線積分と面積分パラメータ表示による計算・向き・流束

線積分は曲線を $\boldsymbol{r}(t)$ （ $a \le t \le b$ ）とパラメータ表示し、ベクトル場なら $\int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_a^b \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t))\cdot\boldsymbol{r}'(t)\,dt$ として1変数の積分に直して求める。面積分は曲面を $\boldsymbol{r}(u, v)$ と表し、法線ベクトル $\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v$ を使って2重積分に直す。ベクトル場の積分は向きを逆にすると符号が変わり、スカラー場の $ds$ 、 $dS$ による積分は向きによらない。

ベクトル解析の第2単元（全3単元）。先に読む単元：勾配・発散・回転、微分積分・重積分

院試数学基礎完成シリーズ微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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線積分の定義と計算手順

定義

曲線のパラメータ表示

曲線 $C$ を $\boldsymbol{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ 、 $a \le t \le b$ と表す。 $\boldsymbol{r}$ は区分的に $C^1$ 級で、各区間で $\boldsymbol{r}'(t) \neq \boldsymbol{0}$ とする。 $t$ が増える向きを $C$ の向きとする。線素は $ds = |\boldsymbol{r}'(t)|\,dt$ である。

定義

スカラー場の線積分とベクトル場の線積分

\int_C f\, ds = \int_a^b f(\boldsymbol{r}(t))\, |\boldsymbol{r}'(t)|\, dt, \qquad \int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_a^b \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t)) \cdot \boldsymbol{r}'(t)\, dt

後者は成分で $\int_C F_x\,dx + F_y\,dy + F_z\,dz$ とも書く。力の場なら仕事、閉曲線 $C$ なら $\oint_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}$ を循環と呼ぶ。

曲線をパラメータ表示し、端点に対応する $t$ の範囲と向きを決める。
$\boldsymbol{r}'(t)$ （スカラー場なら $|\boldsymbol{r}'(t)|$ ）を計算する。
被積分関数に $\boldsymbol{r}(t)$ を代入し、 $t$ の定積分を計算する。

定理・法則

パラメータの取り替えと向き

条件

$C$ の2つのパラメータ表示 $\boldsymbol{r}(t)$ と $\tilde{\boldsymbol{r}}(s) = \boldsymbol{r}(t(s))$ があり、 $t(s)$ は $C^1$ 級で $t'(s) \neq 0$ 。

主張

$t'(s) > 0$ （向きが同じ）なら、どちらの線積分も値が変わらない。 $t'(s) < 0$ （向きが逆）なら

\int_{-C} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = -\int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}, \qquad \int_{-C} f\, ds = \int_C f\, ds

要点

置換積分で $\boldsymbol{r}'$ に $t'(s)$ が掛かる。 $ds$ には $|t'(s)|$ が掛かるので、スカラー場の線積分は符号が変わらない。

勾配場の線積分と経路によらない条件

定理・法則

勾配場の線積分

条件

$\boldsymbol{F} = \nabla \varphi$ で $\varphi$ は $C$ を含む領域で $C^1$ 級。 $C$ は点 $A$ から点 $B$ へ向かう区分的に滑らかな曲線。

主張

\int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \varphi(B) - \varphi(A)

値は経路によらず、閉曲線なら $0$ である。逆に、領域内のすべての閉曲線で循環が $0$ なら $\boldsymbol{F}$ はその領域で勾配場である。

要点

$\dfrac{d}{dt}\varphi(\boldsymbol{r}(t)) = \nabla\varphi\cdot\boldsymbol{r}'(t)$ を積分する。 $\nabla\times\boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$ から勾配場と言えるのは単連結な領域に限る（勾配・発散・回転）。

計算例

円周での循環

$\boldsymbol{F} = (-y,\ x,\ 0)$ について、 $xy$ 平面の円 $x^2 + y^2 = a^2$ を反時計回りに一周する線積分を求めよ。

