# マクスウェル方程式と電磁波｜変位電流・波動方程式・平面波・ポインティングベクトル

> 真空中のマクスウェル方程式の微分形と積分形、変位電流と電荷保存の関係、波動方程式と光速c=1/√(ε0μ0)、平面電磁波の性質、ポインティングベクトルと強度をSI単位系で解説。検算した計算例と典型的な誤りも載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16
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真空中の電磁場は、電場と磁場の発散と回転を定める4つのマクスウェル方程式で決まる。アンペールの法則に変位電流 $\varepsilon_0\partial\boldsymbol{E}/\partial t$ を加えると電荷保存と矛盾しなくなり、電荷も電流もない領域では $\boldsymbol{E}$ と $\boldsymbol{B}$ が速さ $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ の波動方程式を満たす。平面電磁波では $\boldsymbol{E}$ と $\boldsymbol{B}$ が進行方向と互いに垂直で、大きさは $E = cB$。エネルギーの流れはポインティングベクトル $\boldsymbol{S} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B}/\mu_0$ で表す。

## 真空中のマクスウェル方程式

### 定理・法則：マクスウェル方程式（SI単位系）

条件：

真空中で、電荷密度 $\rho$ と電流密度 $\boldsymbol{J}$ がすべての電荷と電流を含む。物質中では分極電荷と磁化電流もここに含めるか、$\boldsymbol{D}$ と $\boldsymbol{H}$ を使った形に書き換える。

主張：

$$\begin{aligned} \nabla\cdot\boldsymbol{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0}, & \nabla\cdot\boldsymbol{B} &= 0, \\ \nabla \times \boldsymbol{E} &= -\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}, & \nabla \times \boldsymbol{B} &= \mu_0\boldsymbol{J} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t} \end{aligned}$$

要点：

左上から、ガウスの法則、磁場のガウスの法則、ファラデーの法則、マクスウェル・アンペールの法則である。電荷 $q$ が受ける力 $q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})$ と合わせると古典電磁気学の基本法則がそろう。

### 積分形

- ガウスの法則

  $$\oint_S \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$$

- 磁場のガウスの法則

  $$\oint_S \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S} = 0$$

- ファラデーの法則

  $$\oint_C \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d}{dt}\int_S \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}$$

  $C$ と $S$ は静止しているとする。

- マクスウェル・アンペールの法則

  $$\oint_C \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 I_{\text{貫}} + \mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\int_S \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S}$$

## 変位電流と電荷保存

### 定理・法則：電荷保存の式（連続の式）

条件：

マクスウェル方程式が成り立つ。

主張：

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{J} = 0$$

要点：

マクスウェル・アンペールの法則の発散をとると $\nabla\cdot(\nabla \times \boldsymbol{B}) = 0$ から $\mu_0\nabla\cdot\boldsymbol{J} + \mu_0\varepsilon_0\partial(\nabla\cdot\boldsymbol{E})/\partial t = 0$ となり、ガウスの法則を代入すると出る。変位電流の項がないと、$\nabla\cdot\boldsymbol{J} = 0$ の定常電流しか許されない。

$\varepsilon_0\partial\boldsymbol{E}/\partial t$ を変位電流密度という。充電中のコンデンサーでは、極板の間に伝導電流は流れないが、電場が変わることで導線の電流と同じ大きさの変位電流が流れる。アンペールの法則の経路を縁とする曲面を極板の間に通しても、導線を横切らせても、同じ磁場が得られる。

## 波動方程式と平面電磁波

### 定理・法則：電磁場の波動方程式

条件：

$\rho = 0$、$\boldsymbol{J} = \boldsymbol{0}$ の真空の領域。

主張：

$$\nabla^2\boldsymbol{E} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\boldsymbol{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2\boldsymbol{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\boldsymbol{B}}{\partial t^2}, \qquad c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}$$

要点：

ファラデーの法則の回転をとり、$\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{E}) = \nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{E}) - \nabla^2\boldsymbol{E}$ と $\nabla\cdot\boldsymbol{E} = 0$、マクスウェル・アンペールの法則を使う。屈折率 $n$ の一様な誘電体中では速さが $c/n$ になる。

### 定義：平面電磁波

$z$ 方向に進む直線偏光の平面波は

$$\boldsymbol{E} = E_0\cos(kz - \omega t)\,\boldsymbol{e}_x, \qquad \boldsymbol{B} = \frac{E_0}{c}\cos(kz - \omega t)\,\boldsymbol{e}_y, \qquad \omega = ck$$

で表せる。$\boldsymbol{E}$、$\boldsymbol{B}$、進行方向 $\boldsymbol{e}_z$ は互いに垂直で、この順に右手系をなす（横波）。$\boldsymbol{B} = \frac{1}{c}\boldsymbol{e}_z \times \boldsymbol{E}$ と書ける。

