# 静電場とガウスの法則｜電場・電位の求め方とコンデンサーの電気容量

> クーロンの法則、電場と電位の定義、ガウスの法則を使える条件と対称性、ポアソン方程式、静電エネルギーをSI単位系で解説。一様に帯電した球、直線電荷、平行板・球形コンデンサーの電気容量の計算例も載せています。

- HTML版（正規URL）: https://inshihub.com/basics/electromagnetism/electrostatics-gauss-law
- 科目: [電磁気学](https://inshihub.com/basics/electromagnetism)（大学基礎課程の数学・物理・化学・生物・情報）
- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [グリーン・ガウス・ストークスの定理](https://inshihub.com/basics/vector-analysis/integral-theorems-gauss-stokes)

静止した電荷がつくる電場 $\boldsymbol{E}$ は、閉曲面を貫く電場の流束がその内部の電荷を $\varepsilon_0$ で割った値に等しいというガウスの法則 $\oint \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} = Q_{\text{内}}/\varepsilon_0$ を満たす。球・円柱・平面の対称性があれば、この式だけで電場の大きさが求まる。電位 $\phi$ は $\boldsymbol{E} = -\nabla\phi$ を満たし、電場を経路に沿って積分して求める。コンデンサーの電気容量は、電荷 $Q$ を置いたときの電位差 $V$ から $C = Q/V$ で決まる。

## クーロンの法則と電場・電位の定義

### 定義：クーロンの法則と電場

真空中で点 $\boldsymbol{r}'$ にある点電荷 $q'$ が、点 $\boldsymbol{r}$ の点電荷 $q$ に及ぼす力は

$$\boldsymbol{F} = \frac{qq'}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|^3}$$

である。$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{E}$ で電場 $\boldsymbol{E}$ を定める。複数の電荷による電場は各電荷の電場の和になり（重ね合わせの原理）、電荷密度 $\rho$ の分布なら $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \rho(\boldsymbol{r}')\frac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|^3}dV'$。単位は $\mathrm{N/C} = \mathrm{V/m}$。

### 定義：電位

静電場は $\nabla \times \boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}$ を満たすので、基準点 O からの線積分

$$\phi(\boldsymbol{r}) = -\int_{\mathrm{O}}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}$$

は経路によらず、$\boldsymbol{E} = -\nabla\phi$ となる。これを電位という。電荷が有限の範囲にあれば無限遠を基準 $\phi(\infty) = 0$ にとり、点電荷の電位は $\phi = q/(4\pi\varepsilon_0 r)$。単位は $\mathrm{V}$。

## ガウスの法則とポアソン方程式

### 定理・法則：ガウスの法則

条件：

真空中の任意の閉曲面 $S$ と、その内部の電荷の総量 $Q_{\text{内}}$。電場が時間変化していても成り立つ。

主張：

$$\oint_S \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}, \qquad \nabla\cdot\boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

要点：

点電荷の電場の流束が閉曲面の形によらず $q/\varepsilon_0$ になることと、重ね合わせから出る。微分形は発散定理で積分形と結ばれる。法則自体はいつでも成り立つが、電場を求めるのに使えるのは、対称性から閉曲面上で $|\boldsymbol{E}|$ が一定で向きが面に垂直（または平行）と分かる場合に限る。

### 定理・法則：ポアソン方程式と解の一意性

条件：

静電場で、領域の境界上の電位（または導体の電荷）が与えられている。

主張：

$$\nabla^2\phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

境界条件を満たす解はただ一つである。$\rho = 0$ の領域ではラプラス方程式 $\nabla^2\phi = 0$ になる。

要点：

一意性があるので、境界条件を満たす解を一つ見つければそれが答えになる。鏡像法はこの性質を使う。接地した無限平面導体から距離 $d$ の点電荷 $q$ の場合、平面の反対側の $d$ の位置に $-q$ を置けば、平面上で $\phi = 0$ になる。

## 静電場の公式

- 点電荷

  $$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \qquad \phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

- 無限に長い直線電荷（線密度 $\lambda$）

  $$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$$

- 無限に広い平面電荷（面密度 $\sigma$）

  $$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

  両側に面から離れる向き（$\sigma > 0$）。導体表面のすぐ外側では $E = \sigma/\varepsilon_0$ で、内部の電場は零。

- 電気双極子（$\boldsymbol{p} = q\boldsymbol{d}$、遠方）

  $$\phi = \frac{\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$$

- 電場のエネルギー密度

  $$u_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$$

- コンデンサー

  $$C = \frac{Q}{V}, \qquad U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2$$

- 平行板コンデンサー（面積 $S$、間隔 $d$）

  $$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$$

  端の効果を無視する（$d \ll \sqrt{S}$）。誘電率 $\varepsilon$ の誘電体を満たすと $\varepsilon S/d$。

## ガウスの法則と電気容量の計算例

### 計算例：一様に帯電した球の電場と電位

半径 $a$ の球に電荷 $Q$ が一様に分布している。中心からの距離 $r$ の電場と、中心の電位を求めよ。

解答：

球対称なので、半径 $r$ の球面をガウス面にとると $4\pi r^2E = Q_{\text{内}}/\varepsilon_0$。$r < a$ では $Q_{\text{内}} = Qr^3/a^3$ なので

$$E = \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 a^3} \ (r < a), \qquad E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \ (r \ge a)$$

中心の電位は無限遠から積分して

$$\phi(0) = \int_a^\infty \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr + \int_0^a \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 a^3}dr = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a} + \frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 a} = \frac{3Q}{8\pi\varepsilon_0 a}$$