解答

$\boldsymbol{r}(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ 0)$ 、 $0 \le t \le 2\pi$ とおくと $\boldsymbol{r}'(t) = (-a\sin t,\ a\cos t,\ 0)$ 、 $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t)) = (-a\sin t,\ a\cos t,\ 0)$ 。

\oint_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_0^{2\pi} (a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t)\, dt = 2\pi a^2

検算

$\nabla\times\boldsymbol{F} = (0, 0, 2)$ なので、ストークスの定理から循環は $2 \times (\text{円の面積}) = 2\pi a^2$ になり一致する。値が $0$ でないから $\boldsymbol{F}$ は勾配場でない。

計算例

経路の異なる仕事の比較

$\boldsymbol{F} = (2xy + z,\ x^2,\ x)$ について、原点から $(1, 1, 1)$ までの線積分を、曲線 $\boldsymbol{r}(t) = (t, t^2, t^3)$ （ $0 \le t \le 1$ ）に沿って計算せよ。

解答

$\boldsymbol{r}'(t) = (1, 2t, 3t^2)$ 、 $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t)) = (2t^3 + t^3,\ t^2,\ t) = (3t^3, t^2, t)$ 。

\int_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_0^1 (3t^3 + 2t^3 + 3t^3)\, dt = \int_0^1 8t^3\, dt = 2

検算

$\boldsymbol{F} = \nabla(x^2 y + xz)$ なので、値は $\varphi(1,1,1) - \varphi(0,0,0) = 1 + 1 = 2$ と一致する。線分 $\boldsymbol{r}(t) = (t,t,t)$ に沿っても、 $\boldsymbol{F}\cdot(1,1,1) = (2t^2 + t) + t^2 + t = 3t^2 + 2t$ を積分して $1 + 1 = 2$ になる。

曲面のパラメータ表示と面積分

定義

曲面の法線と面素

曲面 $S$ を $\boldsymbol{r}(u, v)$ 、 $(u, v) \in E$ と表し、 $\boldsymbol{r}_u = \partial\boldsymbol{r}/\partial u$ 、 $\boldsymbol{r}_v = \partial\boldsymbol{r}/\partial v$ が連続で $\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v \neq \boldsymbol{0}$ とする。 $\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v$ は曲面の法線ベクトルで、面素は

dS = |\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v|\, du\, dv

である。曲面の向きは、選んだ単位法線 $\boldsymbol{n}$ の側を表とすることで決める。

定義

スカラー場の面積分と流束

\iint_S f\, dS = \iint_E f(\boldsymbol{r}(u,v))\, |\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v|\, du\, dv

\iint_S \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\, dS = \pm\iint_E \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(u,v)) \cdot (\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v)\, du\, dv

後者を流束と呼ぶ。 $\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v$ が指定された $\boldsymbol{n}$ と同じ側を向けば $+$ 、逆なら $-$ をとる。 $f = 1$ のとき $\iint_S dS$ は曲面積である。

よく使う面素

半径 $a$ の球面: $\boldsymbol{r} = a(\sin\theta\cos\phi,\ \sin\theta\sin\phi,\ \cos\theta), \quad \boldsymbol{r}_\theta\times\boldsymbol{r}_\phi = a\sin\theta\, \boldsymbol{r}, \quad dS = a^2\sin\theta\, d\theta\, d\phi$
$0 \le \theta \le \pi$ で $\sin\theta \ge 0$ なので、 $\boldsymbol{r}_\theta\times\boldsymbol{r}_\phi$ は外向き。
グラフ $z = g(x, y)$: $\boldsymbol{r}_x \times \boldsymbol{r}_y = (-g_x,\ -g_y,\ 1), \quad dS = \sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}\, dx\, dy$
法線は上向き（ $z$ 成分が正）。
半径 $a$ の円柱面: $\boldsymbol{r} = (a\cos\phi,\ a\sin\phi,\ z), \quad dS = a\, d\phi\, dz$

