則。

主張：

$f$ は $A$ で

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - a)^n, \qquad a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta - a| = \rho} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}}\, d\zeta \quad (r < \rho < R)$$

と展開でき、級数は $A$ 内の閉円環で一様に収束する。この形の展開は一つしかない。

要点：

円環の外周と内周でコーシーの積分公式を使い、外周の積分を正のべき、内周の積分を負のべきの級数に展開する。一意性から、等比級数などどんな方法で求めた展開も、この係数と一致する。$r = 0$ で $a_{-n} = 0$（$n \ge 1$）のときがテイラー展開である。

### 定義：主要部と留数

ローラン展開の負のべきの部分 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{-n}(z - a)^{-n}$ を主要部という。係数 $a_{-1}$ を $f$ の $a$ での留数といい $\operatorname{Res}(f, a)$ と書く（[留数定理](https://inshihub.com/basics/complex-analysis/residue-theorem-real-integrals)で使う）。

### 展開に使う級数

- 等比級数（内側）

  $$\frac{1}{1 - w} = \sum_{n=0}^{\infty} w^n \qquad (|w| < 1)$$

- 等比級数（外側）

  $$\frac{1}{1 - w} = -\sum_{n=1}^{\infty} w^{-n} \qquad (|w| > 1)$$

  $\frac{1}{1 - w} = -\frac{1}{w}\cdot\frac{1}{1 - 1/w}$ と変形して内側の式を使う。

- 指数関数

  $$e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \qquad (|z| < \infty)$$

- 三角関数

  $$\sin z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}, \qquad \cos z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}$$

## 孤立特異点の分類と判定法

### 定義：孤立特異点

$f$ が $0 < |z - a| < \delta$ で正則で、$a$ で正則でない（定義されない場合を含む）とき、$a$ を孤立特異点という。$0 < |z-a| < \delta$ でのローラン展開の主要部によって次のように分ける。

- 除去可能特異点：主要部が無い。$f(a) = a_0$ と定め直すと $a$ で正則になる。
- $m$ 位の極：主要部が有限個で、$a_{-m} \neq 0$、$a_{-n} = 0$（$n > m$）。
- 真性特異点：$a_{-n} \neq 0$ となる $n \ge 1$ が無限個ある。

### 定理・法則：特異点の判定法

条件：

$a$ は $f$ の孤立特異点。

主張：

- $a$ が除去可能 $\iff$ $a$ の近くで $f$ が有界 $\iff$ $\lim_{z\to a} f(z)$ が存在する（リーマンの除去可能特異点定理）。
- $a$ が $m$ 位の極 $\iff$ $\lim_{z\to a} (z - a)^m f(z)$ が $0$ でない有限の値になる。このとき $|f(z)| \to \infty$。
- $g$ が $a$ で正則で $m$ 位の零点をもつ（$g(a) = \cdots = g^{(m-1)}(a) = 0$、$g^{(m)}(a) \neq 0$）なら、$1/g$ は $a$ で $m$ 位の極をもつ。
- $a$ が真性特異点なら、$a$ のどんな小さな近傍でも $f$ の値は $\mathbb{C}$ の任意の点のいくらでも近くをとる（カソラティ・ワイエルシュトラスの定理）。

要点：

極と真性特異点は、$|f(z)| \to \infty$ となるかどうかで区別できる。真性特異点では、近づく向きによって $f$ の振る舞いが変わる。

## ローラン展開と分類の計算例

### 計算例：領域ごとに異なる展開

$f(z) = \dfrac{1}{(z - 1)(z - 2)}$ を、(a) $|z| < 1$、(b) $1 < |z| < 2$、(c) $|z| > 2$ でそれぞれローラン展開せよ。

解答：

部分分数に分けて $f = \dfrac{1}{z - 2} - \dfrac{1}{z - 1}$。各項を等比級数にする。

$|z| < 2$ では $\dfrac{1}{z - 2} = -\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1 - z/2} = -\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{z^n}{2^{n+1}}$、$|z| > 2$ では $\dfrac{1}{z - 2} = \dfrac{1}{z}\cdot\dfrac{1}{1 - 2/z} = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-1} z^{-n}$。

$|z| < 1$ では $-\dfrac{1}{z - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n$、$|z| > 1$ では $-\dfrac{1}{z - 1} = -\sum_{n=1}^{\infty} z^{-n}$。組み合わせて

$$\begin{aligned} &\text{(a)} \quad f = \sum_{n=0}^{\infty} \left( 1 - \frac{1}{2^{n+1}} \right) z^n \\ &\text{(b)} \quad f = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^{n+1}} - \sum_{n=1}^{\infty} z^{-n} \\ &\text{(c)} \quad f = \sum_{n=2}^{\infty} (2^{n-1} - 1) z^{-n} \end{aligned}$$

検算：

(a) の定数項は $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = f(0)$。(c) で $|z|$ が大きいとき $f \approx 1/z^2$ となり、最初の項 $(2 - 1)z^{-2}$ と合う。(b) の展開を $z = 1.5e^{0.3i}$ で数値計算すると $f$ の値に一致する。

### 計算例：極の位数と留数

$\dfrac{\sin z}{z^4}$ の $z = 0$ でのローラン展開を求め、特異点の種類と留数を答えよ。

解答：

$$\frac{\sin z}{z^4} = \frac{1}{z^4}\left( z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} - \cdots \right) = \frac{1}{z^3} - \frac{1}{6z} + \frac{z}{120} - \cdots$$