### 電磁場のエネルギーと運動量

- エネルギー密度

  $$u = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2$$

- ポインティングベクトル

  $$\boldsymbol{S} = \frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B}$$

  単位は $\mathrm{W/m^2}$。単位時間に単位面積を通るエネルギー。

- ポインティングの定理

  $$\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{S} = -\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}$$

  右辺は電磁場が電荷にする仕事率の符号を変えたもの。

- 平面波の強度（時間平均）

  $$I = \langle S \rangle = \frac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^2$$

- 放射圧（垂直入射）

  $$p_{\text{吸収}} = \frac{I}{c}, \qquad p_{\text{完全反射}} = \frac{2I}{c}$$

## マクスウェル方程式と電磁波の計算例

### 計算例：$\varepsilon_0$ と $\mu_0$ から光速を求める

$\varepsilon_0 = 8.8541878188 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$、$\mu_0 = 1.25663706127 \times 10^{-6}\ \mathrm{N/A^2}$ から $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ を計算せよ。

解答：

$\varepsilon_0\mu_0 \approx 1.11265 \times 10^{-17}\ \mathrm{s^2/m^2}$ なので

$$c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} \approx 2.99792458 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$$

検算：

SIでは $c = 299792458\ \mathrm{m/s}$ が定義値で、上の値と有効数字の範囲で一致する。単位は $\mathrm{F/m} = \mathrm{C^2/(N\,m^2)}$、$\mathrm{N/A^2} = \mathrm{N\,s^2/C^2}$ の積が $\mathrm{s^2/m^2}$ になる。

### 計算例：平面波がマクスウェル方程式を満たす条件

$\boldsymbol{E} = E_0\cos(kz - \omega t)\boldsymbol{e}_x$、$\boldsymbol{B} = B_0\cos(kz - \omega t)\boldsymbol{e}_y$ が真空中のマクスウェル方程式を満たすための $B_0$ と $\omega$ の条件を求めよ。

解答：

$E_x$ は $x$ に、$B_y$ は $y$ によらないので、両方の発散は零。ファラデーの法則の $y$ 成分は $\partial E_x/\partial z = -\partial B_y/\partial t$ で

$$-kE_0\sin(kz - \omega t) = -\omega B_0\sin(kz - \omega t) \ \Rightarrow \ B_0 = \frac{k}{\omega}E_0$$

マクスウェル・アンペールの法則の $x$ 成分は $-\partial B_y/\partial z = \mu_0\varepsilon_0\partial E_x/\partial t$ で、$kB_0 = \mu_0\varepsilon_0\omega E_0$。2式から $\omega^2 = k^2/(\mu_0\varepsilon_0)$、つまり $\omega = ck$、$B_0 = E_0/c$。

検算：

電場のエネルギー密度 $\frac{1}{2}\varepsilon_0E^2$ と磁場のエネルギー密度 $\frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{E^2}{2\mu_0c^2}$ が等しくなる。

### 計算例：電磁波の強度と磁場の振幅

電場の振幅 $E_0 = 100\ \mathrm{V/m}$ の平面電磁波について、磁束密度の振幅と強度を求めよ。

解答：

$$B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{100}{3.00 \times 10^8} \approx 3.3 \times 10^{-7}\ \mathrm{T}$$

$$I = \frac{1}{2}c\varepsilon_0E_0^2 = \frac{1}{2} \times 3.00 \times 10^8 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 100^2 \approx 13\ \mathrm{W/m^2}$$

検算：

$S = E_0B_0\cos^2(kz - \omega t)/\mu_0$ の1周期平均は $E_0B_0/(2\mu_0) = E_0^2/(2\mu_0c) = \frac{1}{2}c\varepsilon_0E_0^2$ で同じ式になる。単位は $\mathrm{(m/s)(F/m)(V/m)^2} = \mathrm{W/m^2}$。

### 計算例：充電中のコンデンサーの極板間の磁場

半径 $R$ の円形平行板コンデンサーを電流 $I$ で充電している。極板間で中心軸から距離 $r$（$r < R$）の磁束密度を求めよ。端の効果は無視する。

解答：

極板間の電場は $E = q/(\varepsilon_0\pi R^2)$ なので $\partial E/\partial t = I/(\varepsilon_0\pi R^2)$。半径 $r$ の円を経路にとると、伝導電流は貫かず

$$2\pi rB = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\pi r^2 \ \Rightarrow \ B = \frac{\mu_0 Ir}{2\pi R^2}$$

検算：

$r = R$ で $B = \mu_0 I/(2\pi R)$ となり、導線のまわりの磁場と同じ形になる。極板全体の変位電流 $\varepsilon_0\pi R^2\,\partial E/\partial t$ は導線の電流 $I$ に等しい。

