# 電磁誘導と回路｜ファラデーの法則・インダクタンス・RC/RL/RLC回路の過渡応答

> ファラデーの電磁誘導の法則とレンツの法則、自己インダクタンスと磁場のエネルギー、RC・RL回路の過渡応答とRLC直列回路の共振をSI単位系で解説。レール上の導体棒、ソレノイドのインダクタンス、充電で失われるエネルギーの計算例も載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [静磁場とアンペールの法則](https://inshihub.com/basics/electromagnetism/magnetostatics-ampere)、[単振動・減衰振動・強制振動](https://inshihub.com/basics/mechanics/oscillations)

回路を貫く磁束 $\Phi$ が時間変化すると、回路に起電力 $\mathcal{E} = -d\Phi/dt$ が生じる（ファラデーの法則）。負号は、誘導電流が磁束の変化を妨げる向きに流れることを表す（レンツの法則）。コイルの自己インダクタンス $L$ は $\Phi = LI$ で定め、コイルの両端には $L\,dI/dt$ の電圧が現れる。RC 回路と RL 回路の電流は時定数 $RC$、$L/R$ で指数関数的に変わり、RLC 直列回路は減衰振動と同じ方程式に従う。

## ファラデーの電磁誘導の法則

### 定義：磁束と起電力

閉回路 $C$ を縁とする曲面 $S$ を貫く磁束を $\Phi = \int_S \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}$ と定める。単位は $\mathrm{Wb} = \mathrm{T\,m^2}$。回路に沿って単位電荷を一周させる力の仕事を起電力 $\mathcal{E} = \oint_C (\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{l}$ という（$\boldsymbol{v}$ は導線の速度）。

### 定理・法則：ファラデーの法則

条件：

微分形は常に成り立つ。磁束による形（磁束則）は、回路が導線の形を保って動くか変形する場合に成り立つ。接触点が導体の上を滑る単極発電機のような場合は、磁束則を当てはめず、ローレンツ力から起電力を求める。

主張：

$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}, \qquad \nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$$

要点：

回路が静止していて磁場が変わる場合は、誘導電場 $\boldsymbol{E}$ が起電力をつくる。磁場が一定で回路が動く場合は、導線中の電荷が受ける $\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}$ の力が起電力をつくる。どちらも同じ式 $-d\Phi/dt$ にまとまる。$N$ 回巻きのコイルでは $\mathcal{E} = -N\,d\Phi/dt$。

## インダクタンスと磁場のエネルギー

### 定義：自己インダクタンスと相互インダクタンス

コイルに電流 $I$ を流したとき、そのコイル自身を貫く全磁束（鎖交磁束）が $N\Phi = LI$ となる比例係数 $L$ を自己インダクタンスという。単位は $\mathrm{H} = \mathrm{Wb/A}$。コイル1の電流 $I_1$ がコイル2につくる鎖交磁束を $M_{21}I_1$ と書き、$M_{21} = M_{12} = M$ を相互インダクタンスという。電流が変わるとコイルには $-L\,dI/dt$ の起電力が生じる。

- 長さ $l$、断面積 $S$、巻数 $N$ のソレノイド

  $$L = \frac{\mu_0 N^2S}{l}$$

  端の効果を無視する（$l \gg \sqrt{S}$）。

- コイルに蓄えられるエネルギー

  $$U = \frac{1}{2}LI^2 = \int \frac{B^2}{2\mu_0}dV$$

- RC 回路の充電（$t = 0$ に電圧 $V_0$ を加える）

  $$q(t) = CV_0\left(1 - e^{-t/RC}\right), \qquad I(t) = \frac{V_0}{R}e^{-t/RC}$$

- RL 回路の電流の立ち上がり

  $$I(t) = \frac{V_0}{R}\left(1 - e^{-Rt/L}\right)$$

- RLC 直列回路の方程式

  $$L\ddot{q} + R\dot{q} + \frac{q}{C} = V(t)$$

  [減衰振動](https://inshihub.com/basics/mechanics/oscillations)の式で $m \to L$、$c \to R$、$k \to 1/C$ とした形。$\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$、$\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{C/L}$。

- 交流のインピーダンス（$e^{i\omega t}$ の流儀）

  $$Z = R + i\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right), \qquad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$

  電気工学では虚数単位を $j$ と書く。$e^{-i\omega t}$ の流儀では虚部の符号が逆になる。

## 回路方程式が使える条件

### 定理・法則：キルヒホッフの法則

条件：

回路の大きさが、扱う信号の波長に比べて十分小さい（集中定数回路）。素子の外では磁束が時間変化しないとみなせる。

主張：

接続点に流れ込む電流の和は零（第1法則）。閉路に沿った起電力の和は、電圧降下 $RI$、$q/C$、$L\,dI/dt$ の和に等しい（第2法則）。

要点：

第1法則は電荷保存から、第2法則はファラデーの法則で回路内の誘導起電力をコイルに集めた形から出る。高い周波数や長い伝送線路では、この近似が成り立たない。

## 電磁誘導と回路の計算例

### 計算例：レールの上を滑る導体棒

間隔 $l$ の平行なレールの端を抵抗 $R$ でつなぎ、鉛直上向きの一様な磁場 $B$ の中に水平に置く。質量 $m$ の導体棒を初速 $v_0$ でレールに沿って滑らせる。摩擦とほかの抵抗を無視して、速度 $v(t)$ と抵抗で発生する熱の総量を求めよ。

