静電場とガウスの法則電場・電位の求め方とコンデンサーの電気容量

球対称なので、半径 $r$ の球面をガウス面にとると $4\pi r^2E = Q_{\text{内}}/\varepsilon_0$。$r < a$ では $Q_{\text{内}} = Qr^3/a^3$ なので

中心の電位は無限遠から積分して

$r = a$ で内外の式が一致する。内側で $\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2E) = \frac{3Q}{4\pi\varepsilon_0 a^3} = \rho/\varepsilon_0$ となり、微分形のガウスの法則を満たす。全静電エネルギー $\int \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2dV$ は $\frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0 a}$ で、$\frac{1}{2}\int \rho\phi\,dV$ と一致する。

半径 $r$、長さ $l$ の円柱をガウス面にとる。対称性から電場は動径方向で、底面の流束は零。側面だけが寄与して $2\pi rl\,E = \lambda l/\varepsilon_0$、よって $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$。

クーロンの法則で直接積分すると $E = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\frac{r}{(r^2 + z^2)^{3/2}}dz = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ で一致する。電位は $\phi = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r + \text{定数}$ で、無限遠を基準にとれない。

極板間の電場は $E = Q/(\varepsilon_0 S)$、電位差は $V = Ed = Qd/(\varepsilon_0 S)$。

約 $89\ \mathrm{pF}$ である。エネルギーは $\frac{1}{2}\varepsilon_0E^2 \times Sd = \dfrac{Q^2d}{2\varepsilon_0 S} = \dfrac{Q^2}{2C}$。

$\varepsilon_0 S/d$ の単位は $(\mathrm{F/m})\cdot\mathrm{m^2}/\mathrm{m} = \mathrm{F}$。電場のエネルギーの体積積分と $Q^2/(2C)$ が一致する。

内球に $Q$、外球殻に $-Q$ を与えると、$a < r < b$ の電場は $Q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$。

$b \to \infty$ で孤立導体球の $4\pi\varepsilon_0 a$。$b = a + \delta$（$\delta \ll a$）では $C \approx \varepsilon_0 \cdot 4\pi a^2/\delta$ で、面積 $4\pi a^2$、間隔 $\delta$ の平行板の式になる。