東北大 情報科学研究科 2群 情報・生命系 基礎・専門科目 2025年8月 院試 解答例・解説

境界面上の位相整合

反射の法則と Snell の法則は，境界条件が任意の境界面上の位置で成り立つことから出る。振幅条件だけでなく，指数関数の $y$ 依存性が一致しなければならない点を書くと，導出として説得力がある。

偏波の種類

この問題では電界が入射面に垂直であるため，TE波または s 偏波の Fresnel 係数を用いる。TM波の係数 $$\frac{n\cos\theta-\cos\theta_3}{n\cos\theta+\cos\theta_3}$$ と取り違えないこと。

磁界の向き

平面波では $\mathbf{E},\mathbf{H},\mathbf{a}$ が右手系を作り， $$\mathbf{H}=\frac1{\eta}\mathbf{a}\times\mathbf{E}$$ である。外積の順序を逆にすると符号が全て反転する。

並列部の電圧を置く

負荷全体にかかる電圧と抵抗にかかる電圧は同じではない。直列インダクタの後ろにある並列部の電圧 $V_p$ を一度置くと，$I_C$ と $I_R$ は素直に求まる。

力率1の条件

力率が1とは，負荷インピーダンスの虚部がゼロという意味である。抵抗値を解くとき，$1-\omega^2LC$ が正でなければ実数の正抵抗が存在しない。

過渡応答の振動条件

二次系の減衰係数 $\alpha$ と固有角周波数を比較する。$\alpha<1/\sqrt{LC}$ のときだけ複素共役根となり，抵抗電流に減衰振動が現れる。

励起表の読み方

JK-FFでは，現在値と次状態から必要な $J,K$ を逆算する。$0\to0$ では $K$ は結果に影響しないため don't care，$1\to1$ では $J$ が don't care になる。

図の回路の遷移

下位ビットが全て $0$ のとき上位ビットが反転する構成なので，通常の上向きカウンタではなく，$000$ から $111$ へ進む下向きの同期カウンタになる。

未使用状態の扱い

指定された5状態以外は到達しない前提で don't care としてよい。この自由度を使うことで，$J_1=1$ や $K_0=1$ のような非常に簡単な式に落とせる。

後置記法として読む

生成規則 $SSS\$$ は，条件・真の場合・偽の場合を並べた後置的な構造と見られる。評価規則も「第1要素が真なら第2要素，偽なら第3要素」を返す形になっている。

size 5 の列挙

サイズ5は内部節点が一つだけの最小の複合形である。したがって $abc\$$の8通りだけを調べればよい。条件$a$が真なら$b$，偽なら$c$ が評価値になる。

評価を反転する構成

$zft\$$は，$z$が真なら$f$を返し，$z$が偽なら$t$を返す。サイズも葉を二つと内部構造一つ分だけ増えるため，ちょうど$4$ 増える。

指数減衰解

障壁内で $U_0>E$ のとき，波数は虚数になり，解は $e^{\beta x}$ と $e^{-\beta x}$ の線形結合になる。透過側から境界条件を立てると，$A$ と $B$ を $t$ で直接表せる。

WKB指数の意味

透過確率は禁制領域での $$\int\sqrt{U(x)-E}\,dx$$ に指数関数的に支配される。電圧印加で障壁が傾くと，この面積が小さくなるため透過確率が増える。

二つの場合の違い

電子のエネルギーが障壁右端より低い場合は，障壁全体をトンネルする。右端より高い場合は途中で古典的に許容領域に入るため，実効的な障壁幅が短くなる。

有限区間のラプラス変換

区間で切られた関数は，積分範囲をそのまま限定すればよい。周期的に繰り返す場合は，各周期の寄与が等比級数になる。

周期シフト

$f_c$ では $g(t-2n\pi)$ のラプラス変換が $e^{-2n\pi p}$ 倍になる。この因子を外に出すと，残りは一周期分の積分だけで済む。

幾何と行列式

直線や円の係数が非自明に存在する条件は，対応する連立一次方程式の係数行列の行列式が $0$ であることに等しい。三角形の面積公式も，二次元の外積を同次座標の行列式で書いたものである。