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マクスウェル方程式と電磁波変位電流・波動方程式・平面波・ポインティングベクトル

真空中の電磁場は、電場と磁場の発散と回転を定める4つのマクスウェル方程式で決まる。アンペールの法則に変位電流 ε0∂E/∂t\varepsilon_0\partial\boldsymbol{E}/\partial t を加えると電荷保存と矛盾しなくなり、電荷も電流もない領域では E\boldsymbol{E} と B\boldsymbol{B} が速さ c=1/ε0μ0c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} の波動方程式を満たす。平面電磁波では E\boldsymbol{E} と B\boldsymbol{B} が進行方向と互いに垂直で、大きさは E=cBE = cB。エネルギーの流れはポインティングベクトル S=E×B/μ0\boldsymbol{S} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B}/\mu_0 で表す。

電磁気学 の第4単元（全4単元）。先に読む単元：電磁誘導と回路、ベクトル解析・勾配・発散・回転

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真空中のマクスウェル方程式

定理・法則

マクスウェル方程式（SI単位系）

条件

真空中で、電荷密度 ρ\rho と電流密度 J\boldsymbol{J} がすべての電荷と電流を含む。物質中では分極電荷と磁化電流もここに含めるか、D\boldsymbol{D} と H\boldsymbol{H} を使った形に書き換える。

主張

∇⋅E=ρε0,∇⋅B=0,∇×E=−∂B∂t,∇×B=μ0J+μ0ε0∂E∂t\begin{aligned} \nabla\cdot\boldsymbol{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0}, & \nabla\cdot\boldsymbol{B} &= 0, \\ \nabla \times \boldsymbol{E} &= -\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}, & \nabla \times \boldsymbol{B} &= \mu_0\boldsymbol{J} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t} \end{aligned}

要点

左上から、ガウスの法則、磁場のガウスの法則、ファラデーの法則、マクスウェル・アンペールの法則である。電荷 qq が受ける力 q(E+v×B)q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}) と合わせると古典電磁気学の基本法則がそろう。

積分形

ガウスの法則
∮SE⋅dS=Q内ε0\oint_S \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}
磁場のガウスの法則
∮SB⋅dS=0\oint_S \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S} = 0
ファラデーの法則
∮CE⋅dl=−ddt∫SB⋅dS\oint_C \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d}{dt}\int_S \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}

CC と SS は静止しているとする。

マクスウェル・アンペールの法則
∮CB⋅dl=μ0I貫+μ0ε0ddt∫SE⋅dS\oint_C \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 I_{\text{貫}} + \mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\int_S \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}

変位電流と電荷保存

定理・法則

電荷保存の式（連続の式）

条件

マクスウェル方程式が成り立つ。

主張

∂ρ∂t+∇⋅J=0\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{J} = 0

要点

マクスウェル・アンペールの法則の発散をとると ∇⋅(∇×B)=0\nabla\cdot(\nabla \times \boldsymbol{B}) = 0 から μ0∇⋅J+μ0ε0∂(∇⋅E)/∂t=0\mu_0\nabla\cdot\boldsymbol{J} + \mu_0\varepsilon_0\partial(\nabla\cdot\boldsymbol{E})/\partial t = 0 となり、ガウスの法則を代入すると出る。変位電流の項がないと、∇⋅J=0\nabla\cdot\boldsymbol{J} = 0 の定常電流しか許されない。

ε0∂E/∂t\varepsilon_0\partial\boldsymbol{E}/\partial t を変位電流密度という。充電中のコンデンサーでは、極板の間に伝導電流は流れないが、電場が変わることで導線の電流と同じ大きさの変位電流が流れる。アンペールの法則の経路を縁とする曲面を極板の間に通しても、導線を横切らせても、同じ磁場が得られる。

波動方程式と平面電磁波

定理・法則

電磁場の波動方程式

条件

ρ=0\rho = 0、J=0\boldsymbol{J} = \boldsymbol{0} の真空の領域。

主張

∇2E=1c2∂2E∂t2,∇2B=1c2∂2B∂t2,c=1ε0μ0\nabla^2\boldsymbol{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\boldsymbol{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2\boldsymbol{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\boldsymbol{B}}{\partial t^2}, \qquad c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}

要点

ファラデーの法則の回転をとり、∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−∇2E\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{E}) = \nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{E}) - \nabla^2\boldsymbol{E} と ∇⋅E=0\nabla\cdot\boldsymbol{E} = 0、マクスウェル・アンペールの法則を使う。屈折率 nn の一様な誘電体中では速さが c/nc/n になる。

