# 勾配・発散・回転｜定義・ベクトル恒等式・ポテンシャルの求め方

> 勾配・発散・回転（grad, div, rot）の定義と幾何的な意味、rot grad = 0 などのベクトル恒等式、極座標での形、スカラーポテンシャルの求め方を計算例つきで解説。渦なしでも勾配にならない例も載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16
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スカラー場 $f$ の勾配 $\nabla f$ は $f$ が最も速く増える向きと増え方を表すベクトル場で、方向微分は $\nabla f$ と単位ベクトルの内積で求める。ベクトル場 $\boldsymbol{F}$ の発散 $\nabla\cdot\boldsymbol{F}$ は点から湧き出す量の密度、回転 $\nabla\times\boldsymbol{F}$ は点のまわりの循環の密度を表す。どれも直交座標では成分の偏微分の組合せで計算し、$\nabla\times(\nabla f) = \boldsymbol{0}$、$\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{F}) = 0$ が成り立つ。

## ナブラ演算子と勾配・発散・回転の定義

### 定義：ナブラ演算子 $\nabla$

右手系の直交座標 $(x, y, z)$ で、基本ベクトルを $\boldsymbol{e}_x, \boldsymbol{e}_y, \boldsymbol{e}_z$ とする。微分演算子を並べたベクトル

$$\nabla = \boldsymbol{e}_x \frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{e}_y \frac{\partial}{\partial y} + \boldsymbol{e}_z \frac{\partial}{\partial z}$$

をナブラと呼ぶ。以下、スカラー場 $f$ とベクトル場 $\boldsymbol{F} = (F_x, F_y, F_z)$ は必要な回数だけ偏微分でき、偏導関数が連続（$C^1$ 級または $C^2$ 級）とする。

### 定義：勾配 $\operatorname{grad} f = \nabla f$

$$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$$

単位ベクトル $\boldsymbol{u}$ の向きの方向微分は $D_{\boldsymbol{u}} f = \nabla f \cdot \boldsymbol{u}$ である。

### 定義：発散 $\operatorname{div} \boldsymbol{F} = \nabla \cdot \boldsymbol{F}$

$$\nabla \cdot \boldsymbol{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$

値はスカラーである。点を囲む小さな閉曲面から出る流束を体積で割った極限に等しい（[ガウスの発散定理](https://inshihub.com/basics/vector-analysis/integral-theorems-gauss-stokes)から出る）。

### 定義：回転 $\operatorname{rot} \boldsymbol{F} = \nabla \times \boldsymbol{F}$

$$\nabla \times \boldsymbol{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)$$

値はベクトルで、$\operatorname{curl} \boldsymbol{F}$ とも書く。単位法線 $\boldsymbol{n}$ をもつ小さな面の縁での循環を面積で割った極限が $(\nabla\times\boldsymbol{F})\cdot\boldsymbol{n}$ に等しい（[ストークスの定理](https://inshihub.com/basics/vector-analysis/integral-theorems-gauss-stokes)から出る）。成分は行列式 $\det\begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ F_x & F_y & F_z \end{pmatrix}$ を第1行で形式的に展開すると覚えやすい。

## 勾配の向きと等位面

### 定理・法則：勾配と等位面・最大増加方向

条件：

$f$ は点 $P$ の近くで $C^1$ 級で、$\nabla f(P) \neq \boldsymbol{0}$。

主張：

- $\nabla f(P)$ は $P$ を通る等位面 $f = f(P)$ に垂直である。
- $f$ の方向微分 $D_{\boldsymbol{u}} f(P)$ は $\boldsymbol{u} = \nabla f(P)/|\nabla f(P)|$ のとき最大で、最大値は $|\nabla f(P)|$。逆向きで最小値 $-|\nabla f(P)|$ をとる。

要点：

等位面上の曲線 $\boldsymbol{r}(t)$ で $f(\boldsymbol{r}(t))$ は一定なので、微分して $\nabla f \cdot \boldsymbol{r}'(t) = 0$。最大の主張は $\nabla f\cdot\boldsymbol{u} = |\nabla f|\cos\theta$ から出る。$\nabla f(P) = \boldsymbol{0}$ の点では法線の向きが決まらない。

### 計算例：勾配と方向微分

$f(x, y, z) = x^2 y + y z^3$ について、点 $(1, 1, 1)$ での勾配、ベクトル $(1, 2, 2)$ の向きの方向微分、方向微分の最大値を求めよ。

