# コーシーの積分定理と積分公式｜複素線積分・成り立つ条件・導関数の公式

> 複素線積分の定義と計算、コーシーの積分定理が成り立つ条件（単連結領域と正則性）、積分路の変形、コーシーの積分公式と導関数の公式、リウヴィルの定理を計算例つきで解説。1/zで定理が使えない理由も扱います。

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- 科目: [複素関数論](https://inshihub.com/basics/complex-analysis)（大学基礎課程の数学・物理・化学・生物・情報）
- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [正則関数とコーシー・リーマンの方程式](https://inshihub.com/basics/complex-analysis/holomorphic-functions-cauchy-riemann)、[線積分と面積分](https://inshihub.com/basics/vector-analysis/line-surface-integrals)

コーシーの積分定理は、単連結な領域 $D$ で正則な関数 $f$ について、$D$ 内の閉曲線 $C$ に沿う積分 $\oint_C f(z)\,dz$ が $0$ になるという定理である。閉曲線の内部に正則でない点があると成り立たず、$\oint_{|z|=1} dz/z = 2\pi i$ がその例になる。コーシーの積分公式 $f(a) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z - a}\,dz$ とその導関数の形を使うと、被積分関数の分母が $0$ になる点が内部にある積分を微分係数の計算に直せる。

## 複素線積分の定義と基本の積分

### 定義：複素線積分

区分的に滑らかな曲線 $C: z = z(t)$（$a \le t \le b$）と、$C$ 上で連続な $f$ に対して

$$\int_C f(z)\, dz = \int_a^b f(z(t))\, z'(t)\, dt$$

と定める。$f = u + iv$、$dz = dx + i\,dy$ と書けば $\int_C (u\,dx - v\,dy) + i\int_C (v\,dx + u\,dy)$ で、実の[線積分](https://inshihub.com/basics/vector-analysis/line-surface-integrals)2つの組になる。閉曲線の正の向きは、内部を左に見る向き（円なら反時計回り）とする。

### 基本の評価と積分

- ML不等式

  $$\left| \int_C f(z)\, dz \right| \le M L, \qquad M = \max_{z \in C} |f(z)|, \quad L = (C \text{ の長さ})$$

  半円などの積分路が $0$ に近づくことを示すときに使う。

- 円周上の整数べき

  $$\oint_{|z - a| = r} (z - a)^n\, dz = \begin{cases} 2\pi i & (n = -1) \\ 0 & (n \neq -1) \end{cases}$$

  $z = a + re^{i\theta}$ とおくと $\int_0^{2\pi} ir^{n+1}e^{i(n+1)\theta}\,d\theta$ になる。$n$ は整数。

- 原始関数があるとき

  $$F' = f \ (\text{$C$ を含む領域}) \Rightarrow \int_C f(z)\, dz = F(z(b)) - F(z(a))$$

  閉曲線なら $0$。

## コーシーの積分定理と積分路の変形

### 定理・法則：コーシーの積分定理

条件：

$D$ は単連結な領域（連結な開集合で、内部の閉曲線を $D$ 内で1点に縮められる）。$f$ は $D$ で正則。$C$ は $D$ 内の区分的に滑らかな閉曲線。

主張：

$$\oint_C f(z)\, dz = 0$$

要点：

$f'$ が連続なら、グリーンの定理とコーシー・リーマンの方程式から $\oint_C (u\,dx - v\,dy) = -\iint (v_x + u_y)\,dx\,dy = 0$、虚部も同様に $0$。グルサの定理により、$f'$ の連続性を仮定しなくても成り立つ。単連結でないと成り立たない。$f = 1/z$ は $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ で正則だが、$\oint_{|z|=1} dz/z = 2\pi i$ である。

### 定理・法則：積分路の変形

条件：

$C_1, C_2$ は同じ向きの単純閉曲線で、$C_2$ は $C_1$ の内部にある。$f$ は $C_1$ と $C_2$ の間の閉領域（2曲線を含む）を含む開集合で正則。

主張：

$$\oint_{C_1} f(z)\, dz = \oint_{C_2} f(z)\, dz$$

要点：

2曲線を切れ目で結んで単連結な領域の境界をつくり、積分定理を使う。切れ目の往復は打ち消し合う。複雑な閉曲線での積分を、正則でない点のまわりの小さな円での積分に取り替えられる。