## 答案でよくある誤り

1. 電場が時間変化する場面で、変位電流のないアンペールの法則を使う。コンデンサーの充電や電磁波では $\mu_0\varepsilon_0\partial\boldsymbol{E}/\partial t$ を加える。
2. 平面波の磁場の振幅を $E_0$ と同じ値にする。SI単位系では $B_0 = E_0/c$ で、単位も $\mathrm{T}$ と $\mathrm{V/m}$ で異なる。$B = E$ と書けるのはガウス単位系である。
3. 電磁波の強度を $c\varepsilon_0E_0^2$ とする。$\cos^2$ の時間平均 $1/2$ を掛け、$\frac{1}{2}c\varepsilon_0E_0^2$ にする。実効値 $E_{\text{rms}} = E_0/\sqrt{2}$ を使うなら $c\varepsilon_0E_{\text{rms}}^2$。
4. $\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{E}) = -\nabla^2\boldsymbol{E}$ を電荷のある領域でも使う。一般には $\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{E}) - \nabla^2\boldsymbol{E}$ で、$\nabla\cdot\boldsymbol{E} = 0$ のときだけ第1項が消える。
5. $\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B}$ の順序を逆にして、エネルギーの流れる向きを波の進行方向と反対にする。平面波では $\boldsymbol{S}$ が進行方向を向くことで確かめる。

## マクスウェル方程式と電磁波が出た院試の過去問

### [マクスウェル方程式](https://inshihub.com/exam-themes/maxwell-equations)（11大学・36問）

- [九州大学大学院 物理学 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-science/physics/2026#problem-2): 物理学II：同軸ケーブルのポインティング電力と六重極磁場中の粒子運動
- [北海道大学大学院 情報科学専攻 システム情報科学コース 専門科目 2026年度 第6問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/system-information-science/2026#problem-6): 電磁気学
- [東京大学 物理学 2026年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-engineering/applied-physics/2026#problem-4): 異方性媒質と複屈折
- [総合研究大学院大学 専門科目（天文科学コース） 2026年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/sokendai/graduate-institute-for-advanced-studies/astronomical-science/2026#problem-4): 電磁気：平面波のエネルギーと放射圧
- [北海道大学大学院 専門科目（地球惑星科学） 2025年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-science/earth-and-planetary-sciences/2025-winter#problem-5): II-2 電磁気
- [名古屋工業大学 応用物理 2025年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/applied-physics/2025#problem-2): 電磁気学

解答まで無料で読める演習問題:

- [室蘭工業大学大学院 専門科目 2025年度 第9問](https://inshihub.com/exam-solutions/muroran-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/electrical-and-electronic-engineering/2025-second#problem-9): 平面波：横波条件と完全反射
- [東北大学大学院 2群 情報・生命系 基礎・専門科目 2024年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tohoku-university/graduate-school-of-information-sciences/information-and-life-sciences-basic-specialized-subjects/2024-03#problem-1): 中空円筒導体とポインティングベクトル
- [東北大学大学院 基礎・専門科目 2024年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tohoku-university/electrical-information-engineering/basic-and-specialized-subjects/2024-03#problem-1): 中空円筒導体とポインティングベクトル
- [総合研究大学院大学 専門科目（天文科学コース） 2021年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/sokendai/graduate-institute-for-advanced-studies/astronomical-science/2021#problem-4): 電磁気：磁場中の応答テンソルと円偏光

### [電磁波](https://inshihub.com/exam-themes/electromagnetic-wave)（17大学・64問）

- [九州大学大学院 物理学 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-science/physics/2026#problem-3): 物理学III：回転磁場中のラビ振動とトーラス上の荷電粒子
- [九州大学大学院 地球惑星科学専門科目 2026年度 第7問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-science/earth-and-planetary-sciences/2026#problem-7): 電磁気学
- [北海道大学大学院 情報科学専攻 システム情報科学コース 専門科目 2026年度 第6問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/system-information-science/2026#problem-6): 電磁気学
- [北海道大学大学院 情報科学専攻 情報エレクトロニクスコース 専門科目 2026年度 第10問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/information-electronics/2026#problem-10): 光エレクトロニクス
- [大阪大学 物理学 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/osaka-university/graduate-school-of-science/physics/2026#problem-2): 電子ビームと電磁波
- [東京大学 物理学 2026年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-engineering/applied-physics/2026#problem-4): 異方性媒質と複屈折

解答まで無料で読める演習問題:

- [室蘭工業大学大学院 専門科目 2025年度 第9問](https://inshihub.com/exam-solutions/muroran-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/electrical-and-electronic-engineering/2025-second#problem-9): 平面波：横波条件と完全反射
- [東北大学大学院 基礎・専門科目 2025年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tohoku-university/electrical-information-engineering/basic-and-specialized-subjects/2025-08#problem-1): 平面電磁波の反射と透過
- [東北大学大学院 2群 情報・生命系 基礎・専門科目 2025年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tohoku-university/graduate-school-of-information-sciences/information-and-life-sciences-basic-specialized-subjects/2025-08#problem-1): 平面電磁波の反射と透過
- [東京大学 専門科目（物理学） 2017年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/physics/specialized-physics/2017#problem-1): 量子力学：2粒子振動子と急変