京大 情報学研究科 システム科学コース 2023年度 院試 解答例・解説

一意性は係数行列の正則性で判定する

$\det M\ne0$ なので連立方程式はただ一つの解を持つ。求めるのは $x_3$ だけだが，一意性の確認も答案に必要である。

固有値の和はトレース

固有値を個別に求める必要はない。対角和だけで条件が決まり，非対角成分の $y$ には制約が出ない。

平方完成された形を見る

行列式が $-(s-t)^2$ になるため，上から $0$ で押さえられる。

2次正方行列の冪零性を使う

$B^4=0$ から $B$ は冪零である。2次正方行列ではCayley--Hamiltonにより $B^2=0$ まで落ちるので，非零のJordan型冪零行列を平方として作ることはできない。

直交補空間の構造を先に決める

$V_2$ が $c$ で張られる1次元空間なので，$V_1$ は $c^\perp$ である。射影行列は $cc^\mathsf{T}/(c^\mathsf{T}c)$ から直ちに得られる。

最短点は正射影

点 $x$ から $V_1$ への最短点は $Px$ である。今回は $c^\mathsf{T}x=0$ のため，$x$ 自身がすでに $V_1$ 上にある。

正の関数は対数で最大化する

$x^{-m}a^{-1/x}$ は正なので，対数を取って微分すると臨界点が一つだけ出る。

アステロイドの接線公式

$x=a\cos^3\theta,\ y=b\sin^3\theta$ に対する接線は $x/(a\cos\theta)+y/(b\sin\theta)=1$ である。切片の積を最大化すればよい。

振動項は絶対値で押さえる

$\sin(1/x)$ は収束しないが，係数 $(1-\cos x)/x$ が $0$ に収束するため全体の極限は $0$ になる。

多層合成はヤコビアンの積

$U^{(\ell)}$ は1層分のヤコビアンであり，$V^{(\ell)}$ は後続層のヤコビアンを掛けたものになる。行列要素で書くと，最後の設問は標準的な逆伝播の形で表される。

等比和に1を足す

$\sum_{n=1}^5z^n=-1$ は $1+z+\cdots+z^5=0$ と見れば，6乗根の問題になる。

微分係数の定義から導く

高階Cauchy公式をそのまま引用せず，$f(a+h)-f(a)$ を積分表示して差商の極限を取ればよい。

中心をずらして単純極を見る

$z=1$ 中心では $w=z-1$ と置くと，主部が $e/w$ だけであることがすぐ分かる。

原点中心では領域に注意する

$|z|<1$ では特異点 $z=1$ を含まないので正則なTaylor展開になる。負冪係数はすべて $0$ である。

境界をまたぐ個数は差で取る

$|z|<2$ の個数から $|z|<1$ の個数を引く。Roucheの不等式が境界上で厳密なので，境界 $|z|=1$ 上の零点も排除できる。

単一観測のPoisson MLE

Poisson分布では対数尤度 $Y\log\lambda-\lambda$ の最大点が観測値 $Y$ になる。$Y=0$ の境界だけ，開区間条件に注意する。

重み付き最小二乗はCauchyで最適化

推定量はどの正の重みでも不偏であるため，MSE最小化は分散最小化になる。最適重みは分散が平均に比例するPoisson構造を反映して $1/x_i$ に比例する。

確率積分変換

連続分布の確率変数を自身の分布関数へ代入すると一様分布になる。コピュラはこの一様化した変数の同時分布である。

密度は連鎖律で出す

$F(x,y)=C(F_X(x),F_Y(y))$ を2変数で微分すれば，周辺密度とコピュラ密度の積に分解される。

中間信号を置いて連立する

複雑なブロック線図は，加算点の出力に変数を置くと代数方程式として処理できる。

3次Hurwitz条件

$s^3+\alpha s^2+\beta s+\gamma$ がHurwitz安定であるための条件は $\alpha>0,\beta>0,\gamma>0,\alpha\beta>\gamma$ である。

零点と極の折点

$0<a<1$ なので，折点は原点極，$\omega=a$ の零点，$\omega=1$ の極の順に現れる。

同じゲインは全域通過因子で作れる

$(s-c)/(s+c)$ は虚軸上で絶対値が1であり，ゲインを変えずに位相だけを変えるために使える。

半波整流された正弦波の級数

$\sin x$ が負側だけ残る形なので，定数項と偶数次の余弦係数，さらに $b_1$ だけが残る。

線形位相は時間遅延

周波数領域の因子 $e^{-ih\omega}$ は時間領域で $h$ だけの遅延を表す。追加の $e^{-ik}$ は全体位相であり，絶対値には影響しない。

巡回行列はFourier基底で対角化される

添字を $n$ を法として読めば，$Cv_k$ の和は $v_k$ 自身にスカラーを掛けた形へ変形できる。

時間領域の巡回畳み込みは周波数領域の積

$F^{-1}CF$ が対角行列になるため，$F^{-1}Cd$ の各成分は対応するFourier係数どうしの積になる。