### 定理・法則：経路によらない積分と原始関数

条件：

$D$ は単連結な領域で、$f$ は $D$ で正則。

主張：

$D$ 内の2点を結ぶ積分 $\int_{z_0}^{z} f(\zeta)\,d\zeta$ は経路によらず、$F(z) = \int_{z_0}^{z} f(\zeta)\,d\zeta$ は $F' = f$ を満たす。

要点：

逆向きの主張はモレラの定理である。$D$ で連続な $f$ が、$D$ 内のすべての閉曲線（三角形の周で十分）で $\oint f\,dz = 0$ を満たせば $f$ は正則である。

## コーシーの積分公式と導関数の公式

### 定理・法則：コーシーの積分公式

条件：

$C$ は正の向きの単純閉曲線。$f$ は $C$ とその内部を含む開集合で正則。$a$ は $C$ の内部の点。

主張：

$$f(a) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z - a}\, dz, \qquad f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}}\, dz \quad (n = 1, 2, \dots)$$

要点：

積分路を $a$ 中心の半径 $\varepsilon$ の円に変形し、$f(z) = f(a) + \{f(z) - f(a)\}$ と分けて $\varepsilon \to 0$ とする。第2式は第1式を $a$ で微分して得る。$a$ が $C$ の外部にあれば積分は $0$（積分定理）。この公式から、正則関数は何回でも微分でき、導関数もまた正則である。

### 積分公式から出る定理

- コーシーの評価式

  $$|f^{(n)}(a)| \le \frac{n!\, M}{r^n}, \qquad M = \max_{|z - a| = r} |f(z)|$$

  $f$ は閉円板 $|z - a| \le r$ を含む開集合で正則。

- リウヴィルの定理

  $$f \text{ が整関数で有界} \Rightarrow f \text{ は定数}$$

  評価式で $n = 1$、$r \to \infty$ とすると $f' = 0$。系として、定数でない複素係数の多項式は $\mathbb{C}$ に根をもつ（代数学の基本定理）。

- 平均値の性質

  $$f(a) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(a + re^{i\theta})\, d\theta$$

  積分公式で $C$ を円 $|z-a| = r$ にとった形。

## 積分定理と積分公式の計算例

### 計算例：積分公式を使う

$\displaystyle\oint_{|z| = 2} \frac{e^z}{z - 1}\, dz$ を求めよ（円は正の向き）。

解答：

$f(z) = e^z$ は整関数で、$a = 1$ は円 $|z| = 2$ の内部にある。積分公式から

$$\oint_{|z|=2} \frac{e^z}{z - 1}\, dz = 2\pi i\, f(1) = 2\pi e\, i$$

検算：

円の半径を $1 < r$ の範囲で変えても、積分路の変形により値は同じ。数値積分 $\int_0^{2\pi} \frac{e^{2e^{i\theta}}}{2e^{i\theta} - 1}\, 2ie^{i\theta}\,d\theta$ も $2\pi e i \approx 17.08i$ になる。

### 計算例：導関数の公式を使う

$\displaystyle\oint_{|z| = 1} \frac{\cos z}{z^3}\, dz$ を求めよ。

解答：

$f(z) = \cos z$、$a = 0$、$n = 2$ とすると、導関数の公式から

$$\oint_{|z|=1} \frac{\cos z}{z^3}\, dz = \frac{2\pi i}{2!} f''(0) = \pi i \cdot (-\cos 0) = -\pi i$$

検算：

$\cos z = 1 - \dfrac{z^2}{2} + \cdots$ を代入すると $\dfrac{\cos z}{z^3} = \dfrac{1}{z^3} - \dfrac{1}{2z} + \cdots$。円周上の整数べきの積分で残るのは $z^{-1}$ の項だけで、$-\dfrac{1}{2}\cdot 2\pi i = -\pi i$。

### 計算例：$1/(z^2 + 1)$ を2つの円で積分する

$\displaystyle\oint_{C} \frac{dz}{z^2 + 1}$ を、$C: |z| = 2$ と $C: |z - i| = 1$ のそれぞれについて求めよ。

解答：

部分分数に分けると $\dfrac{1}{z^2 + 1} = \dfrac{1}{2i}\left( \dfrac{1}{z - i} - \dfrac{1}{z + i} \right)$。

