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勾配・発散・回転定義・ベクトル恒等式・ポテンシャルの求め方

スカラー場 ff の勾配 ∇f\nabla f は ff が最も速く増える向きと増え方を表すベクトル場で、方向微分は ∇f\nabla f と単位ベクトルの内積で求める。ベクトル場 F\boldsymbol{F} の発散 ∇⋅F\nabla\cdot\boldsymbol{F} は点から湧き出す量の密度、回転 ∇×F\nabla\times\boldsymbol{F} は点のまわりの循環の密度を表す。どれも直交座標では成分の偏微分の組合せで計算し、∇×(∇f)=0\nabla\times(\nabla f) = \boldsymbol{0}、∇⋅(∇×F)=0\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{F}) = 0 が成り立つ。

ベクトル解析 の第1単元（全3単元）。先に読む単元：微分積分・偏微分と極値

院試数学 基礎完成シリーズ 微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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ナブラ演算子と勾配・発散・回転の定義

定義

ナブラ演算子 ∇\nabla

右手系の直交座標 (x,y,z)(x, y, z) で、基本ベクトルを ex,ey,ez\boldsymbol{e}_x, \boldsymbol{e}_y, \boldsymbol{e}_z とする。微分演算子を並べたベクトル

∇=ex∂∂x+ey∂∂y+ez∂∂z\nabla = \boldsymbol{e}_x \frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{e}_y \frac{\partial}{\partial y} + \boldsymbol{e}_z \frac{\partial}{\partial z}

をナブラと呼ぶ。以下、スカラー場 ff とベクトル場 F=(Fx,Fy,Fz)\boldsymbol{F} = (F_x, F_y, F_z) は必要な回数だけ偏微分でき、偏導関数が連続（C1C^1 級または C2C^2 級）とする。

定義

勾配 grad⁡f=∇f\operatorname{grad} f = \nabla f

∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)

単位ベクトル u\boldsymbol{u} の向きの方向微分は Duf=∇f⋅uD_{\boldsymbol{u}} f = \nabla f \cdot \boldsymbol{u} である。

定義

発散 div⁡F=∇⋅F\operatorname{div} \boldsymbol{F} = \nabla \cdot \boldsymbol{F}

∇⋅F=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z\nabla \cdot \boldsymbol{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

値はスカラーである。点を囲む小さな閉曲面から出る流束を体積で割った極限に等しい（ガウスの発散定理から出る）。

定義

回転 rot⁡F=∇×F\operatorname{rot} \boldsymbol{F} = \nabla \times \boldsymbol{F}

∇×F=(∂Fz∂y−∂Fy∂z, ∂Fx∂z−∂Fz∂x, ∂Fy∂x−∂Fx∂y)\nabla \times \boldsymbol{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)

値はベクトルで、curl⁡F\operatorname{curl} \boldsymbol{F} とも書く。単位法線 n\boldsymbol{n} をもつ小さな面の縁での循環を面積で割った極限が (∇×F)⋅n(\nabla\times\boldsymbol{F})\cdot\boldsymbol{n} に等しい（ストークスの定理から出る）。成分は行列式 det⁡(exeyez∂x∂y∂zFxFyFz)\det\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ F_x & F_y & F_z \end{pmatrix} を第1行で形式的に展開すると覚えやすい。

勾配の向きと等位面

定理・法則

勾配と等位面・最大増加方向

条件

ff は点 PP の近くで C1C^1 級で、∇f(P)≠0\nabla f(P) \neq \boldsymbol{0}。

主張

  • ∇f(P)\nabla f(P) は PP を通る等位面 f=f(P)f = f(P) に垂直である。
  • ff の方向微分 Duf(P)D_{\boldsymbol{u}} f(P) は u=∇f(P)/∣∇f(P)∣\boldsymbol{u} = \nabla f(P)/|\nabla f(P)| のとき最大で、最大値は ∣∇f(P)∣|\nabla f(P)|。逆向きで最小値 −∣∇f(P)∣-|\nabla f(P)| をとる。

