電磁誘導と回路ファラデーの法則・インダクタンス・RC/RL/RLC回路の過渡応答

回路を貫く磁束 $\Phi$ が時間変化すると、回路に起電力 $\mathcal{E} = -d\Phi/dt$ が生じる（ファラデーの法則）。負号は、誘導電流が磁束の変化を妨げる向きに流れることを表す（レンツの法則）。コイルの自己インダクタンス $L$ は $\Phi = LI$ で定め、コイルの両端には $L\,dI/dt$ の電圧が現れる。RC 回路と RL 回路の電流は時定数 $RC$ 、 $L/R$ で指数関数的に変わり、RLC 直列回路は減衰振動と同じ方程式に従う。

電磁気学の第3単元（全4単元）。先に読む単元：静磁場とアンペールの法則、力学・単振動・減衰振動・強制振動

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ファラデーの電磁誘導の法則

定義

磁束と起電力

閉回路 $C$ を縁とする曲面 $S$ を貫く磁束を $\Phi = \int_S \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}$ と定める。単位は $\mathrm{Wb} = \mathrm{T\,m^2}$ 。回路に沿って単位電荷を一周させる力の仕事を起電力 $\mathcal{E} = \oint_C (\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{l}$ という（ $\boldsymbol{v}$ は導線の速度）。

定理・法則

ファラデーの法則

条件

微分形は常に成り立つ。磁束による形（磁束則）は、回路が導線の形を保って動くか変形する場合に成り立つ。接触点が導体の上を滑る単極発電機のような場合は、磁束則を当てはめず、ローレンツ力から起電力を求める。

主張

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}, \qquad \nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}

要点

回路が静止していて磁場が変わる場合は、誘導電場 $\boldsymbol{E}$ が起電力をつくる。磁場が一定で回路が動く場合は、導線中の電荷が受ける $\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$ の力が起電力をつくる。どちらも同じ式 $-d\Phi/dt$ にまとまる。 $N$ 回巻きのコイルでは $\mathcal{E} = -N\,d\Phi/dt$ 。

インダクタンスと磁場のエネルギー

定義

自己インダクタンスと相互インダクタンス

コイルに電流 $I$ を流したとき、そのコイル自身を貫く全磁束（鎖交磁束）が $N\Phi = LI$ となる比例係数 $L$ を自己インダクタンスという。単位は $\mathrm{H} = \mathrm{Wb/A}$ 。コイル1の電流 $I_1$ がコイル2につくる鎖交磁束を $M_{21}I_1$ と書き、 $M_{21} = M_{12} = M$ を相互インダクタンスという。電流が変わるとコイルには $-L\,dI/dt$ の起電力が生じる。

長さ $l$ 、断面積 $S$ 、巻数 $N$ のソレノイド: $L = \frac{\mu_0 N^2S}{l}$
端の効果を無視する（ $l \gg \sqrt{S}$ ）。
コイルに蓄えられるエネルギー: $U = \frac{1}{2}LI^2 = \int \frac{B^2}{2\mu_0}dV$
RC 回路の充電（ $t = 0$ に電圧 $V_0$ を加える）: $q(t) = CV_0\left(1 - e^{-t/RC}\right), \qquad I(t) = \frac{V_0}{R}e^{-t/RC}$
RL 回路の電流の立ち上がり: $I(t) = \frac{V_0}{R}\left(1 - e^{-Rt/L}\right)$
RLC 直列回路の方程式: $L\ddot{q} + R\dot{q} + \frac{q}{C} = V(t)$
減衰振動の式で $m \to L$ 、 $c \to R$ 、 $k \to 1/C$ とした形。 $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ 、 $\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{C/L}$ 。
交流のインピーダンス（ $e^{i\omega t}$ の流儀）: $Z = R + i\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right), \qquad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$
電気工学では虚数単位を $j$ と書く。 $e^{-i\omega t}$ の流儀では虚部の符号が逆になる。

回路方程式が使える条件

定理・法則

キルヒホッフの法則

条件

回路の大きさが、扱う信号の波長に比べて十分小さい（集中定数回路）。素子の外では磁束が時間変化しないとみなせる。

主張

接続点に流れ込む電流の和は零（第1法則）。閉路に沿った起電力の和は、電圧降下 $RI$ 、 $q/C$ 、 $L\,dI/dt$ の和に等しい（第2法則）。

要点

第1法則は電荷保存から、第2法則はファラデーの法則で回路内の誘導起電力をコイルに集めた形から出る。高い周波数や長い伝送線路では、この近似が成り立たない。

電磁誘導と回路の計算例

計算例

レールの上を滑る導体棒

間隔 $l$ の平行なレールの端を抵抗 $R$ でつなぎ、鉛直上向きの一様な磁場 $B$ の中に水平に置く。質量 $m$ の導体棒を初速 $v_0$ でレールに沿って滑らせる。摩擦とほかの抵抗を無視して、速度 $v(t)$ と抵抗で発生する熱の総量を求めよ。