解答：

起電力は $\mathcal{E} = Blv$、電流は $I = Blv/R$。棒が受ける力は $IlB = B^2l^2v/R$ で運動を妨げる向きなので

$$m\dot{v} = -\frac{B^2l^2}{R}v, \qquad v(t) = v_0e^{-B^2l^2t/(mR)}$$

熱の総量は $\int_0^\infty I^2R\,dt = \int_0^\infty \frac{B^2l^2v_0^2}{R}e^{-2B^2l^2t/(mR)}dt = \frac{1}{2}mv_0^2$。

検算：

棒の運動エネルギーがすべて熱になり、エネルギーが保存する。止まるまでに進む距離は $\int v\,dt = mv_0R/(B^2l^2)$ で有限である。時定数 $mR/(B^2l^2)$ の単位は $\mathrm{kg\,\Omega/(T^2m^2)} = \mathrm{s}$。

### 計算例：ソレノイドの自己インダクタンス

長さ $l = 0.10\ \mathrm{m}$、断面積 $S = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$、巻数 $N = 500$ の空芯ソレノイドの自己インダクタンスを求めよ。

解答：

電流 $I$ で内部の磁場は $B = \mu_0 NI/l$、1巻きを貫く磁束は $BS$。鎖交磁束は $N\cdot BS = \mu_0 N^2SI/l$ なので

$$L = \frac{\mu_0 N^2S}{l} = \frac{1.2566 \times 10^{-6} \times 500^2 \times 1.0 \times 10^{-4}}{0.10} \approx 3.1 \times 10^{-4}\ \mathrm{H}$$

検算：

$\frac{1}{2}LI^2$ と、磁場のエネルギー $\frac{B^2}{2\mu_0} \times Sl = \frac{\mu_0 N^2I^2S}{2l}$ が一致する。巻数を2倍にすると $L$ は4倍になる。

### 計算例：RC 回路の充電で抵抗に生じる熱

電荷のないコンデンサー $C$ と抵抗 $R$ を直列にし、$t = 0$ に電圧 $V_0$ の電池につなぐ。電流と、充電が終わるまでに抵抗で生じる熱を求めよ。

解答：

回路方程式 $V_0 = RI + q/C$、$I = \dot{q}$ を $q(0) = 0$ で解くと $q = CV_0(1 - e^{-t/RC})$、$I = \frac{V_0}{R}e^{-t/RC}$。

$$\int_0^\infty I^2R\,dt = \frac{V_0^2}{R}\cdot\frac{RC}{2} = \frac{1}{2}CV_0^2$$

検算：

電池のした仕事は $\int V_0I\,dt = CV_0^2$ で、半分がコンデンサーに $\frac{1}{2}CV_0^2$ として蓄えられ、残り半分が熱になる。この比は $R$ によらない。$t = RC$ で電荷は最終値の $1 - e^{-1} \approx 63\%$ に達する。

### 計算例：RLC 直列回路の共振

$R = 10\ \Omega$、$L = 0.10\ \mathrm{H}$、$C = 10\ \mu\mathrm{F}$ の直列回路に交流電圧 $V_0\cos\omega t$ を加える。電流の振幅が最大になる角周波数と、そのときの Q 値を求めよ。

解答：

電流の振幅は $V_0/|Z|$、$|Z| = \sqrt{R^2 + (\omega L - 1/(\omega C))^2}$ で、$\omega L = 1/(\omega C)$ のとき $|Z| = R$ が最小になる。

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0.10 \times 1.0 \times 10^{-5}}} = 1.0 \times 10^3\ \mathrm{rad/s}, \qquad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = 10$$

周波数では $f_0 = \omega_0/(2\pi) \approx 159\ \mathrm{Hz}$。

検算：

$Q = \omega_0L/R = 1000 \times 0.10/10 = 10$ でも同じ値になる。減衰比は $\zeta = \frac{R}{2}\sqrt{C/L} = 0.05$ で $Q = 1/(2\zeta)$ と合う。電流の共振は $\omega_0$ ちょうどで起こり、電荷（コンデンサーの電圧）の振幅の峰は $\omega_0\sqrt{1 - 2\zeta^2}$ にずれる。

