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科目から解答PDFを探す 磁束密度とローレンツ力 速度 v \boldsymbol{v} v q q q
F = q ( E + v × B ) \boldsymbol{F} = q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}) F = q ( E + v × B ) と書いたときの B \boldsymbol{B} B T = N / ( A m ) \mathrm{T} = \mathrm{N/(A\,m)} T = N/ ( A m ) I I I d l d\boldsymbol{l} d l d F = I d l × B d\boldsymbol{F} = I\,d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B} d F = I d l × B q v × B q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} q v × B
一様な磁場に垂直に入った荷電粒子は、m v 2 / r = q v B mv^2/r = qvB m v 2 / r = q v B r = m v / ( q B ) r = mv/(qB) r = m v / ( q B ) ω c = q B / m \omega_c = qB/m ω c = q B / m m = I S n \boldsymbol{m} = IS\boldsymbol{n} m = I S n S S S n \boldsymbol{n} n m × B \boldsymbol{m} \times \boldsymbol{B} m × B
ビオ・サバールの法則 主張
d B = μ 0 4 π I d l × ( r − r ′ ) ∣ r − r ′ ∣ 3 d\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\boldsymbol{l} \times (\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}')}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|^3} d B = 4 π μ 0 ∣ r − r ′ ∣ 3 I d l × ( r − r ′ ) r ′ \boldsymbol{r}' r ′ r \boldsymbol{r} r
アンペールの法則 条件
真空中の定常電流で、電流密度が ∇ ⋅ J = 0 \nabla\cdot\boldsymbol{J} = 0 ∇ ⋅ J = 0
主張
∮ C B ⋅ d l = μ 0 I 貫 , ∇ × B = μ 0 J \oint_C \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 I_{\text{貫}}, \qquad \nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0\boldsymbol{J} ∮ C B ⋅ d l = μ 0 I 貫 , ∇ × B = μ 0 J I 貫 I_{\text{貫}} I 貫 C C C C C C
要点
ビオ・サバールの法則から導ける。法則自体は任意の閉曲線で成り立つが、B B B B B B マクスウェル方程式 の変位電流が必要になる。
磁場のガウスの法則とベクトルポテンシャル 主張
∇ ⋅ B = 0 , B = ∇ × A \nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0, \qquad \boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A} ∇ ⋅ B = 0 , B = ∇ × A 要点
磁荷（単極）が見つかっていないことを表す。A \boldsymbol{A} A A + ∇ χ \boldsymbol{A} + \nabla\chi A + ∇ χ B e z B\boldsymbol{e}_z B e z A = B 2 ( − y , x , 0 ) \boldsymbol{A} = \frac{B}{2}(-y, x, 0) A = 2 B ( − y , x , 0 )
無限に長い直線電流 B = μ 0 I 2 π r B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} B = 2 π r μ 0 I 半径 a a a B = μ 0 I 2 a B = \frac{\mu_0 I}{2a} B = 2 a μ 0 I 円電流の軸上（中心から z z z B = μ 0 I a 2 2 ( a 2 + z 2 ) 3 / 2 B = \frac{\mu_0 Ia^2}{2(a^2 + z^2)^{3/2}} B = 2 ( a 2 + z 2 ) 3/2 μ 0 I a 2 無限に長いソレノイドの内部 B = μ 0 n I B = \mu_0 nI B = μ 0 n I 平行な2本の直線電流の間の力（単位長さあたり） F l = μ 0 I 1 I 2 2 π d \frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi d} l F = 2 π d μ 0 I 1 I 2 磁場のエネルギー密度 u B = B 2 2 μ 0 u_B = \frac{B^2}{2\mu_0} u B = 2 μ 0 B 2 真空の透磁率 μ 0 = 1.25663706127 × 10 − 6 N / A 2 ≈ 4 π × 10 − 7 N / A 2 \mu_0 = 1.25663706127 \times 10^{-6}\ \mathrm{N/A^2} \approx 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2} μ 0 = 1.25663706127 × 1 0 − 6 N/ A 2 ≈ 4 π × 1 0 − 7 N/ A 2 2019年のSI改定以降は測定値で、4 π × 10 − 7 4\pi \times 10^{-7} 4 π × 1 0 − 7 10 − 9 10^{-9} 1 0 − 9
直線電流の磁場を2通りで求める 無限に長い直線電流 I I I r r r
解答
アンペールの法則：導線を中心とする半径 r r r B B B 2 π r B = μ 0 I 2\pi rB = \mu_0 I 2 π r B = μ 0 I B = μ 0 I 2 π r B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r} B = 2 π r μ 0 I
