京大 情報学研究科 システム科学コース 2024年度 院試 解答例・解説

ブロック下三角行列を見る

右上ブロックが零であるため，固有値は対角ブロックだけで決まる。冪零行列では固有値がすべて $0$ であることを使う。

Cayley--Hamiltonで十分性を示す

5次正方行列の特性多項式が $\lambda^5$ なら，Cayley--Hamiltonの定理から $A^5=0$ が直ちに従う。

部分空間は零ベクトルを含む

$x_1+\cdots+x_{10}=c$ は一般にはアフィン超平面である。線形部分空間になるのは，原点を通る $c=0$ の場合だけである。

4次歪対称行列は平方になる

4次歪対称行列の行列式はPfaffianの二乗である。ここでは展開しても同じ式 $(af-be+cd)^2$ が得られる。

奇数次では符号が反転する

$\det(-D)=(-1)^n\det D$ であり，奇数次ではこれが $-\det D$ になる。転置で行列式が変わらないことと合わせる。

$x\log x$ は左端で0へ近づく

$x\to+0$ では $\log x\to-\infty$ だが，$x\log x\to0$ である。このため $-1/e<y<0$ では二つの正の解を持つ。

逆関数の積分公式

$\int f^{-1}(y)\,dy=xy-\int f(x)\,dx$ は，面積の補完関係から導ける。ここでは $y=x\log x$ を最後に代入する。

数列は一度負になってから単調に0へ近づく

$\sqrt e>1.5$ を使うと $a_2<0$ が分かる。負の領域では $a_{n+1}<0$ かつ $a_{n+1}>a_n$ となるため，単調収束で処理できる。

楕円の距離は $\cos\theta$ の二次関数

距離そのものではなく距離の二乗を最大化する。$b/a$ の大きさにより，頂点が $[-1,1]$ に入るかどうかが変わる。

超平面の距離は正射影

原点から超平面へ下ろした垂線は法線ベクトル $c$ の方向を向く。Cauchy--Schwarzで下限を出し，その下限を達成する点を与える。

楕円領域は円板へ移す

指数係数付きの楕円は，座標を $e^{p/2},e^{q/2}$ で伸縮すれば円板になる。積分値は円板上の放物面体積にヤコビアンを掛けたものになる。

多価対数では代数法則に注意する

$\log(i^2)$ と $2\log i$ は，多価関数としては一致しない。後者は前者の枝を一つおきに拾う形になる。

絶対値が枝に依存するかを見る

$i^c$ の値そのものが一価でなくても，絶対値だけが一価になる場合がある。枝番号 $k$ への依存は $\operatorname{Im}c$ だけで決まる。

単調性で三角不等式をまとめる

$\sin\theta/\theta$ が $(0,\pi/2]$ で単調減少することを示せば，両端の値から不等式が一度に出る。

回転で振動積分を減衰積分に変える

$z=e^{i\pi/4}t$ とすると $z^2=it^2$ になる。これにより $e^{-x^2}$ の積分と $e^{-it^2}$ の積分が結びつく。

分散最小の重みは逆分散重み付き最小二乗

正規分布で分散が $g(x_i)$ と異なるため，重みは $x_i/g(x_i)$ に比例する。最尤推定量も同じ形になる。

設計点は情報量を最大化する

各観測点が加える情報量は $x_i^2/g(x_i)$ である。区間内でこれを最大化する点をすべて選べばよい。

Pareto分布の対数は指数分布

$\log(X/b)$ とおくと下端 $b$ が消え，率 $\alpha$ の指数分布になる。

$g^\alpha$ の正規化という読み方

$f=g^\alpha/\int g^\alpha$ なので，$g$ は $f^{1/\alpha}$ に比例する。最後に $g$ 自身を確率密度として正規化する。

KLとRenyi型エントロピー

$\log f=\alpha\log g-\log Z$ を積分に代入すると，$H$ と $R$ だけで整理できる。

閉ループは $L/(1+L)$

図では誤差 $r-y$ から $KP+F$ の二つの経路が並列に出力へ入る。外乱は出力直前で加算されるため，$r$ からは $L/(1+L)$，$d$ からは $1/(1+L)$ になる。

右半平面極は $\Delta(-s)$ で判定する

$\Delta(s)$ の極をすべて右半平面へ置くことは，$\Delta(-s)$ をHurwitz安定にすることと同じである。係数の正性だけで矛盾が出る。

ゲイン余裕を増やすにはゲインを下げる

位相交差周波数でのゲインがより低くなれば，0 dBまでの余裕が大きくなる。したがって $10\,\mathrm{dB}$ 増やす操作は $K_P$ を $10\,\mathrm{dB}$ 下げる操作である。

I-PDの効果は設定値応答に出る

外乱応答ではPIDと同じ一巡伝達関数になる。一方，設定値変化に対しては比例・微分動作が直接効かないため，操作量の急変を抑える効果がある。

支持区間は $[-\,\Omega,\Omega]$

$\operatorname{rect}(\omega/(2\Omega))$ は $|\omega|<\Omega$ で1である。ここを $[-2\Omega,2\Omega]$ と取り違えない。

直交性は周波数領域で見る

畳み込みは周波数領域で積になる。最後に $\tau=\pi/\Omega$ を使うと，指数関数の積分が $\sin((m-n)\pi)$ を含むため $0$ になる。

間引きは偶数番目を取り出す

$X(z)$ と $X(-z)$ を足すと奇数番目の項が消え，偶数番目だけが残る。これが2分の1を掛ける理由である。

フィルタと間引きの交換条件

下段では $G(z)$ と $G(-z)$ がそれぞれ $X(z)$，$X(-z)$ に掛かる。上段ではどちらにも同じ $H(z^2)$ が掛かるため，係数比較で条件が出る。