## 答案でよくある誤り

1. 誘導起電力の向きを $-d\Phi/dt$ の符号だけで決め、面の向きと回路の向きの対応を決めない。面の法線と回路の向きを右ねじで対応させるか、レンツの法則で磁束の変化を妨げる向きを確かめる。
2. $N$ 回巻きのコイルで、自己インダクタンスを1巻きの磁束から $L = \Phi/I$ とする。鎖交磁束 $N\Phi$ を使い、ソレノイドでは $L \propto N^2$ になる。
3. RC 回路の充電でエネルギー保存から抵抗の熱を零とする。電池のした仕事 $CV_0^2$ の半分は抵抗で熱になる。
4. スイッチを切り替えた直後に、コイルの電流やコンデンサーの電荷が不連続に変わるとする。有限の電圧ではコイルの電流とコンデンサーの電荷は連続で、これが初期条件になる。
5. 交流回路の複素表示で、$e^{i\omega t}$ と $e^{-i\omega t}$ の流儀を混ぜてインピーダンスの虚部の符号を誤る。答案の最初に採用する流儀を書く。

## 電磁誘導と回路が出た院試の過去問

### [RC回路の過渡応答](https://inshihub.com/exam-themes/rc-circuit-transient)（15大学・64問）

- [九州大学大学院 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-information-science-and-electrical-engineering/electrical-and-electronic-engineering-specialized-subjects/2026#problem-1): 電気回路
- [京都大学 数学・機械力学・専門科目 2026年度 第8問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering-group/2026#problem-8): フィードバック制御と位相進み補償
- [北海道大学大学院 応用量子科学系 専門科目 2026年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-engineering/applied-quantum-science-and-engineering/2026#problem-4): RC回路の過渡応答とエネルギー
- [北海道大学大学院 情報科学専攻 システム情報科学コース 専門科目 2026年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/system-information-science/2026#problem-5): 電気回路
- [室蘭工業大学大学院 専門科目 2026年度 第8問](https://inshihub.com/exam-solutions/muroran-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/electrical-and-electronic-engineering/2026-second#problem-8): 過渡現象：RCの充電と放電
- [東京大学 物質系専攻 専門科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-frontier-sciences/materials-science/2026#problem-2): 相互誘導コイルとRC積分による電流計測

解答まで無料で読める演習問題:

- [九州大学大学院 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-information-science-and-electrical-engineering/electrical-and-electronic-engineering-specialized-subjects/2026#problem-1): 電気回路
- [九州大学大学院 専門科目 2025年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-information-science-and-electrical-engineering/electrical-and-electronic-engineering-specialized-subjects/2025#problem-1): 電気回路
- [東京大学 物質系専攻 専門科目 2025年度 第10問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-frontier-sciences/materials-science/2025#problem-10): 半導体のドナー・少数キャリアの生成再結合と拡散
- [電気通信大学大学院 専門科目（電気電子・光デバイス系） 2025年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/university-of-electro-communications/graduate-school-of-informatics-and-engineering/fundamental-science-and-engineering-electrical-electronic-optical-devices/2025#problem-1): 選択問題：電気・電子回路

### [RLC回路](https://inshihub.com/exam-themes/rlc-circuit)（7大学・13問）

- [東京農工大学大学院 専門科目 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university-of-agriculture-and-technology/graduate-school-of-engineering/intelligent-information-systems-engineering-specialized-subjects/2026#problem-3): 並列共振回路
- [電気通信大学大学院 専門科目（機械知能システム学） 2026年度 第16問](https://inshihub.com/exam-solutions/university-of-electro-communications/graduate-school-of-informatics-and-engineering/mechanical-intelligent-systems/2026#problem-16): 選択問題：電気回路学（直列RLC回路）
- [千葉大学大学院 物理学 2024年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/chiba-university/graduate-school-of-science-and-engineering/physics/2024#problem-3): RLC回路と導体中の電磁波
- [東北大学大学院 2群 情報・生命系 基礎・専門科目 2024年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/tohoku-university/graduate-school-of-information-sciences/information-and-life-sciences-basic-specialized-subjects/2024-08#problem-2): 共振回路と変圧器
- [東北大学大学院 基礎・専門科目 2024年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/tohoku-university/electrical-information-engineering/basic-and-specialized-subjects/2024-08#problem-2): 共振回路と変圧器
- [電気通信大学大学院 専門科目（電気電子・光デバイス系） 2024年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/university-of-electro-communications/graduate-school-of-informatics-and-engineering/fundamental-science-and-engineering-electrical-electronic-optical-devices/2024#problem-1): 選択問題：電気・電子回路

解答まで無料で読める演習問題:

- [電気通信大学大学院 専門科目（電気電子・光デバイス系） 2024年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/university-of-electro-communications/graduate-school-of-informatics-and-engineering/fundamental-science-and-engineering-electrical-electronic-optical-devices/2024#problem-1): 選択問題：電気・電子回路
- [東京大学 専門科目（物理学） 2016年度 第6問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/physics/specialized-physics/2016#problem-6): 交流回路：フィルタと整流