京大 情報学研究科 システム科学コース 2025年度 院試 解答例・解説

回転行列は角度を足す

この型の行列は通常の回転行列とは符号の置き方が逆だが，積で角度が加わる点は同じである。したがって，複数の行列積を一つの $A(\cdot)$ にまとめるのが最短である。

同時対角化の見方

行列が互いに可換であることだけでは，常に同時対角化できるとは限らない。ここでは，すべての $A(\alpha)$ に共通する二つの固有ベクトルを具体的に与えることで，同時対角化を直接示している。

ノルムは回転では変わらない

漸化式では回転の部分とスカラー倍の部分を分ける。回転はノルムを保存し，$\theta^t$ だけが大きさを変えるため，極限は $\theta$ と初期値のみによって決まる。

階数と単射・全射

線形写像の単射性は核で，全射性は階数で判定する。定義域が3次元，終域が4次元の一つ目では，階数が3でも終域全体には届かない点に注意する。

正規直交基底間の変換

正規直交基底を列に並べた行列 $E,F$ は直交行列である。したがって同じベクトルの $F$-座標は $F^{\mathsf T}$ を掛けて得られる。基底 $E$ の座標から $F$ の座標へ移す行列が $F^{\mathsf T}E$ になる理由はこの関係にある。

極角が2周している

積分領域の $t$ は $0\le t<4\pi$ である。これは通常の極座標表示を2回数えるので，ヤコビアンを使うだけでなく，重複度2を忘れないことが重要である。

反復対数の積分

反復対数型の積分では，指数を反復して作った区間で分けると，各区間の寄与が一定になる。有限積になることと，その逆数の積分が収束することは別問題であり，ここでは後者は発散する。

対数微分が有効

$x^x$ を含む関数は直接微分してもよいが，正値関数なので対数をとると計算が短くなる。極値の種類は $\log f$ の増減で判定できる。

級数近似の代入点

$\log2$ を与えられた関数で表すには，分数式が2になる $x$ を選ぶ。$x=-1/3$ は原点に近く，Maclaurin展開による近似に適している。

三角関数の制約

積の最大化では，正の内部解を探すために対数をとる。境界の確認を書いておくと，内部の停留点が局所解にとどまらず最大値であることが明確になる。

指数関数に直す

$\tanh z$ の方程式は，$e^{2z}$ についての一次方程式にするのが最も確実である。負の実数の対数をとるため，偏角に $(2k+1)\pi$ が現れる。

正則性は点ではなく領域で見る

Cauchy-Riemann方程式が一点で成り立つことと，開領域で正則であることは別である。ここでは $x=0$ という直線上でしか第一条件が成り立たないため，正則な領域は作れない。

偶数次だけの指数級数

$\sum z^{2n}/(2n)!$ は $\cosh z$ である。指数関数由来の整関数なので，収束半径は無限大である。

極は分母の零点から出る

$\cosh w=0$ は $w=i\pi(k+1/2)$ である。今回は $w=\pi z$ なので，極は虚軸上の半整数倍の点に並ぶ。矩形内にあるものだけを数える。

上辺の向きに注意

上辺は右から左へ進むため，単に $e^{4\pi\xi}$ 倍するだけでなく，向きによるマイナスが付く。この符号を落とすと最終式が逆になる。

矩形積分の整理

閉曲線積分を下辺，上辺，垂直辺に分ける。垂直辺が消えるという条件のもとで，下辺の実軸積分だけが残り，留数和からFourier変換型の公式が得られる。

逆数変換では不等号が反転する

$X$ は正なので，$1/X\le y$ は $X\ge1/y$ に変わる。ここで $1-F_X(1/y)$ になる点が最も間違いやすい。

最大値は累積分布を累乗する

独立同分布の最大値では，すべてが $z$ 以下である確率を取る。したがって $F_X(z)^n$ となる。

ピボットを作る

$n(s/Z)^\alpha$ は未知パラメータ $s$ を含むが，その分布は $s$ に依存しない。このような量を作ると，信頼区間を機械的に導ける。

共役性

ポアソン分布の尤度は $e^{-nx}x^{\sum y_i}$ の形を持つ。ガンマ分布の密度に掛けると，形状パラメータに観測和が足され，率パラメータに観測数が足される。

予測分布

最後の確率は，ポアソン分布を事後ガンマ分布で混合したものである。結果は負の二項分布型になり，積分ではガンマ関数 $\int_0^\infty x^{r-1}e^{-\lambda x}\,dx=\Gamma(r)/\lambda^r$ を使う。

ラプラス変換で消去する

二つの微分方程式は，補助変数 $z$ を消去して $Y/U$ を求める。初期値0の伝達関数では，微分は単に $s$ 倍として扱える。

速度フィードバックの寄与

図の $as$ の経路は，プラント入力に対して負帰還で入る。共通分母に直すと $2as^2$ が現れ，これが3次特性方程式の $s^2$ 係数になる。

定常偏差

ランプ入力では $R(s)=1/s^2$ なので，偏差を求めるときに $(1-G)/s$ の極限を計算する。安定性が仮定されているため，最終値定理が使える。

図2(a)は内部モデル制御の形

$Q=P$ と置ければ，外側に戻す信号 $w=y-Qu$ が理想的に0になる。そのため $F=1/P$ が実現できるなら閉ループは1になる。

むだ時間の逆は実現できない

$e^{-Ls}$ の逆は $e^{Ls}$ であり，これは信号を $L$ 秒だけ先に進める作用を持つ。未来値が必要なため，通常の因果的制御器としては実現できない。

PIDへの変形

$C=F/(1-FQ)$ に指定された $F,Q$ を代入すると，分母の $(As+1)$ が消え，比例項，積分項，微分項の和になる。標準形と係数を対応させれば，比例ゲイン，積分時間，微分時間が読める。

左半平面の根を選ぶ

Butterworth特性は振幅二乗を指定するため，安定な伝達関数を作るには対応する根のうち左半平面のものだけを $H(s)$ の極として採用する。

直流利得で分子を決める

全極型なので，分子は定数である。分母に $s=0$ を代入した値に合わせて分子を選べば，直流利得が1になる。

中心切片定理

設問(1)と(2)は，投影の1次元Fourier変換が，元画像の2次元Fourier変換の原点を通る直線上の値に等しいことを示している。これはCT再構成などで使われる中心切片定理である。

正方形の変換は分離する

正方形領域は $x$ と $y$ の積の形に分離できるため，2次元Fourier変換も1次元の矩形関数の変換の積になる。

45度射影の形

$\theta=\pi/4$ では，正方形を対角方向に投影するため，投影関数は三角形になる。そのFourier変換が $\operatorname{sinc}$ 型の二乗になることは，設問(2)の結果と一致する。