解答

起電力は $\mathcal{E} = Blv$ 、電流は $I = Blv/R$ 。棒が受ける力は $IlB = B^2l^2v/R$ で運動を妨げる向きなので

m\dot{v} = -\frac{B^2l^2}{R}v, \qquad v(t) = v_0e^{-B^2l^2t/(mR)}

熱の総量は $\int_0^\infty I^2R\,dt = \int_0^\infty \frac{B^2l^2v_0^2}{R}e^{-2B^2l^2t/(mR)}dt = \frac{1}{2}mv_0^2$ 。

検算

棒の運動エネルギーがすべて熱になり、エネルギーが保存する。止まるまでに進む距離は $\int v\,dt = mv_0R/(B^2l^2)$ で有限である。時定数 $mR/(B^2l^2)$ の単位は $\mathrm{kg\,\Omega/(T^2m^2)} = \mathrm{s}$ 。

計算例

ソレノイドの自己インダクタンス

長さ $l = 0.10\ \mathrm{m}$ 、断面積 $S = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$ 、巻数 $N = 500$ の空芯ソレノイドの自己インダクタンスを求めよ。

解答

電流 $I$ で内部の磁場は $B = \mu_0 NI/l$ 、1巻きを貫く磁束は $BS$ 。鎖交磁束は $N\cdot BS = \mu_0 N^2SI/l$ なので

L = \frac{\mu_0 N^2S}{l} = \frac{1.2566 \times 10^{-6} \times 500^2 \times 1.0 \times 10^{-4}}{0.10} \approx 3.1 \times 10^{-4}\ \mathrm{H}

検算

$\frac{1}{2}LI^2$ と、磁場のエネルギー $\frac{B^2}{2\mu_0} \times Sl = \frac{\mu_0 N^2I^2S}{2l}$ が一致する。巻数を2倍にすると $L$ は4倍になる。

計算例

RC 回路の充電で抵抗に生じる熱

電荷のないコンデンサー $C$ と抵抗 $R$ を直列にし、 $t = 0$ に電圧 $V_0$ の電池につなぐ。電流と、充電が終わるまでに抵抗で生じる熱を求めよ。

解答

回路方程式 $V_0 = RI + q/C$ 、 $I = \dot{q}$ を $q(0) = 0$ で解くと $q = CV_0(1 - e^{-t/RC})$ 、 $I = \frac{V_0}{R}e^{-t/RC}$ 。

\int_0^\infty I^2R\,dt = \frac{V_0^2}{R}\cdot\frac{RC}{2} = \frac{1}{2}CV_0^2

検算

電池のした仕事は $\int V_0I\,dt = CV_0^2$ で、半分がコンデンサーに $\frac{1}{2}CV_0^2$ として蓄えられ、残り半分が熱になる。この比は $R$ によらない。 $t = RC$ で電荷は最終値の $1 - e^{-1} \approx 63\%$ に達する。

計算例

RLC 直列回路の共振

$R = 10\ \Omega$ 、 $L = 0.10\ \mathrm{H}$ 、 $C = 10\ \mu\mathrm{F}$ の直列回路に交流電圧 $V_0\cos\omega t$ を加える。電流の振幅が最大になる角周波数と、そのときの Q 値を求めよ。

解答

電流の振幅は $V_0/|Z|$ 、 $|Z| = \sqrt{R^2 + (\omega L - 1/(\omega C))^2}$ で、 $\omega L = 1/(\omega C)$ のとき $|Z| = R$ が最小になる。

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0.10 \times 1.0 \times 10^{-5}}} = 1.0 \times 10^3\ \mathrm{rad/s}, \qquad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = 10

周波数では $f_0 = \omega_0/(2\pi) \approx 159\ \mathrm{Hz}$ 。

検算

$Q = \omega_0L/R = 1000 \times 0.10/10 = 10$ でも同じ値になる。減衰比は $\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{C/L} = 0.05$ で $Q = 1/(2\zeta)$ と合う。電流の共振は $\omega_0$ ちょうどで起こり、電荷（コンデンサーの電圧）の振幅の峰は $\omega_0\sqrt{1 - 2\zeta^2}$ にずれる。

答案でよくある誤り

1
誘導起電力の向きを $-d\Phi/dt$ の符号だけで決め、面の向きと回路の向きの対応を決めない。面の法線と回路の向きを右ねじで対応させるか、レンツの法則で磁束の変化を妨げる向きを確かめる。
2
$N$ 回巻きのコイルで、自己インダクタンスを1巻きの磁束から $L = \Phi/I$ とする。鎖交磁束 $N\Phi$ を使い、ソレノイドでは $L \propto N^2$ になる。
3
RC 回路の充電でエネルギー保存から抵抗の熱を零とする。電池のした仕事 $CV_0^2$ の半分は抵抗で熱になる。
4
スイッチを切り替えた直後に、コイルの電流やコンデンサーの電荷が不連続に変わるとする。有限の電圧ではコイルの電流とコンデンサーの電荷は連続で、これが初期条件になる。
5
交流回路の複素表示で、 $e^{i\omega t}$ と $e^{-i\omega t}$ の流儀を混ぜてインピーダンスの虚部の符号を誤る。答案の最初に採用する流儀を書く。