定義

平面電磁波

zz 方向に進む直線偏光の平面波は

E=E0cos⁡(kz−ωt) ex,B=E0ccos⁡(kz−ωt) ey,ω=ck\boldsymbol{E} = E_0\cos(kz - \omega t)\,\boldsymbol{e}_x, \qquad \boldsymbol{B} = \frac{E_0}{c}\cos(kz - \omega t)\,\boldsymbol{e}_y, \qquad \omega = ck

で表せる。E\boldsymbol{E}、B\boldsymbol{B}、進行方向 ez\boldsymbol{e}_z は互いに垂直で、この順に右手系をなす（横波）。B=1cez×E\boldsymbol{B} = \frac{1}{c}\boldsymbol{e}_z \times \boldsymbol{E} と書ける。

電磁場のエネルギーと運動量

エネルギー密度
u=12ε0E2+12μ0B2u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2
ポインティングベクトル
S=1μ0E×B\boldsymbol{S} = \frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B}

単位は W/m2\mathrm{W/m^2}。単位時間に単位面積を通るエネルギー。

ポインティングの定理
∂u∂t+∇⋅S=−J⋅E\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{S} = -\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}

右辺は電磁場が電荷にする仕事率の符号を変えたもの。

平面波の強度（時間平均）
I=⟨S⟩=12cε0E02I = \langle S \rangle = \frac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^2
放射圧（垂直入射）
p吸収=Ic,p完全反射=2Icp_{\text{吸収}} = \frac{I}{c}, \qquad p_{\text{完全反射}} = \frac{2I}{c}

マクスウェル方程式と電磁波の計算例

計算例

ε0\varepsilon_0 と μ0\mu_0 から光速を求める

ε0=8.8541878188×10−12 F/m\varepsilon_0 = 8.8541878188 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}、μ0=1.25663706127×10−6 N/A2\mu_0 = 1.25663706127 \times 10^{-6}\ \mathrm{N/A^2} から c=1/ε0μ0c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} を計算せよ。

解答

ε0μ0≈1.11265×10−17 s2/m2\varepsilon_0\mu_0 \approx 1.11265 \times 10^{-17}\ \mathrm{s^2/m^2} なので

c=1ε0μ0≈2.99792458×108 m/sc = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} \approx 2.99792458 \times 10^8\ \mathrm{m/s}

検算

SIでは c=299792458 m/sc = 299792458\ \mathrm{m/s} が定義値で、上の値と有効数字の範囲で一致する。単位は F/m=C2/(N m2)\mathrm{F/m} = \mathrm{C^2/(N\,m^2)}、N/A2=N s2/C2\mathrm{N/A^2} = \mathrm{N\,s^2/C^2} の積が s2/m2\mathrm{s^2/m^2} になる。

計算例

平面波がマクスウェル方程式を満たす条件

E=E0cos⁡(kz−ωt)ex\boldsymbol{E} = E_0\cos(kz - \omega t)\boldsymbol{e}_x、B=B0cos⁡(kz−ωt)ey\boldsymbol{B} = B_0\cos(kz - \omega t)\boldsymbol{e}_y が真空中のマクスウェル方程式を満たすための B0B_0 と ω\omega の条件を求めよ。

解答

ExE_x は xx に、ByB_y は yy によらないので、両方の発散は零。ファラデーの法則の yy 成分は ∂Ex/∂z=−∂By/∂t\partial E_x/\partial z = -\partial B_y/\partial t で

−kE0sin⁡(kz−ωt)=−ωB0sin⁡(kz−ωt) ⇒ B0=kωE0-kE_0\sin(kz - \omega t) = -\omega B_0\sin(kz - \omega t) \ \Rightarrow \ B_0 = \frac{k}{\omega}E_0

マクスウェル・アンペールの法則の xx 成分は −∂By/∂z=μ0ε0∂Ex/∂t-\partial B_y/\partial z = \mu_0\varepsilon_0\partial E_x/\partial t で、kB0=μ0ε0ωE0kB_0 = \mu_0\varepsilon_0\omega E_0。2式から ω2=k2/(μ0ε0)\omega^2 = k^2/(\mu_0\varepsilon_0)、つまり ω=ck\omega = ck、B0=E0/cB_0 = E_0/c。