要点

等位面上の曲線 r(t)\boldsymbol{r}(t) で f(r(t))f(\boldsymbol{r}(t)) は一定なので、微分して ∇f⋅r′(t)=0\nabla f \cdot \boldsymbol{r}'(t) = 0。最大の主張は ∇f⋅u=∣∇f∣cos⁡θ\nabla f\cdot\boldsymbol{u} = |\nabla f|\cos\theta から出る。∇f(P)=0\nabla f(P) = \boldsymbol{0} の点では法線の向きが決まらない。

計算例

勾配と方向微分

f(x,y,z)=x2y+yz3f(x, y, z) = x^2 y + y z^3 について、点 (1,1,1)(1, 1, 1) での勾配、ベクトル (1,2,2)(1, 2, 2) の向きの方向微分、方向微分の最大値を求めよ。

解答

∇f=(2xy, x2+z3, 3yz2)\nabla f = (2xy,\ x^2 + z^3,\ 3yz^2)

なので ∇f(1,1,1)=(2,2,3)\nabla f(1,1,1) = (2, 2, 3)。(1,2,2)(1,2,2) の長さは 33 だから u=13(1,2,2)\boldsymbol{u} = \frac{1}{3}(1, 2, 2) で

Duf=(2,2,3)⋅13(1,2,2)=2+4+63=4D_{\boldsymbol{u}} f = (2, 2, 3) \cdot \tfrac{1}{3}(1, 2, 2) = \frac{2 + 4 + 6}{3} = 4

最大値は ∣∇f∣=4+4+9=17|\nabla f| = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17} で、向きは (2,2,3)(2,2,3)。

検算

4≤17≈4.124 \le \sqrt{17} \approx 4.12 で、最大値を超えていない。また u\boldsymbol{u} を単位ベクトルに直さずに (1,2,2)(1,2,2) のまま内積をとると 1212 になり、長さ 33 の分だけ大きくなる。

ベクトル恒等式

定理・法則

2回作用させると零になる恒等式

条件

ff と F\boldsymbol{F} は C2C^2 級（2階偏導関数が連続）。

主張

∇×(∇f)=0,∇⋅(∇×F)=0\nabla \times (\nabla f) = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F}) = 0

要点

成分で書くと、どちらも ∂2f∂x∂y=∂2f∂y∂x\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} のような偏微分の順序交換で打ち消し合う。順序交換に2階偏導関数の連続性を使うので、C2C^2 級の仮定は省けない。

積の微分と2階の演算

スカラー倍の発散
∇⋅(fF)=∇f⋅F+f ∇⋅F\nabla \cdot (f\boldsymbol{F}) = \nabla f \cdot \boldsymbol{F} + f\, \nabla \cdot \boldsymbol{F}
スカラー倍の回転
∇×(fF)=∇f×F+f ∇×F\nabla \times (f\boldsymbol{F}) = \nabla f \times \boldsymbol{F} + f\, \nabla \times \boldsymbol{F}
外積の発散
∇⋅(A×B)=B⋅(∇×A)−A⋅(∇×B)\nabla \cdot (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = \boldsymbol{B} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{B})
回転の回転
∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) = \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) - \nabla^2 \boldsymbol{A}

∇2A\nabla^2 \boldsymbol{A} は直交座標の各成分にラプラシアンを作用させたもの。電磁波の波動方程式を導くときに使う。

ラプラシアン
∇2f=∇⋅∇f=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2\nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
位置ベクトル r\boldsymbol{r}、r=∣r∣r = |\boldsymbol{r}|
∇⋅r=3,∇×r=0,∇rn=nrn−2r\nabla \cdot \boldsymbol{r} = 3, \quad \nabla \times \boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}, \quad \nabla r^n = n r^{n-2} \boldsymbol{r}

