# グリーン・ガウス・ストークスの定理｜成り立つ条件・向きの決め方・計算例

> グリーンの定理、ガウスの発散定理、ストークスの定理の主張と成り立つ条件（領域・境界の向き・場の滑らかさ）を整理し、両辺を計算して一致を確かめる例を載せます。特異点を含むと成り立たない例と答案の誤りも扱います。

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- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [勾配・発散・回転](https://inshihub.com/basics/vector-analysis/gradient-divergence-curl)、[線積分と面積分](https://inshihub.com/basics/vector-analysis/line-surface-integrals)

グリーンの定理は平面の閉曲線に沿う線積分を内部の2重積分に、ガウスの発散定理は閉曲面を通る流束を内部の $\nabla\cdot\boldsymbol{F}$ の体積積分に、ストークスの定理は曲面の縁に沿う循環を曲面を通る $\nabla\times\boldsymbol{F}$ の流束に書き換える。どれも場が閉じた領域全体（境界を含む）で $C^1$ 級であることと、境界の向きの約束が条件になる。領域の中に場の特異点があると等式は崩れる。

## グリーンの定理

### 定理・法則：グリーンの定理

条件：

$D$ は平面の有界な閉領域で、境界 $\partial D$ は有限個の区分的に滑らかな単純閉曲線からなる。$\partial D$ の向きは、進む向きの左側に $D$ が見える向き（外側の境界は反時計回り、穴の境界は時計回り）。$P, Q$ は $D$ を含む開集合で $C^1$ 級。

主張：

$$\oint_{\partial D} P\, dx + Q\, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\, dy$$

要点：

$D$ が縦線集合・横線集合の場合に、$\iint_D \partial_y P\,dx\,dy$ を $y$ で先に積分して境界の線積分に直し、一般の領域は分割して貼り合わせる。共通の境界上の線積分は逆向きで打ち消し合う。

### グリーンの定理から出る式

- 面積

  $$|D| = \oint_{\partial D} x\, dy = -\oint_{\partial D} y\, dx = \frac{1}{2}\oint_{\partial D} (x\, dy - y\, dx)$$

  $Q = x$、$P = 0$ などとおくと $\partial_x Q - \partial_y P = 1$。

- ベクトル形

  $$\oint_{\partial D} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \iint_D (\nabla\times\boldsymbol{F})\cdot\boldsymbol{e}_z\, dx\, dy$$

  $\boldsymbol{F} = (P, Q, 0)$ とした平面のストークスの定理である。

### 計算例：グリーンの定理で線積分を計算する

単位円 $C$ を反時計回りに一周する $\oint_C (x^2 - y)\, dx + (x + y^2)\, dy$ を求めよ。

解答：

$P = x^2 - y$、$Q = x + y^2$ で $\partial_x Q - \partial_y P = 1 - (-1) = 2$。

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_{x^2+y^2\le 1} 2\, dx\, dy = 2\pi$$

検算：

直接 $x = \cos t$、$y = \sin t$ を代入すると、被積分関数は $-\cos^2 t\sin t + \sin^2 t + \cos^2 t + \sin^2 t\cos t$。$t \in [0, 2\pi]$ で積分すると $\cos^2 t\sin t$ と $\sin^2 t\cos t$ の項は $0$ になり、残りは $\int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi$。

### 計算例：楕円の面積

楕円 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} \le 1$ の面積をグリーンの定理で求めよ。

解答：

境界を $x = a\cos t$、$y = b\sin t$（反時計回り）と表す。$x\,dy - y\,dx = (ab\cos^2 t + ab\sin^2 t)\,dt = ab\,dt$ なので

$$|D| = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} ab\, dt = \pi ab$$

検算：

$a = b$ のとき円の面積 $\pi a^2$ になる。時計回りにパラメータ表示すると $-\pi ab$ が出るので、向きを確かめる。

## ガウスの発散定理

### 定理・法則：ガウスの発散定理

条件：

$V$ は空間の有界な閉領域で、境界 $\partial V$ は区分的に滑らかな閉曲面。$\boldsymbol{n}$ は $\partial V$ の外向き単位法線。$\boldsymbol{F}$ は $V$ を含む開集合で $C^1$ 級。

