# 静磁場とアンペールの法則｜ビオ・サバールの法則・ローレンツ力・磁場の求め方

> ローレンツ力、ビオ・サバールの法則、アンペールの法則を使える条件、磁場のガウスの法則とベクトルポテンシャルをSI単位系で解説。直線電流、円電流の軸上、ソレノイドの磁場と、平行電流間の力の計算例も載せています。

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- 科目: [電磁気学](https://inshihub.com/basics/electromagnetism)（大学基礎課程の数学・物理・化学・生物・情報）
- 最終更新: 2026-11-16
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定常電流がつくる磁束密度 $\boldsymbol{B}$ は、電流要素ごとの寄与を足し合わせるビオ・サバールの法則で求める。閉じた経路に沿った $\boldsymbol{B}$ の線積分は、経路を貫く電流の $\mu_0$ 倍に等しい（アンペールの法則 $\oint \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 I$）。直線電流やソレノイドのように対称性があれば、この式から $B$ の大きさが直接求まる。磁場から電荷 $q$ が受ける力はローレンツ力 $q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$ である。

## ローレンツ力と電流が受ける力

### 定義：磁束密度とローレンツ力

速度 $\boldsymbol{v}$ の電荷 $q$ が受ける力を

$$\boldsymbol{F} = q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})$$

と書いたときの $\boldsymbol{B}$ を磁束密度という。単位は $\mathrm{T} = \mathrm{N/(A\,m)}$。電流 $I$ の流れる導線の線要素 $d\boldsymbol{l}$ が受ける力は $d\boldsymbol{F} = I\,d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$ である。磁場の力 $q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$ は速度に垂直なので、電荷に仕事をしない。

一様な磁場に垂直に入った荷電粒子は、$mv^2/r = qvB$ から半径 $r = mv/(qB)$ の等速円運動をし、角振動数 $\omega_c = qB/m$（サイクロトロン角振動数）は速さによらない。磁気双極子モーメント $\boldsymbol{m} = IS\boldsymbol{n}$（面積 $S$ の電流ループ、$\boldsymbol{n}$ は右ねじの向き）は、一様な磁場からトルク $\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{B}$ を受ける。

## ビオ・サバールの法則とアンペールの法則

### 定理・法則：ビオ・サバールの法則

条件：

真空中の定常電流（時間変化しない電流）。

主張：

$$d\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\boldsymbol{l} \times (\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}')}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|^3}$$

$\boldsymbol{r}'$ は電流要素の位置、$\boldsymbol{r}$ は磁場を求める点。回路全体で積分する。

### 定理・法則：アンペールの法則

条件：

真空中の定常電流で、電流密度が $\nabla\cdot\boldsymbol{J} = 0$ を満たす。電場が時間変化する場合は変位電流を加える必要がある。

主張：

$$\oint_C \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 I_{\text{貫}}, \qquad \nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0\boldsymbol{J}$$

$I_{\text{貫}}$ は閉曲線 $C$ を縁とする曲面を貫く電流で、向きは $C$ の向きに対して右ねじの向きを正とする。

要点：

ビオ・サバールの法則から導ける。法則自体は任意の閉曲線で成り立つが、$B$ を求めるのに使えるのは、対称性から経路上で $B$ が一定で経路に平行と分かる場合に限る。充電中のコンデンサーのように電流が途切れる場合は、[マクスウェル方程式](https://inshihub.com/basics/electromagnetism/maxwell-equations-waves)の変位電流が必要になる。

### 定理・法則：磁場のガウスの法則とベクトルポテンシャル

条件：

時間変化があっても成り立つ。

主張：

$$\nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0, \qquad \boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A}$$

要点：

磁荷（単極）が見つかっていないことを表す。$\boldsymbol{A}$ には $\boldsymbol{A} + \nabla\chi$ の任意性（ゲージ）がある。一様な磁場 $B\boldsymbol{e}_z$ には $\boldsymbol{A} = \frac{B}{2}(-y, x, 0)$ がとれる。

## 電流がつくる磁場の公式

- 無限に長い直線電流

  $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

  向きは電流に対して右ねじの回る向き。

- 半径 $a$ の円電流の中心

  $$B = \frac{\mu_0 I}{2a}$$

- 円電流の軸上（中心から $z$）

  $$B = \frac{\mu_0 Ia^2}{2(a^2 + z^2)^{3/2}}$$

- 無限に長いソレノイドの内部

  $$B = \mu_0 nI$$

  $n$ は単位長さあたりの巻数。外部の磁場は零。

- 平行な2本の直線電流の間の力（単位長さあたり）

  $$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi d}$$

  同じ向きの電流は引き合い、逆向きは反発する。

- 磁場のエネルギー密度

  $$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$$

- 真空の透磁率

  $$\mu_0 = 1.25663706127 \times 10^{-6}\ \mathrm{N/A^2} \approx 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$$