nn は実数で、n<2n < 2 のときは r≠0r \neq 0 で考える。

計算例

発散と回転の計算

F=(xy, yz, zx)\boldsymbol{F} = (xy,\ yz,\ zx) の発散と回転を求めよ。

解答

∇⋅F=∂(xy)∂x+∂(yz)∂y+∂(zx)∂z=y+z+x\nabla \cdot \boldsymbol{F} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} + \frac{\partial (yz)}{\partial y} + \frac{\partial (zx)}{\partial z} = y + z + x
∇×F=(∂(zx)∂y−∂(yz)∂z, ∂(xy)∂z−∂(zx)∂x, ∂(yz)∂x−∂(xy)∂y)=(−y, −z, −x)\nabla \times \boldsymbol{F} = \left( \frac{\partial (zx)}{\partial y} - \frac{\partial (yz)}{\partial z},\ \frac{\partial (xy)}{\partial z} - \frac{\partial (zx)}{\partial x},\ \frac{\partial (yz)}{\partial x} - \frac{\partial (xy)}{\partial y} \right) = (-y,\ -z,\ -x)

検算

∇⋅(∇×F)=∂x(−y)+∂y(−z)+∂z(−x)=0\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F}) = \partial_x(-y) + \partial_y(-z) + \partial_z(-x) = 0 で、恒等式と一致する。

計算例

1/r1/r の勾配とラプラシアン

r=x2+y2+z2r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} とする。r≠0r \neq 0 で ∇(1/r)\nabla (1/r) と ∇2(1/r)\nabla^2 (1/r) を求めよ。

解答

公式 ∇rn=nrn−2r\nabla r^n = n r^{n-2}\boldsymbol{r} で n=−1n = -1 とおくと

∇1r=−rr3\nabla \frac{1}{r} = -\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}

次に ∇⋅(r−3r)=∇r−3⋅r+r−3 ∇⋅r=−3r−5r⋅r+3r−3=0\nabla \cdot (r^{-3}\boldsymbol{r}) = \nabla r^{-3} \cdot \boldsymbol{r} + r^{-3}\, \nabla \cdot \boldsymbol{r} = -3r^{-5}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r} + 3r^{-3} = 0。よって r≠0r \neq 0 で ∇2(1/r)=0\nabla^2 (1/r) = 0。

検算

球対称な関数のラプラシアン ∇2g(r)=g′′(r)+2rg′(r)\nabla^2 g(r) = g''(r) + \dfrac{2}{r} g'(r) に g=1/rg = 1/r を代入しても 2r3−2r3=0\dfrac{2}{r^3} - \dfrac{2}{r^3} = 0。原点では 1/r1/r が定義されず、この結果は使えない（積分定理の例を参照）。

スカラーポテンシャルの存在と求め方

定理・法則

渦なしの場とポテンシャル

条件

F\boldsymbol{F} は領域 DD で C1C^1 級で、DD は単連結（DD 内の閉曲線はどれも DD 内で1点に縮められる）。

主張

DD で ∇×F=0\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0} ならば、F=∇φ\boldsymbol{F} = \nabla \varphi を満たすスカラー場 φ\varphi が存在する。φ\varphi は定数の差を除いて一つに決まる。

要点

φ(P)=∫P0PF⋅dr\varphi(P) = \int_{P_0}^{P} \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r} が経路によらないことをストークスの定理で示す。単連結でない領域では成り立たない。平面の D=R2∖{0}D = \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} で F=(−yx2+y2,xx2+y2)\boldsymbol{F} = \left( \dfrac{-y}{x^2+y^2}, \dfrac{x}{x^2+y^2} \right) は回転が 00 だが、単位円を一周した線積分が 2π2\pi になるので勾配ではない。

計算例

ポテンシャルを求める

F=(2xy+z, x2, x)\boldsymbol{F} = (2xy + z,\ x^2,\ x) が勾配場かを判定し、そうなら F=∇φ\boldsymbol{F} = \nabla \varphi となる φ\varphi を求めよ。

解答

∇×F=(∂yx−∂zx2, ∂z(2xy+z)−∂xx, ∂xx2−∂y(2xy+z))=(0, 1−1, 2x−2x)=0\nabla \times \boldsymbol{F} = \left( \partial_y x - \partial_z x^2,\ \partial_z (2xy+z) - \partial_x x,\ \partial_x x^2 - \partial_y (2xy+z) \right) = (0,\ 1 - 1,\ 2x - 2x) = \boldsymbol{0}

