東北大 情報科学研究科 2群 情報・生命系 基礎・専門科目 2025年3月 院試 解答例・解説

線電流・線電荷近似

$d\gg a,\ h\gg a$ が与えられているので，導体内部や表面近傍の詳細な分布ではなく，中心軸上に電流・電荷が集中している近似で主項を求める。対数が出るのは $1/r$ 型の場を積分するためである。

向きの確認

二つの電流は逆向きだが，導体間の点では磁界の向きが同じになる。電界も正電荷側から負電荷側へ向かうため，導体間では $-z$ 方向である。

鏡像法

接地平板は反対符号の鏡像線電荷で置き換えられる。導体と平板の電位差は，実導体と鏡像導体の電位差の半分になるため，係数が二線式の場合の2倍になる。

進行波と反射波

受電端を $x=0$ としているため，$V^+,V^-$ はその点での振幅である。$V_0,I_0$ から進行波と反射波へ戻す式は，伝送線路問題の基本である。

整合負荷

負荷が特性インピーダンスに等しいと反射波が消える。このとき線路上のどの位置から見ても，先に見えるのは同じ進行波だけなので入力インピーダンスは常に $Z_c$ である。

短絡端の定在波

短絡端では電圧がゼロになる。電圧最大はそこから四分の一波長だけ離れた点であり，$\beta x=\pi/2$ と書けばすぐ求まる。

3値入力のまとめ方

2値論理のカルノー図と同じく，隣接する真値をまとめる。ただし各変数は $\{0,1,2\}$ の部分集合でまとめられるため，$X_i^{\{0,2\}}$ のような項が自然に現れる。

最小項と最小積和形

最小項は各変数の値を一つに固定するため，真となる入力の数だけ項が必要になる。一方，最小積和形では複数の値を同じ集合にまとめられるので，項数を大きく減らせる。

誤りやすい点

$X_i^{\{0,2\}}$ は「$0$ または $2$」であり，「$0$ と $2$ の両方」ではない。集合の意味を論理和として読むことが重要である。

fは線形再帰

$f$ は $n$ を1ずつ減らすので，$\mathrm{op}$ の呼び出し回数はそのまま $n$ 回である。足し算なら掛け算的な反復加算，掛け算なら累乗に対応する。

gは二分法

$g$ は偶数のとき引数を半分にするため，呼び出し回数は対数オーダーになる。奇数のとき一度だけ $n-1$ にして偶数へ戻すので，$2\log_2 n$ で上から抑えられる。

高速累乗との対応

$\mathrm{op}(x,x)=f(x,2)$ は「二乗」に相当し，$f(f(x,2),y)=f(x,2y)$ は「二乗したものを $y$ 回作用させると元を $2y$ 回作用させたのと同じ」という結合法則的性質を表している。

独立粒子の分配関数

相互作用がないため，全体の分配関数は一粒子分配関数の $N$ 乗になる。ここを使うと自由エネルギーも一粒子自由エネルギーの $N$ 倍になる。

内部エネルギーの意味

励起状態にある粒子の平均数は $$N\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}=\frac{N}{e^x+1}$$ である。各励起粒子がエネルギー $E_0$ を持つので，$U_N=NE_0/(e^x+1)$ と直ちに解釈できる。

熱容量の形

$T\to0$ でも $T\to\infty$ でも熱容量は $0$ に近づく。中間温度でだけ二準位間の占有が大きく変化するため，Schottky型の山を持つ。

収束条件

$|z|<1$ があるので，有限等比級数の式から極限を取れる。無限級数をいきなり扱うより，有限和を先に示す方が厳密である。

係数計算

$e^z$ と $(1-z)^{-2}$ の既知展開を掛け合わせる。$z^3$ までなら，必要な項だけを残せばよい。

行列の構造

この行列は四元数の左乗法に対応する直交的な構造を持つ。列の内積を見ると一気に $A^{\mathsf T}A=sI$ が分かり，行列式もすぐ求まる。