グリーン・ガウス・ストークスの定理成り立つ条件・向きの決め方・計算例

$P = x^2 - y$、$Q = x + y^2$ で $\partial_x Q - \partial_y P = 1 - (-1) = 2$。

直接 $x = \cos t$、$y = \sin t$ を代入すると、被積分関数は $-\cos^2 t\sin t + \sin^2 t + \cos^2 t + \sin^2 t\cos t$。$t \in [0, 2\pi]$ で積分すると $\cos^2 t\sin t$ と $\sin^2 t\cos t$ の項は $0$ になり、残りは $\int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi$。

境界を $x = a\cos t$、$y = b\sin t$（反時計回り）と表す。$x\,dy - y\,dx = (ab\cos^2 t + ab\sin^2 t)\,dt = ab\,dt$ なので

$a = b$ のとき円の面積 $\pi a^2$ になる。時計回りにパラメータ表示すると $-\pi ab$ が出るので、向きを確かめる。

$\nabla\cdot\boldsymbol{F} = 3(x^2 + y^2 + z^2) = 3r^2$。発散定理と球座標 $dV = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$ から

面積分の側で計算すると、球面上で $\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n} = (x^4 + y^4 + z^4)/a$。球面上の平均 $\langle x^4 \rangle = a^4/5$ を使うと $\frac{3a^4/5}{a}\cdot 4\pi a^2 = \frac{12\pi a^5}{5}$ で一致する。次元は $[\boldsymbol{F}][\text{面積}] = L^3 \cdot L^2 = L^5$ で合う。

球面上で $\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n} = \dfrac{\boldsymbol{r}}{a^3}\cdot\dfrac{\boldsymbol{r}}{a} = \dfrac{1}{a^2}$ なので

一方、$r \neq 0$ では $\nabla\cdot\boldsymbol{F} = 0$ である。$\boldsymbol{F}$ は原点で定義されず、$C^1$ 級の条件を満たさないので発散定理は使えない。原点を含まない領域（たとえば $a \le r \le b$ の球殻）では発散定理が成り立ち、内外の球面の流束はどちらも $4\pi$ で差が $0$ になる。

値は $a$ によらない。これは点電荷のつくる電場のガウスの法則と同じ形で、原点を囲む任意の閉曲面で流束が $4\pi$ になる。

$\nabla\times\boldsymbol{F} = (\partial_y y - \partial_z x,\ \partial_z z - \partial_x y,\ \partial_x x - \partial_y z) = (1, 1, 1)$。

縁は $xy$ 平面の単位円で、外向き法線（上向き）に対して反時計回り。$\boldsymbol{r}(t) = (\cos t, \sin t, 0)$ とおくと $\boldsymbol{F} = (0, \cos t, \sin t)$、$\boldsymbol{r}' = (-\sin t, \cos t, 0)$ で

右辺は球面の外向き法線 $\boldsymbol{n} = (x, y, z)$ を使って $\iint_S (x + y + z)\,dS$。$x$、$y$ の項は対称性で $0$、$\iint_S z\,dS = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\,d\phi = \pi$。両辺とも $\pi$。

同じ縁をもつ円板 $x^2 + y^2 \le 1$、$z = 0$（法線 $\boldsymbol{e}_z$）に取り替えると、$(1,1,1)\cdot\boldsymbol{e}_z = 1$ を面積 $\pi$ の円板で積分して $\pi$。