R3\mathbb{R}^3 は単連結なので φ\varphi が存在する。∂xφ=2xy+z\partial_x \varphi = 2xy + z を xx で積分して φ=x2y+xz+g(y,z)\varphi = x^2 y + xz + g(y, z)。∂yφ=x2+∂yg=x2\partial_y \varphi = x^2 + \partial_y g = x^2 から g=h(z)g = h(z)、∂zφ=x+h′(z)=x\partial_z \varphi = x + h'(z) = x から hh は定数。よって φ=x2y+xz+C\varphi = x^2 y + xz + C。

検算

∇(x2y+xz)=(2xy+z, x2, x)\nabla (x^2 y + xz) = (2xy + z,\ x^2,\ x) で元の場に戻る。この φ\varphi を使った線積分の計算は線積分と面積分の例にある。

円柱座標と球座標での形

円柱座標 (ρ,ϕ,z)(\rho, \phi, z) と球座標 (r,θ,ϕ)(r, \theta, \phi)（θ\theta は zz 軸からの角、ϕ\phi は方位角）は直交座標系で、基本ベクトルの向きが点ごとに変わる。そのため成分を直交座標の式にそのまま入れてはいけない。代表的な形は次のとおり。

円柱座標の勾配
∇f=∂f∂ρeρ+1ρ∂f∂ϕeϕ+∂f∂zez\nabla f = \frac{\partial f}{\partial \rho}\boldsymbol{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{e}_\phi + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{e}_z
円柱座標のラプラシアン
∇2f=1ρ∂∂ρ(ρ∂f∂ρ)+1ρ2∂2f∂ϕ2+∂2f∂z2\nabla^2 f = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

zz によらない場合が平面の極座標のラプラシアンである。

球座標の勾配
∇f=∂f∂rer+1r∂f∂θeθ+1rsin⁡θ∂f∂ϕeϕ\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{e}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{e}_\phi
球座標の発散
∇⋅F=1r2∂(r2Fr)∂r+1rsin⁡θ∂(sin⁡θ Fθ)∂θ+1rsin⁡θ∂Fϕ∂ϕ\nabla \cdot \boldsymbol{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial (\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}
球座標のラプラシアン
∇2f=1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂f∂θ)+1r2sin⁡2θ∂2f∂ϕ2\nabla^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}

f=g(r)f = g(r) だけの関数なら ∇2f=g′′+2rg′\nabla^2 f = g'' + \dfrac{2}{r} g'。

答案でよくある誤り

  1. 1

    ∇⋅F\nabla \cdot \boldsymbol{F} をベクトル、∇×F\nabla \times \boldsymbol{F} をスカラーとして書く。発散はスカラー、回転はベクトルである。答えの型を最後に確かめる。

  2. 2

    回転の第2成分の符号を逆にする。第2成分は ∂zFx−∂xFz\partial_z F_x - \partial_x F_z で、行列式で展開すると第2成分にマイナスが付くことに注意する。

  3. 3

    方向微分を ∇f\nabla f と単位ベクトルでないベクトルの内積で計算する。向きを表すベクトルは長さで割ってから内積をとる。

  4. 4

    ∇×F=0\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0} だけから、どの領域でもポテンシャルがあると結論する。領域が単連結かを確かめる。原点を除いた平面の渦の場 (−y,x)/(x2+y2)(-y, x)/(x^2+y^2) が反例である。

  5. 5

    球座標の成分をそのまま足して ∇⋅F=∂rFr+∂θFθ+∂ϕFϕ\nabla\cdot\boldsymbol{F} = \partial_r F_r + \partial_\theta F_\theta + \partial_\phi F_\phi とする。曲線座標では尺度因子 rr、rsin⁡θr\sin\theta が入る公式を使う。

  6. 6

    ∇2(1/r)=0\nabla^2(1/r) = 0 を原点を含む領域でも使う。1/r1/r は原点で定義されず、原点を含む領域での積分には点電荷の寄与 −4π-4\pi が現れる。

ベクトル解析の前後の単元

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院試数学 基礎完成シリーズ 微分積分編

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