主張：

$$\iint_{\partial V} \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\, dS = \iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{F}\, dV$$

要点：

直方体では、$x$ 方向に向かい合う2面の流束の差が $\iiint \partial_x F_x\,dV$ に等しいことを微積分の基本定理で示し、3方向を足す。一般の領域は細かく分けて貼り合わせる。

### 計算例：両辺を計算して一致を確かめる

$\boldsymbol{F} = (x^3,\ y^3,\ z^3)$ について、原点中心・半径 $a$ の球面を外向きに通る流束を求めよ。

解答：

$\nabla\cdot\boldsymbol{F} = 3(x^2 + y^2 + z^2) = 3r^2$。発散定理と球座標 $dV = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$ から

$$\iiint_V 3r^2\, dV = 3\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^a r^4\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi = 3\cdot\frac{a^5}{5}\cdot 2\cdot 2\pi = \frac{12\pi a^5}{5}$$

検算：

面積分の側で計算すると、球面上で $\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n} = (x^4 + y^4 + z^4)/a$。球面上の平均 $\langle x^4 \rangle = a^4/5$ を使うと $\frac{3a^4/5}{a}\cdot 4\pi a^2 = \frac{12\pi a^5}{5}$ で一致する。次元は $[\boldsymbol{F}][\text{面積}] = L^3 \cdot L^2 = L^5$ で合う。

### 計算例：特異点があると成り立たない例

$\boldsymbol{F} = \boldsymbol{r}/r^3$ が原点中心・半径 $a$ の球面を外向きに通る流束を求め、発散定理と比べよ。

解答：

球面上で $\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n} = \dfrac{\boldsymbol{r}}{a^3}\cdot\dfrac{\boldsymbol{r}}{a} = \dfrac{1}{a^2}$ なので

$$\iint_S \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\, dS = \frac{1}{a^2}\cdot 4\pi a^2 = 4\pi$$

一方、$r \neq 0$ では $\nabla\cdot\boldsymbol{F} = 0$ である。$\boldsymbol{F}$ は原点で定義されず、$C^1$ 級の条件を満たさないので発散定理は使えない。原点を含まない領域（たとえば $a \le r \le b$ の球殻）では発散定理が成り立ち、内外の球面の流束はどちらも $4\pi$ で差が $0$ になる。

検算：

値は $a$ によらない。これは点電荷のつくる電場のガウスの法則と同じ形で、原点を囲む任意の閉曲面で流束が $4\pi$ になる。

## ストークスの定理

### 定理・法則：ストークスの定理

条件：

$S$ は向きのついた区分的に滑らかな曲面で、縁 $\partial S$ は区分的に滑らかな閉曲線。$\partial S$ の向きは、単位法線 $\boldsymbol{n}$ の側に頭を置いて縁を進むと $S$ が左に見える向き（右ねじの規則）。$\boldsymbol{F}$ は $S$ を含む開集合で $C^1$ 級。

主張：

$$\oint_{\partial S} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \iint_S (\nabla\times\boldsymbol{F})\cdot\boldsymbol{n}\, dS$$

要点：

曲面をパラメータ表示してパラメータ平面のグリーンの定理に帰着させる。同じ縁をもつ2つの曲面では右辺が等しくなるので、計算しやすい曲面（平面の円板など）に取り替えられる。メビウスの帯のように向きを決められない曲面では成り立たない。

### 計算例：半球面での確認

$\boldsymbol{F} = (z,\ x,\ y)$ と、上半球面 $S: x^2 + y^2 + z^2 = 1,\ z \ge 0$（法線は外向き）について、ストークスの定理の両辺を計算せよ。

解答：

$\nabla\times\boldsymbol{F} = (\partial_y y - \partial_z x,\ \partial_z z - \partial_x y,\ \partial_x x - \partial_y z) = (1, 1, 1)$。