  2019年のSI改定以降は測定値で、$4\pi \times 10^{-7}$ との差は相対的に $10^{-9}$ より小さい。

## 磁場の計算例

### 計算例：直線電流の磁場を2通りで求める

無限に長い直線電流 $I$ から距離 $r$ の磁束密度を、アンペールの法則とビオ・サバールの法則で求めよ。

解答：

アンペールの法則：導線を中心とする半径 $r$ の円を経路にとる。対称性から $B$ は円の接線方向で大きさ一定なので、$2\pi rB = \mu_0 I$、$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$。

ビオ・サバールの法則：導線上の位置 $z$ の要素の寄与は $\dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\dfrac{r\,dz}{(r^2 + z^2)^{3/2}}$ で、すべて同じ向きなので

$$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{r\,dz}{(r^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

検算：

2つの方法の結果が一致する。$\mu_0 I/r$ の単位は $(\mathrm{N/A^2})\cdot\mathrm{A}/\mathrm{m} = \mathrm{N/(A\,m)} = \mathrm{T}$。

### 計算例：円電流の軸上の磁場

半径 $a$ の円形の導線に電流 $I$ が流れる。中心軸上で中心から $z$ の点の磁束密度を求めよ。

解答：

各電流要素から点までの距離は $\sqrt{a^2 + z^2}$ で、$d\boldsymbol{l}$ と位置ベクトルは垂直。軸に垂直な成分は対称性で打ち消し、軸方向成分は $dB\cdot a/\sqrt{a^2 + z^2}$。

$$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{a}{(a^2 + z^2)^{3/2}}\oint dl = \frac{\mu_0 Ia^2}{2(a^2 + z^2)^{3/2}}$$

検算：

$z = 0$ で中心の $\mu_0 I/(2a)$。$z \gg a$ では $B \approx \dfrac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{m}{z^3}$（$m = \pi a^2I$）となり、磁気双極子の軸上の磁場に一致する。

### 計算例：ソレノイドの内部の磁場

単位長さあたり $n = 1000\ \mathrm{m^{-1}}$ 巻いた十分長いソレノイドに $I = 1.0\ \mathrm{A}$ を流す。内部の磁束密度を求めよ。

解答：

内部で長さ $l$、外部の磁場が零の部分を通る長方形の経路にアンペールの法則を使うと、$Bl = \mu_0 nlI$。

$$B = \mu_0 nI = 1.2566 \times 10^{-6} \times 1000 \times 1.0 \approx 1.26 \times 10^{-3}\ \mathrm{T}$$

検算：

円電流の軸上の式を巻数密度 $n$ で $z$ について $-\infty$ から $\infty$ まで積分すると、$\int \frac{n\mu_0 Ia^2}{2(a^2 + z^2)^{3/2}}dz = \mu_0 nI$ になり一致する。

### 計算例：平行な直線電流の間の力

距離 $d = 1.0\ \mathrm{m}$ 離れた平行な2本の直線導線に、同じ向きに $1.0\ \mathrm{A}$ ずつ流す。単位長さあたりの力を求めよ。

解答：

導線1が導線2の位置につくる磁場は $\mu_0 I_1/(2\pi d)$。導線2の長さ $l$ が受ける力は $I_2lB$ なので

$$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi d} \approx \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1.0 \times 1.0}{2\pi \times 1.0} = 2.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{N/m}$$

向きは引き合う向きである。

検算：

$I\,d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{B}$ の向きを右手で確かめると、同じ向きの電流では相手の導線を向く。作用・反作用で、導線1が受ける力は大きさが同じで逆向きになる。

## 答案でよくある誤り

1. 有限の長さの直線電流にアンペールの法則を使い、$\mu_0 I/(2\pi r)$ とする。有限の導線は閉じた回路の一部なので、ビオ・サバールの法則で積分する。
2. ソレノイドの $n$ に全巻数 $N$ を入れる。$n$ は単位長さあたりの巻数 $N/l$ で、$B = \mu_0 NI/l$ と書いてもよい。
3. 磁場の力で荷電粒子の運動エネルギーが変わるとする。$q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$ は速度に垂直で仕事をしないので、速さは一定のまま向きだけが変わる。
4. アンペールの法則の電流の向きの符号を誤る。経路の向きに右ねじを回したときに進む向きの電流を正とし、逆向きの電流は負で足す。
5. 外積の順序を逆にして力の向きを誤る。$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$ で、負電荷では向きが反対になる。