解答：

$$\nabla f = (2xy,\ x^2 + z^3,\ 3yz^2)$$

なので $\nabla f(1,1,1) = (2, 2, 3)$。$(1,2,2)$ の長さは $3$ だから $\boldsymbol{u} = \frac{1}{3}(1, 2, 2)$ で

$$D_{\boldsymbol{u}} f = (2, 2, 3) \cdot \tfrac{1}{3}(1, 2, 2) = \frac{2 + 4 + 6}{3} = 4$$

最大値は $|\nabla f| = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$ で、向きは $(2,2,3)$。

検算：

$4 \le \sqrt{17} \approx 4.12$ で、最大値を超えていない。また $\boldsymbol{u}$ を単位ベクトルに直さずに $(1,2,2)$ のまま内積をとると $12$ になり、長さ $3$ の分だけ大きくなる。

## ベクトル恒等式

### 定理・法則：2回作用させると零になる恒等式

条件：

$f$ と $\boldsymbol{F}$ は $C^2$ 級（2階偏導関数が連続）。

主張：

$$\nabla \times (\nabla f) = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F}) = 0$$

要点：

成分で書くと、どちらも $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ のような偏微分の順序交換で打ち消し合う。順序交換に2階偏導関数の連続性を使うので、$C^2$ 級の仮定は省けない。

### 積の微分と2階の演算

- スカラー倍の発散

  $$\nabla \cdot (f\boldsymbol{F}) = \nabla f \cdot \boldsymbol{F} + f\, \nabla \cdot \boldsymbol{F}$$

- スカラー倍の回転

  $$\nabla \times (f\boldsymbol{F}) = \nabla f \times \boldsymbol{F} + f\, \nabla \times \boldsymbol{F}$$

- 外積の発散

  $$\nabla \cdot (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = \boldsymbol{B} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{B})$$

- 回転の回転

  $$\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) = \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) - \nabla^2 \boldsymbol{A}$$

  $\nabla^2 \boldsymbol{A}$ は直交座標の各成分にラプラシアンを作用させたもの。電磁波の波動方程式を導くときに使う。

- ラプラシアン

  $$\nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$$

- 位置ベクトル $\boldsymbol{r}$、$r = |\boldsymbol{r}|$

  $$\nabla \cdot \boldsymbol{r} = 3, \quad \nabla \times \boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}, \quad \nabla r^n = n r^{n-2} \boldsymbol{r}$$

  $n$ は実数で、$n < 2$ のときは $r \neq 0$ で考える。

### 計算例：発散と回転の計算

$\boldsymbol{F} = (xy,\ yz,\ zx)$ の発散と回転を求めよ。

解答：

$$\nabla \cdot \boldsymbol{F} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} + \frac{\partial (yz)}{\partial y} + \frac{\partial (zx)}{\partial z} = y + z + x$$

$$\nabla \times \boldsymbol{F} = \left( \frac{\partial (zx)}{\partial y} - \frac{\partial (yz)}{\partial z},\ \frac{\partial (xy)}{\partial z} - \frac{\partial (zx)}{\partial x},\ \frac{\partial (yz)}{\partial x} - \frac{\partial (xy)}{\partial y} \right) = (-y,\ -z,\ -x)$$

検算：

$\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{F}) = \partial_x(-y) + \partial_y(-z) + \partial_z(-x) = 0$ で、恒等式と一致する。

### 計算例：$1/r$ の勾配とラプラシアン

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ とする。$r \neq 0$ で $\nabla (1/r)$ と $\nabla^2 (1/r)$ を求めよ。

解答：

公式 $\nabla r^n = n r^{n-2}\boldsymbol{r}$ で $n = -1$ とおくと

$$\nabla \frac{1}{r} = -\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}$$

次に $\nabla \cdot (r^{-3}\boldsymbol{r}) = \nabla r^{-3} \cdot \boldsymbol{r} + r^{-3}\, \nabla \cdot \boldsymbol{r} = -3r^{-5}\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{r} + 3r^{-3} = 0$。よって $r \neq 0$ で $\nabla^2 (1/r) = 0$。

検算：

球対称な関数のラプラシアン $\nabla^2 g(r) = g''(r) + \dfrac{2}{r} g'(r)$ に $g = 1/r$ を代入しても $\dfrac{2}{r^3} - \dfrac{2}{r^3} = 0$。原点では $1/r$ が定義されず、この結果は使えない（[積分定理](https://inshihub.com/basics/vector-analysis/integral-theorems-gauss-stokes)の例を参照）。