縁は $xy$ 平面の単位円で、外向き法線（上向き）に対して反時計回り。$\boldsymbol{r}(t) = (\cos t, \sin t, 0)$ とおくと $\boldsymbol{F} = (0, \cos t, \sin t)$、$\boldsymbol{r}' = (-\sin t, \cos t, 0)$ で

$$\oint_{\partial S}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_0^{2\pi}\cos^2 t\, dt = \pi$$

右辺は球面の外向き法線 $\boldsymbol{n} = (x, y, z)$ を使って $\iint_S (x + y + z)\,dS$。$x$、$y$ の項は対称性で $0$、$\iint_S z\,dS = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\,d\phi = \pi$。両辺とも $\pi$。

検算：

同じ縁をもつ円板 $x^2 + y^2 \le 1$、$z = 0$（法線 $\boldsymbol{e}_z$）に取り替えると、$(1,1,1)\cdot\boldsymbol{e}_z = 1$ を面積 $\pi$ の円板で積分して $\pi$。

## 3つの定理の対応と使い分け

3つの定理は、領域の内部での微分（$\nabla\cdot$ や $\nabla\times$）の積分が、境界での値の積分に等しいという同じ形をしている。1次元の $\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$ を高い次元に広げたものとみなせる。

- グリーン（平面）

  $$\oint_{\partial D} (P\,dx + Q\,dy) = \iint_D (Q_x - P_y)\, dx\, dy$$

  境界は $D$ を左に見る向き。

- ガウス（空間の領域）

  $$\iint_{\partial V} \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}\, dS = \iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{F}\, dV$$

  $\boldsymbol{n}$ は外向き。

- ストークス（空間の曲面）

  $$\oint_{\partial S} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \iint_S (\nabla\times\boldsymbol{F})\cdot\boldsymbol{n}\, dS$$

  $\boldsymbol{n}$ と縁の向きは右ねじの関係。

- グリーンの第1恒等式

  $$\iiint_V (f\nabla^2 g + \nabla f\cdot\nabla g)\, dV = \iint_{\partial V} f \frac{\partial g}{\partial n}\, dS$$

  発散定理を $\boldsymbol{F} = f\nabla g$ に使う。$f, g$ は $C^2$ 級。$\partial g/\partial n = \nabla g\cdot\boldsymbol{n}$。

閉曲面の流束で被積分関数が複雑なら、発散が簡単かを先に見る。曲面が閉じていなければ、平面の蓋を足して閉曲面にし、蓋の流束を引く。循環を求める問題では、回転が簡単ならストークスの定理で縁を張る平らな面に取り替える。電磁気では、これらの定理で[ガウスの法則](https://inshihub.com/basics/electromagnetism/electrostatics-gauss-law)や[マクスウェル方程式](https://inshihub.com/basics/electromagnetism/maxwell-equations-waves)の積分形と微分形を行き来する。

## 答案でよくある誤り

1. 場の特異点を含む領域で定理を使う。$\boldsymbol{r}/r^3$ の原点や、平面の渦の場 $(-y, x)/(x^2 + y^2)$ の原点を含む領域では等式が崩れる。特異点を小さな球や円で囲んで除き、その境界の寄与を別に計算する。
2. 開いた曲面に発散定理を使う。発散定理は閉曲面にだけ使える。開いた曲面なら蓋を足して閉じ、蓋の流束を差し引く。
3. ストークスの定理で縁の向きと法線の向きを独立に決める。法線を上向きにしたら、上から見て縁は反時計回りにとる。
4. 穴のある領域のグリーンの定理で、内側の境界も反時計回りにとる。内側の境界は時計回り（領域を左に見る向き）で、外側の線積分から内側の反時計回りの線積分を引く形になる。
5. 発散定理の右辺で $\nabla\cdot\boldsymbol{F}$ の代わりに $|\boldsymbol{F}|$ や $\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}$ を体積積分する。体積側では発散（スカラー）を積分し、面側でだけ法線成分を使う。