ラグランジュの未定乗数法条件付き極値・成り立つ条件・計算例

曲線上では $x^3 = y^2 \ge 0$ なので $x \ge 0$ で、$f$ は原点で最小値 $0$ をとる。しかし $\nabla f = (1, 0)$、$\nabla g(0, 0) = (-3x^2, 2y) = (0, 0)$ で、$\nabla f = \lambda \nabla g$ を満たす $\lambda$ はない。連立方程式を解くだけではこの点が出てこない。

連立方程式 $1 = -3\lambda x^2$、$0 = 2\lambda y$、$y^2 = x^3$ は、$\lambda \neq 0$ から $y = 0$、$x = 0$ となり $1 = 0$ で矛盾し、解をもたない。答案では $\nabla g = \boldsymbol{0}$ となる $S$ 上の点を別に調べる。

$g = x^2 + y^2 - 1$、$\nabla g = (2x, 2y)$ は円周上で零にならない。$1 = 2\lambda x$、$1 = 2\lambda y$ から $x = y$、$2x^2 = 1$ で $x = y = \pm 1/\sqrt{2}$。円周は有界閉集合なので、最大値は $\sqrt{2}$、最小値は $-\sqrt{2}$。

$x = \cos t$、$y = \sin t$ とおくと $f = \sqrt{2}\sin(t + \pi/4)$ で、範囲は $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$。コーシー・シュワルツの不等式 $|x + y| \le \sqrt{2}\sqrt{x^2 + y^2}$ からも同じ結果になる。

$\nabla f = \lambda \nabla g$ は $2x = \lambda(2x + y)$、$2y = \lambda(x + 2y)$。辺々の差と和をとると $(x - y)(2 - \lambda) = 0$ と $(x + y)(2 - 3\lambda) = 0$。

• $x = y$ のとき $3x^2 = 3$ で $(\pm 1, \pm 1)$、$f = 2$（$\lambda = 2/3$）。
• $x = -y$ のとき $x^2 = 3$ で $(\pm\sqrt{3}, \mp\sqrt{3})$、$f = 6$（$\lambda = 2$）。

$x = y$ と $x = -y$ が同時に成り立つのは原点だけで、原点は制約を満たさない。$\nabla g = \boldsymbol{0}$ も原点だけなので、追加の候補はない。楕円は有界閉集合だから、最大値 $6$、最小値 $2$。

制約は2次形式 $\boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x} = 3$、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix}$ で、$A$ の固有値は $3/2$ と $1/2$。$f$ の最小値・最大値は $3/(3/2) = 2$ と $3/(1/2) = 6$ で一致する（固有値と固有ベクトル）。

$f = x^2 + y^2 + z^2$、$g = x + 2y + 2z - 9$ とする。$(2x, 2y, 2z) = \lambda(1, 2, 2)$ から $(x, y, z) = (\lambda/2, \lambda, \lambda)$。制約に代入して $\lambda/2 + 4\lambda = 9$、$\lambda = 2$。点は $(1, 2, 2)$ で距離は $3$。平面は有界でないが、遠ざかると $f \to \infty$ なので最小値は存在し、ただ1つの候補で達成される。

点と平面の距離の公式 $|0 + 0 + 0 - 9|/\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 9/3 = 3$ と一致する。$(1, 2, 2)$ は平面の法線ベクトル $(1, 2, 2)$ の方向にある。