検算：

$r = a$ で内外の式が一致する。内側で $\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2E) = \frac{3Q}{4\pi\varepsilon_0 a^3} = \rho/\varepsilon_0$ となり、微分形のガウスの法則を満たす。全静電エネルギー $\int \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2dV$ は $\frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0 a}$ で、$\frac{1}{2}\int \rho\phi\,dV$ と一致する。

### 計算例：無限に長い直線電荷

線密度 $\lambda$ の無限に長い直線電荷から距離 $r$ の電場を求めよ。

解答：

半径 $r$、長さ $l$ の円柱をガウス面にとる。対称性から電場は動径方向で、底面の流束は零。側面だけが寄与して $2\pi rl\,E = \lambda l/\varepsilon_0$、よって $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$。

検算：

クーロンの法則で直接積分すると $E = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\frac{r}{(r^2 + z^2)^{3/2}}dz = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ で一致する。電位は $\phi = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r + \text{定数}$ で、無限遠を基準にとれない。

### 計算例：平行板コンデンサーの電気容量とエネルギー

面積 $S = 1.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m^2}$、間隔 $d = 1.0\ \mathrm{mm}$ の真空の平行板コンデンサーの電気容量を求めよ。また、電荷 $Q$ を与えたときの静電エネルギーを電場のエネルギーから求めよ。

解答：

極板間の電場は $E = Q/(\varepsilon_0 S)$、電位差は $V = Ed = Qd/(\varepsilon_0 S)$。

$$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 1.0 \times 10^{-2}}{1.0 \times 10^{-3}} \approx 8.9 \times 10^{-11}\ \mathrm{F}$$

約 $89\ \mathrm{pF}$ である。エネルギーは $\frac{1}{2}\varepsilon_0E^2 \times Sd = \dfrac{Q^2d}{2\varepsilon_0 S} = \dfrac{Q^2}{2C}$。

検算：

$\varepsilon_0 S/d$ の単位は $(\mathrm{F/m})\cdot\mathrm{m^2}/\mathrm{m} = \mathrm{F}$。電場のエネルギーの体積積分と $Q^2/(2C)$ が一致する。

### 計算例：球形コンデンサー

半径 $a$ の導体球と、それを囲む内半径 $b$ の同心の導体球殻からなるコンデンサーの電気容量を求めよ。

解答：

内球に $Q$、外球殻に $-Q$ を与えると、$a < r < b$ の電場は $Q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$。

$$V = \int_a^b \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right), \qquad C = \frac{4\pi\varepsilon_0 ab}{b - a}$$

検算：

$b \to \infty$ で孤立導体球の $4\pi\varepsilon_0 a$。$b = a + \delta$（$\delta \ll a$）では $C \approx \varepsilon_0 \cdot 4\pi a^2/\delta$ で、面積 $4\pi a^2$、間隔 $\delta$ の平行板の式になる。

## 答案でよくある誤り

1. 対称性のない電荷分布にガウスの法則だけで電場を出す。流束が分かっても $|\boldsymbol{E}|$ が面上で一定とは限らない。対称性がなければクーロンの法則の積分か、ポアソン方程式を解く。
2. ガウス面の内部の電荷に、球全体の電荷 $Q$ を使う。帯電球の内部では、ガウス面の内側にある電荷 $Qr^3/a^3$ だけを数える。
3. 電位を求めるとき、電場の式を一つだけ使って中心から無限遠まで積分する。電場の式が変わる境界で積分を分ける。
4. 無限に長い直線電荷や無限平面で、無限遠を電位の基準にとる。電位が発散するので、有限の点を基準にする。
5. $\varepsilon_0$ と $1/(4\pi\varepsilon_0)$ の位置を取り違える。ガウスの法則は $Q/\varepsilon_0$、クーロンの法則は $1/(4\pi\varepsilon_0)$ で、次元 $\mathrm{F/m} = \mathrm{C^2/(N\,m^2)}$ と合うかを確かめる。

## 静電場とガウスの法則が出た院試の過去問

### [静電場](https://inshihub.com/exam-themes/electrostatics)（18大学・97問）

- [九州大学大学院 物理学 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-science/physics/2026#problem-2): 物理学II：同軸ケーブルのポインティング電力と六重極磁場中の粒子運動
- [九州大学大学院 専門科目 2026年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-information-science-and-electrical-engineering/electrical-and-electronic-engineering-specialized-subjects/2026#problem-4): 電磁気学
- [九州工業大学大学院 専門科目（物理情報工学） 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-institute-of-technology/graduate-school-of-computer-science-and-systems-engineering/physical-informatics-engineering/2026#problem-2): 電磁気学
- [京都大学 地球惑星科学専攻 基礎科目 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/earth-and-planetary-sciences/2026#problem-3): 電磁気学
- [北海道大学大学院 専門科目（地球惑星科学） 2026年度 第6問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-science/earth-and-planetary-sciences/2026-summer#problem-6): II-3 平板コンデンサーと変位電流
- [千葉大学大学院 物理学 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/chiba-university/graduate-school-of-science-and-engineering/physics/2026#problem-2): 電磁気学

解答まで無料で読める演習問題:

- [名古屋工業大学 応用物理 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-institute-of-technology/graduate-school-of-engineering/applied-physics/2026#problem-2): 電磁気学
- [東京大学 専門科目 2025年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-engineering/electrical-engineering-and-information-systems/2025#problem-1): 電磁気学
- [東北大学大学院 2群 情報・生命系 基礎・専門科目 2024年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tohoku-university/graduate-school-of-information-sciences/information-and-life-sciences-basic-specialized-subjects/2024-08#problem-1): 静電界と静電容量
- [東北大学大学院 基礎・専門科目 2024年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tohoku-university/electrical-information-engineering/basic-and-specialized-subjects/2024-08#problem-1): 静電界と静電容量