線積分と面積分の計算例

計算例

らせんに沿うスカラー場の線積分

らせん $\boldsymbol{r}(t) = (\cos t,\ \sin t,\ t)$ 、 $0 \le t \le 2\pi$ の長さと、 $\int_C z\, ds$ を求めよ。

解答

$\boldsymbol{r}'(t) = (-\sin t, \cos t, 1)$ で $|\boldsymbol{r}'(t)| = \sqrt{2}$ 。長さは $\int_0^{2\pi}\sqrt{2}\,dt = 2\sqrt{2}\pi$ 。

\int_C z\, ds = \int_0^{2\pi} t\sqrt{2}\, dt = \sqrt{2}\cdot\frac{(2\pi)^2}{2} = 2\sqrt{2}\pi^2

検算

$z$ の平均値は $\int_C z\,ds / (\text{長さ}) = \pi$ で、 $z$ が $0$ から $2\pi$ まで一様に増えることと合う。

計算例

球面を通る $\boldsymbol{r}$ の流束

位置ベクトル場 $\boldsymbol{F} = (x, y, z)$ が、原点中心・半径 $a$ の球面を外向きに通る流束を求めよ。

解答

球面上で外向き単位法線は $\boldsymbol{n} = \boldsymbol{r}/a$ なので $\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n} = |\boldsymbol{r}|^2/a = a$ 。

\iint_S \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\, dS = a \iint_S dS = a\cdot 4\pi a^2 = 4\pi a^3

検算

ガウスの発散定理で $\nabla\cdot\boldsymbol{F} = 3$ を球の体積で積分しても $3\cdot\frac{4}{3}\pi a^3 = 4\pi a^3$ 。パラメータ表示で $\boldsymbol{F}\cdot(\boldsymbol{r}_\theta\times\boldsymbol{r}_\phi) = a^3\sin\theta$ を $\theta \in [0,\pi]$ 、 $\phi \in [0, 2\pi]$ で積分しても同じ値になる。

計算例

放物面の曲面積

放物面 $z = x^2 + y^2$ の $z \le 1$ の部分の面積を求めよ。

解答

$dS = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}\,dx\,dy$ で、定義域は円板 $x^2 + y^2 \le 1$ 。極座標 $x = \rho\cos\phi$ 、 $y = \rho\sin\phi$ に直すと

\iint dS = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{1 + 4\rho^2}\, \rho\, d\rho\, d\phi = 2\pi \cdot \frac{1}{12}\left[(1 + 4\rho^2)^{3/2}\right]_0^1 = \frac{\pi}{6}\left(5\sqrt{5} - 1\right)

検算

値は約 $5.33$ で、真上から見た円板の面積 $\pi \approx 3.14$ より大きく、側面が傾いている分だけ増えている。極座標のヤコビアン $\rho$ を落とすと値が変わる。

答案でよくある誤り

1
ベクトル場の線積分に $|\boldsymbol{r}'(t)|$ を掛ける。 $\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}$ では $\boldsymbol{r}'(t)\,dt$ を使い、 $|\boldsymbol{r}'(t)|$ はスカラー場の $ds$ にだけ使う。
2
曲線の向きを逆にしてパラメータ表示し、符号を直さない。問題で指定された向き（始点と終点、反時計回りなど）と $t$ の増える向きを一致させる。
3
流束で $\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v$ の向きを確かめない。外向き・上向きなどの指定と逆なら符号を変える。球面では $u, v$ の順を $\theta, \phi$ にすると外向きになる。
4
$dS$ を $du\,dv$ のまま積分する。面素は $|\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v|\,du\,dv$ で、グラフなら $\sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}$ 、極座標に直すならさらにヤコビアン $\rho$ が掛かる。
5
回転が $0$ でない場の線積分を、端点の値の差で計算する。 $\varphi(B) - \varphi(A)$ が使えるのは $\boldsymbol{F} = \nabla\varphi$ を確かめたときだけである。

ベクトル解析の前後の単元

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