$|z| = 2$ の内部には $\pm i$ の両方があるので、$\dfrac{1}{2i}(2\pi i - 2\pi i) = 0$。

$|z - i| = 1$ の内部には $i$ だけがあり、$-i$ は外部にある（$|-i - i| = 2 > 1$）。$\dfrac{1}{z+i}$ の項の積分は $0$ なので $\dfrac{1}{2i}\cdot 2\pi i = \pi$。

検算：

$|z| = R$（$R > 1$）の値は $R$ によらず、ML不等式で $\left|\oint\right| \le \dfrac{2\pi R}{R^2 - 1} \to 0$（$R \to \infty$）だから $0$ である。後者は積分公式で $f(z) = 1/(z + i)$、$a = i$ として $2\pi i \cdot \dfrac{1}{2i} = \pi$ と出しても同じ。

### 計算例：正則でない関数では経路で値が変わる

$0$ から $1 + i$ までの $\int z^2\,dz$ と $\int \bar{z}\,dz$ を、線分 $z = (1+i)t$ と、$0 \to 1 \to 1 + i$ の折れ線のそれぞれで計算せよ。

解答：

$z^2$ は整関数で原始関数 $z^3/3$ をもつので、どちらの経路でも $\dfrac{(1+i)^3}{3} = \dfrac{-2 + 2i}{3}$。

$\bar{z}$ は線分では $\int_0^1 (1 - i)t\,(1 + i)\,dt = \int_0^1 2t\,dt = 1$。折れ線では $\int_0^1 t\,dt + \int_0^1 (1 - it)\,i\,dt = \dfrac{1}{2} + \left(i + \dfrac{1}{2}\right) = 1 + i$。値が経路で異なる。

検算：

2つの経路を合わせた閉曲線（正方形の半分の三角形）での $\oint \bar{z}\,dz$ は、$\bar{z}\,dz$ にグリーンの定理を使うと $2i \times (\text{面積}) = 2i\cdot\dfrac{1}{2} = i$ で、折れ線と線分の差 $(1 + i) - 1 = i$ に一致する。単位円では $\oint_{|z|=1} \bar{z}\,dz = 2\pi i$ になる。

## 答案でよくある誤り

1. 被積分関数の分母が $0$ になる点が積分路の内部にあるのに、積分定理で $0$ とする。正則でない点が内部にあるかを、点と円の中心の距離を半径と比べて確かめる。
2. 積分公式で $f$ を取り違える。$\oint \frac{g(z)}{(z - a)^{n+1}}\,dz$ では、分母の $(z-a)^{n+1}$ 以外の部分全体を $f$ とし、$f$ が $C$ の内部で正則かを確かめる。
3. 導関数の公式で $n!$ や $n$ を1つずらす。分母が $(z - a)^{n+1}$ のとき $f^{(n)}(a)$ と $n!$ を使う。$(z-a)^3$ なら $n = 2$ で $\frac{2\pi i}{2!}f''(a)$。
4. 円の向きを確かめずに符号を決める。問題に指定がなければ正の向き（反時計回り）とし、時計回りなら符号を変える。
5. $\bar{z}$ や $|z|$ を含む関数にコーシーの積分定理を使う。これらは正則でないので、パラメータ表示で直接計算する。単位円上では $\bar{z} = 1/z$ と置き換えてから積分してよい。

## コーシーの積分定理と積分公式が出た院試の過去問

### [コーシーの積分定理](https://inshihub.com/exam-themes/cauchy-integral-theorem)（8大学・17問）

- [京都大学 基礎科目 2026年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/basic-mathematics/2026#problem-5): 調和関数の表示
- [京都大学 数学・機械力学・専門科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering-group/2026#problem-2): 留数定理と半円積分
- [北海道大学大学院 応用量子科学系 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-engineering/applied-quantum-science-and-engineering/2026#problem-1): 応用数学
- [東京都立大学大学院 数学 2026年度 第10問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-metropolitan-university/graduate-school-of-science/mathematics/2026-summer#problem-10): 複素積分
- [電気通信大学大学院 専門科目（機械知能システム学） 2026年度 第17問](https://inshihub.com/exam-solutions/university-of-electro-communications/graduate-school-of-informatics-and-engineering/mechanical-intelligent-systems/2026#problem-17): 選択問題：応用数学（正則写像と接線角）
- [京都大学 システム科学コース 2025年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-informatics/systems-science/2025#problem-5): 複素関数論1

解答まで無料で読める演習問題:

- [大阪大学 数学 2015年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/osaka-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/information-fundamental-mathematics/2015#problem-5): コーシーの積分定理と実積分