検算

電場のエネルギー密度 12ε0E2\frac{1}{2}\varepsilon_0E^2 と磁場のエネルギー密度 B22μ0=E22μ0c2\frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{E^2}{2\mu_0c^2} が等しくなる。

計算例

電磁波の強度と磁場の振幅

電場の振幅 E0=100 V/mE_0 = 100\ \mathrm{V/m} の平面電磁波について、磁束密度の振幅と強度を求めよ。

解答

B0=E0c=1003.00×108≈3.3×10−7 TB_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{100}{3.00 \times 10^8} \approx 3.3 \times 10^{-7}\ \mathrm{T}
I=12cε0E02=12×3.00×108×8.85×10−12×1002≈13 W/m2I = \frac{1}{2}c\varepsilon_0E_0^2 = \frac{1}{2} \times 3.00 \times 10^8 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 100^2 \approx 13\ \mathrm{W/m^2}

検算

S=E0B0cos⁡2(kz−ωt)/μ0S = E_0B_0\cos^2(kz - \omega t)/\mu_0 の1周期平均は E0B0/(2μ0)=E02/(2μ0c)=12cε0E02E_0B_0/(2\mu_0) = E_0^2/(2\mu_0c) = \frac{1}{2}c\varepsilon_0E_0^2 で同じ式になる。単位は (m/s)(F/m)(V/m)2=W/m2\mathrm{(m/s)(F/m)(V/m)^2} = \mathrm{W/m^2}。

計算例

充電中のコンデンサーの極板間の磁場

半径 RR の円形平行板コンデンサーを電流 II で充電している。極板間で中心軸から距離 rr（r<Rr < R）の磁束密度を求めよ。端の効果は無視する。

解答

極板間の電場は E=q/(ε0πR2)E = q/(\varepsilon_0\pi R^2) なので ∂E/∂t=I/(ε0πR2)\partial E/\partial t = I/(\varepsilon_0\pi R^2)。半径 rr の円を経路にとると、伝導電流は貫かず

2πrB=μ0ε0∂E∂tπr2 ⇒ B=μ0Ir2πR22\pi rB = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\pi r^2 \ \Rightarrow \ B = \frac{\mu_0 Ir}{2\pi R^2}

検算

r=Rr = R で B=μ0I/(2πR)B = \mu_0 I/(2\pi R) となり、導線のまわりの磁場と同じ形になる。極板全体の変位電流 ε0πR2 ∂E/∂t\varepsilon_0\pi R^2\,\partial E/\partial t は導線の電流 II に等しい。

答案でよくある誤り

  1. 1

    電場が時間変化する場面で、変位電流のないアンペールの法則を使う。コンデンサーの充電や電磁波では μ0ε0∂E/∂t\mu_0\varepsilon_0\partial\boldsymbol{E}/\partial t を加える。

  2. 2

    平面波の磁場の振幅を E0E_0 と同じ値にする。SI単位系では B0=E0/cB_0 = E_0/c で、単位も T\mathrm{T} と V/m\mathrm{V/m} で異なる。B=EB = E と書けるのはガウス単位系である。

  3. 3

    電磁波の強度を cε0E02c\varepsilon_0E_0^2 とする。cos⁡2\cos^2 の時間平均 1/21/2 を掛け、12cε0E02\frac{1}{2}c\varepsilon_0E_0^2 にする。実効値 Erms=E0/2E_{\text{rms}} = E_0/\sqrt{2} を使うなら cε0Erms2c\varepsilon_0E_{\text{rms}}^2。

  4. 4

    ∇×(∇×E)=−∇2E\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{E}) = -\nabla^2\boldsymbol{E} を電荷のある領域でも使う。一般には ∇(∇⋅E)−∇2E\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{E}) - \nabla^2\boldsymbol{E} で、∇⋅E=0\nabla\cdot\boldsymbol{E} = 0 のときだけ第1項が消える。

  5. 5

    E×B\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B} の順序を逆にして、エネルギーの流れる向きを波の進行方向と反対にする。平面波では S\boldsymbol{S} が進行方向を向くことで確かめる。

マクスウェル方程式と電磁波が出た院試の過去問

院試hubが年度別解説の大問を分類した集計から、この単元の内容を扱う出題を挙げる。問題文は各大学の公式過去問で確かめ、解き方は各年度の解説ページで読める。

マクスウェル方程式

11大学・36問（2012〜2026年度）

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電磁波

17大学・64問（2013〜2026年度）

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電磁気学の前後の単元

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