主要部の最高次が $z^{-3}$ なので3位の極で、留数は $z^{-1}$ の係数 $-\dfrac{1}{6}$。

検算：

$\sin z$ は $z = 0$ で1位の零点、$z^4$ は4位の零点なので、極の位数は $4 - 1 = 3$ と一致する。$\lim_{z\to 0} z^3 \cdot \dfrac{\sin z}{z^4} = 1 \neq 0$ も3位の極を示す。

### 計算例：真性特異点

$e^{1/z}$ の $z = 0$ でのローラン展開を求め、特異点を分類せよ。

解答：

$e^w$ の展開に $w = 1/z$ を代入して、$0 < |z| < \infty$ で

$$e^{1/z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!\, z^n} = 1 + \frac{1}{z} + \frac{1}{2z^2} + \cdots$$

負のべきが無限個あるので真性特異点。留数は $1$。

検算：

正の実軸から $z \to +0$ とすると $e^{1/z} \to \infty$、負の実軸から $z \to -0$ とすると $e^{1/z} \to 0$ で、極限が近づき方によって変わる。$\oint_{|z|=1} e^{1/z}\,dz$ を数値積分すると $2\pi i$ になり、留数 $1$ と合う。

### 計算例：除去可能特異点と極の見分け

次の関数の $z = 0$ での特異点を分類せよ。(a) $\dfrac{1 - \cos z}{z^2}$　(b) $\dfrac{z}{e^z - 1}$　(c) $\dfrac{1}{\sin z}$

解答：

(a) $1 - \cos z = \dfrac{z^2}{2} - \dfrac{z^4}{24} + \cdots$ なので $\dfrac{1 - \cos z}{z^2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{z^2}{24} + \cdots$。主要部が無く除去可能で、$f(0) = 1/2$ と定めればよい。

(b) $e^z - 1 = z\left(1 + \dfrac{z}{2} + \cdots\right)$ なので $\dfrac{z}{e^z - 1} \to 1$。除去可能で、展開は $1 - \dfrac{z}{2} + \dfrac{z^2}{12} - \cdots$。

(c) $\sin z$ は $0$ で1位の零点なので1位の極。$\lim_{z\to 0} z/\sin z = 1$ から留数は $1$。

検算：

(b) の分母は $z = 2\pi i k$（$k \neq 0$ の整数）でも $0$ になり、そこでは分子が $0$ でないので1位の極。留数は $\dfrac{z}{(e^z)'}\Big|_{z = 2\pi i k} = 2\pi i k$。

## 答案でよくある誤り

1. どの円環で展開するかを決めずに等比級数を使う。$\frac{1}{1-w} = \sum w^n$ は $|w| < 1$ でしか使えないので、各項について $|z/2| < 1$ か $|2/z| < 1$ かを確かめる。
2. テイラー展開の係数公式 $a_n = f^{(n)}(a)/n!$ をローラン展開の負のべきにも使う。負のべきの係数は積分の公式か、既知の級数の組み合わせで求める。
3. 分子と分母の零点の位数を比べずに極の位数を決める。$\sin z / z^4$ は分母が4位の零点でも、分子が1位の零点なので3位の極になる。
4. $\lim_{z\to a} f(z)$ が実軸方向で有限だから除去可能とする。$e^{1/z}$ のように近づく向きで振る舞いが変わる例があるので、ローラン展開で主要部を確かめる。
5. 展開の中心を取り違える。$z = 1$ での展開を求めるなら $w = z - 1$ とおき、$w$ のべきで書く。$z$ のべきの展開は $z = 0$ 中心の展開である。

## ローラン展開と孤立特異点が出た院試の過去問

### [ローラン展開](https://inshihub.com/exam-themes/laurent-expansion)（9大学・12問）

- [京都大学 数学・機械力学・専門科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering-group/2026#problem-2): 留数定理と半円積分
- [名古屋工業大学 情報工学系 2026年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/information-engineering/2026#problem-5): 数理科学1
- [筑波大学大学院 電子・物理工学 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tsukuba-university/degree-program-in-engineering-sciences/applied-physics/2026-august#problem-1): 数学：重積分・未定乗数法・ローラン展開と直交対角化
- [東京科学大学 電気電子系 専門科目 2025年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/institute-of-science-tokyo/school-of-engineering/electrical-and-electronic-engineering/2025#problem-2): 数学 第2問：複素数と複素関数
- [金沢大学大学院 数学 2025年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/kanazawa-university/graduate-school-of-natural-science-and-technology/mathematical-and-physical-sciences-mathematics/2025#problem-5): ローラン展開
- [電気通信大学大学院 専門科目（機械知能システム学） 2025年度 第25問](https://inshihub.com/exam-solutions/university-of-electro-communications/graduate-school-of-informatics-and-engineering/mechanical-intelligent-systems/2025#problem-25): 応用数学：ローラン展開と留数

解答まで無料で読める演習問題:

- [筑波大学大学院 電子・物理工学 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tsukuba-university/degree-program-in-engineering-sciences/applied-physics/2026-august#problem-1): 数学：重積分・未定乗数法・ローラン展開と直交対角化