## スカラーポテンシャルの存在と求め方

### 定理・法則：渦なしの場とポテンシャル

条件：

$\boldsymbol{F}$ は領域 $D$ で $C^1$ 級で、$D$ は単連結（$D$ 内の閉曲線はどれも $D$ 内で1点に縮められる）。

主張：

$D$ で $\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$ ならば、$\boldsymbol{F} = \nabla \varphi$ を満たすスカラー場 $\varphi$ が存在する。$\varphi$ は定数の差を除いて一つに決まる。

要点：

$\varphi(P) = \int_{P_0}^{P} \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}$ が経路によらないことをストークスの定理で示す。単連結でない領域では成り立たない。平面の $D = \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ で $\boldsymbol{F} = \left( \dfrac{-y}{x^2+y^2}, \dfrac{x}{x^2+y^2} \right)$ は回転が $0$ だが、単位円を一周した線積分が $2\pi$ になるので勾配ではない。

### 計算例：ポテンシャルを求める

$\boldsymbol{F} = (2xy + z,\ x^2,\ x)$ が勾配場かを判定し、そうなら $\boldsymbol{F} = \nabla \varphi$ となる $\varphi$ を求めよ。

解答：

$$\nabla \times \boldsymbol{F} = \left( \partial_y x - \partial_z x^2,\ \partial_z (2xy+z) - \partial_x x,\ \partial_x x^2 - \partial_y (2xy+z) \right) = (0,\ 1 - 1,\ 2x - 2x) = \boldsymbol{0}$$

$\mathbb{R}^3$ は単連結なので $\varphi$ が存在する。$\partial_x \varphi = 2xy + z$ を $x$ で積分して $\varphi = x^2 y + xz + g(y, z)$。$\partial_y \varphi = x^2 + \partial_y g = x^2$ から $g = h(z)$、$\partial_z \varphi = x + h'(z) = x$ から $h$ は定数。よって $\varphi = x^2 y + xz + C$。

検算：

$\nabla (x^2 y + xz) = (2xy + z,\ x^2,\ x)$ で元の場に戻る。この $\varphi$ を使った線積分の計算は[線積分と面積分](https://inshihub.com/basics/vector-analysis/line-surface-integrals)の例にある。

## 円柱座標と球座標での形

円柱座標 $(\rho, \phi, z)$ と球座標 $(r, \theta, \phi)$（$\theta$ は $z$ 軸からの角、$\phi$ は方位角）は直交座標系で、基本ベクトルの向きが点ごとに変わる。そのため成分を直交座標の式にそのまま入れてはいけない。代表的な形は次のとおり。

- 円柱座標の勾配

  $$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial \rho}\boldsymbol{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{e}_\phi + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{e}_z$$

- 円柱座標のラプラシアン

  $$\nabla^2 f = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$$

  $z$ によらない場合が平面の極座標のラプラシアンである。

- 球座標の勾配

  $$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{e}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{e}_\phi$$

- 球座標の発散

  $$\nabla \cdot \boldsymbol{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial (\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$$

- 球座標のラプラシアン

  $$\nabla^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}$$

  $f = g(r)$ だけの関数なら $\nabla^2 f = g'' + \dfrac{2}{r} g'$。

## 答案でよくある誤り

1. $\nabla \cdot \boldsymbol{F}$ をベクトル、$\nabla \times \boldsymbol{F}$ をスカラーとして書く。発散はスカラー、回転はベクトルである。答えの型を最後に確かめる。
2. 回転の第2成分の符号を逆にする。第2成分は $\partial_z F_x - \partial_x F_z$ で、行列式で展開すると第2成分にマイナスが付くことに注意する。
3. 方向微分を $\nabla f$ と単位ベクトルでないベクトルの内積で計算する。向きを表すベクトルは長さで割ってから内積をとる。
4. $\nabla \times \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}$ だけから、どの領域でもポテンシャルがあると結論する。領域が単連結かを確かめる。原点を除いた平面の渦の場 $(-y, x)/(x^2+y^2)$ が反例である。
5. 球座標の成分をそのまま足して $\nabla\cdot\boldsymbol{F} = \partial_r F_r + \partial_\theta F_\theta + \partial_\phi F_\phi$ とする。曲線座標では尺度因子 $r$、$r\sin\theta$ が入る公式を使う。
6. $\nabla^2(1/r) = 0$ を原点を含む領域でも使う。$1/r$ は原点で定義されず、原点を含む領域での積分には点電荷の寄与 $-4\pi$ が現れる。