ビオ・サバールの法則：導線上の位置 z z z μ 0 I 4 π r d z ( r 2 + z 2 ) 3 / 2 \dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\dfrac{r\,dz}{(r^2 + z^2)^{3/2}} 4 π μ 0 I ( r 2 + z 2 ) 3/2 r d z
B = μ 0 I 4 π ∫ − ∞ ∞ r d z ( r 2 + z 2 ) 3 / 2 = μ 0 I 2 π r B = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{r\,dz}{(r^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} B = 4 π μ 0 I ∫ − ∞ ∞ ( r 2 + z 2 ) 3/2 r d z = 2 π r μ 0 I 検算
2つの方法の結果が一致する。μ 0 I / r \mu_0 I/r μ 0 I / r ( N / A 2 ) ⋅ A / m = N / ( A m ) = T (\mathrm{N/A^2})\cdot\mathrm{A}/\mathrm{m} = \mathrm{N/(A\,m)} = \mathrm{T} ( N/ A 2 ) ⋅ A / m = N/ ( A m ) = T
円電流の軸上の磁場 半径 a a a I I I z z z
解答
各電流要素から点までの距離は a 2 + z 2 \sqrt{a^2 + z^2} a 2 + z 2 d l d\boldsymbol{l} d l d B ⋅ a / a 2 + z 2 dB\cdot a/\sqrt{a^2 + z^2} d B ⋅ a / a 2 + z 2
B = μ 0 I 4 π a ( a 2 + z 2 ) 3 / 2 ∮ d l = μ 0 I a 2 2 ( a 2 + z 2 ) 3 / 2 B = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{a}{(a^2 + z^2)^{3/2}}\oint dl = \frac{\mu_0 Ia^2}{2(a^2 + z^2)^{3/2}} B = 4 π μ 0 I ( a 2 + z 2 ) 3/2 a ∮ d l = 2 ( a 2 + z 2 ) 3/2 μ 0 I a 2 検算
z = 0 z = 0 z = 0 μ 0 I / ( 2 a ) \mu_0 I/(2a) μ 0 I / ( 2 a ) z ≫ a z \gg a z ≫ a B ≈ μ 0 2 π m z 3 B \approx \dfrac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{m}{z^3} B ≈ 2 π μ 0 z 3 m m = π a 2 I m = \pi a^2I m = π a 2 I
ソレノイドの内部の磁場 単位長さあたり n = 1000 m − 1 n = 1000\ \mathrm{m^{-1}} n = 1000 m − 1 I = 1.0 A I = 1.0\ \mathrm{A} I = 1.0 A
解答
内部で長さ l l l B l = μ 0 n l I Bl = \mu_0 nlI B l = μ 0 n l I
B = μ 0 n I = 1.2566 × 10 − 6 × 1000 × 1.0 ≈ 1.26 × 10 − 3 T B = \mu_0 nI = 1.2566 \times 10^{-6} \times 1000 \times 1.0 \approx 1.26 \times 10^{-3}\ \mathrm{T} B = μ 0 n I = 1.2566 × 1 0 − 6 × 1000 × 1.0 ≈ 1.26 × 1 0 − 3 T 検算
円電流の軸上の式を巻数密度 n n n z z z − ∞ -\infty − ∞ ∞ \infty ∞ ∫ n μ 0 I a 2 2 ( a 2 + z 2 ) 3 / 2 d z = μ 0 n I \int \frac{n\mu_0 Ia^2}{2(a^2 + z^2)^{3/2}}dz = \mu_0 nI ∫ 2 ( a 2 + z 2 ) 3/2 n μ 0 I a 2 d z = μ 0 n I
平行な直線電流の間の力 距離 d = 1.0 m d = 1.0\ \mathrm{m} d = 1.0 m 1.0 A 1.0\ \mathrm{A} 1.0 A
解答
導線1が導線2の位置につくる磁場は μ 0 I 1 / ( 2 π d ) \mu_0 I_1/(2\pi d) μ 0 I 1 / ( 2 π d ) l l l I 2 l B I_2lB I 2 l B
F l = μ 0 I 1 I 2 2 π d ≈ 4 π × 10 − 7 × 1.0 × 1.0 2 π × 1.0 = 2.0 × 10 − 7 N / m \frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi d} \approx \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1.0 \times 1.0}{2\pi \times 1.0} = 2.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{N/m} l F = 2 π d μ 0 I 1 I 2 ≈ 2 π × 1.0 4 π × 1 0 − 7 × 1.0 × 1.0 = 2.0 × 1 0 − 7 N/m 向きは引き合う向きである。
検算
I d l × B I\,d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B} I d l × B
有限の長さの直線電流にアンペールの法則を使い、μ 0 I / ( 2 π r ) \mu_0 I/(2\pi r) μ 0 I / ( 2 π r )
ソレノイドの n n n N N N n n n N / l N/l N / l B = μ 0 N I / l B = \mu_0 NI/l B = μ 0 N I / l
磁場の力で荷電粒子の運動エネルギーが変わるとする。q v × B q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} q v × B
アンペールの法則の電流の向きの符号を誤る。経路の向きに右ねじを回したときに進む向きの電流を正とし、逆向きの電流は負で足す。
外積の順序を逆にして力の向きを誤る。F = q v × B \boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} F = q v × B
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