# ラグランジュの未定乗数法｜条件付き極値・成り立つ条件・計算例

> ラグランジュの未定乗数法の主張と成り立つ条件（制約の勾配が零でないこと）、解の候補から最大値・最小値を決める手順、縁付きヘッセ行列による判定を解説。円・楕円・平面上の計算例と典型的な誤りも載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [偏微分と極値](https://inshihub.com/basics/calculus/partial-derivatives-extrema)

制約 $g(x, y) = 0$ のもとで $f(x, y)$ の極値をとる点では、$\nabla g \neq \boldsymbol{0}$ なら $\nabla f = \lambda \nabla g$ となる定数 $\lambda$ がある。この $\lambda$ を未定乗数という。方程式 $f_x = \lambda g_x$、$f_y = \lambda g_y$、$g = 0$ を連立して極値の候補を求め、制約集合が有界閉集合なら候補の値を比べて最大値・最小値を決める。この条件は必要条件なので、候補が極値かどうかは別に確かめる。

## 条件付き極値とラグランジュ関数

### 定義：条件付き極値

集合 $S = \{(x, y) \mid g(x, y) = 0\}$ 上に限って $f$ の値を比べたとき、点 $P \in S$ のある近くの $S$ の点 $Q$ すべてで $f(Q) \le f(P)$ となるなら、$f$ は $P$ で条件 $g = 0$ のもとでの極大値をとるという。極小も同様である。

### 定義：ラグランジュ関数

$$L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)$$

をラグランジュ関数という。$L_x = L_y = L_\lambda = 0$ は $\nabla f = \lambda \nabla g$ と $g = 0$ を合わせた連立方程式になる。$\lambda$ の前の符号を $+$ にする流儀もあり、その場合は $\lambda$ の符号が逆になるだけで候補の点は同じである。このページでは $f - \lambda g$ を使う。

図形的には、$f$ の等高線 $f = c$ が曲線 $g = 0$ に接する点が候補になる。接する点では2つの曲線の法線ベクトル $\nabla f$ と $\nabla g$ が平行なので、$\nabla f = \lambda \nabla g$ と書ける。

## 未定乗数法が成り立つ条件

### 定理・法則：ラグランジュの未定乗数法

条件：

$f, g$ は点 $P$ の近くで $C^1$ 級。$f$ は条件 $g = 0$ のもとで $P$ において極値をとり、$\nabla g(P) \neq \boldsymbol{0}$。

主張：

$$\nabla f(P) = \lambda \nabla g(P)$$

となる実数 $\lambda$ が存在する。

要点：

$\nabla g(P) \neq \boldsymbol{0}$ なら陰関数定理で $S$ を $P$ の近くで1変数のなめらかな曲線として表せ、その上で1変数の極値条件を書くと結論になる。$n$ 変数・$m$ 個の制約では、$\nabla g_1, \dots, \nabla g_m$ が $P$ で一次独立なら $\nabla f = \sum \lambda_i \nabla g_i$ となる。

### 計算例：制約の勾配が零の点で極値をとる例

条件 $g(x, y) = y^2 - x^3 = 0$ のもとで $f(x, y) = x$ の最小値を求めよ。

解答：

曲線上では $x^3 = y^2 \ge 0$ なので $x \ge 0$ で、$f$ は原点で最小値 $0$ をとる。しかし $\nabla f = (1, 0)$、$\nabla g(0, 0) = (-3x^2, 2y) = (0, 0)$ で、$\nabla f = \lambda \nabla g$ を満たす $\lambda$ はない。連立方程式を解くだけではこの点が出てこない。

検算：

連立方程式 $1 = -3\lambda x^2$、$0 = 2\lambda y$、$y^2 = x^3$ は、$\lambda \neq 0$ から $y = 0$、$x = 0$ となり $1 = 0$ で矛盾し、解をもたない。答案では $\nabla g = \boldsymbol{0}$ となる $S$ 上の点を別に調べる。

## 最大値・最小値を求める手順

1. 制約集合 $S$ 上で $\nabla g = \boldsymbol{0}$ となる点を求め、候補に加える。
2. $\nabla f = \lambda \nabla g$、$g = 0$ を解いて候補を求める。
3. $S$ が有界閉集合なら、最大値・最小値の定理から $f$ は $S$ 上で最大値と最小値をとる。候補の $f$ の値を比べて決める。
4. $S$ が有界でないときは、$S$ 上で遠くへ行ったときの $f$ の振る舞いを調べてから結論する。

### 計算例：円周上の1次関数の最大・最小

$x^2 + y^2 = 1$ のもとで $f = x + y$ の最大値と最小値を求めよ。

解答：

$g = x^2 + y^2 - 1$、$\nabla g = (2x, 2y)$ は円周上で零にならない。$1 = 2\lambda x$、$1 = 2\lambda y$ から $x = y$、$2x^2 = 1$ で $x = y = \pm 1/\sqrt{2}$。円周は有界閉集合なので、最大値は $\sqrt{2}$、最小値は $-\sqrt{2}$。

検算：

$x = \cos t$、$y = \sin t$ とおくと $f = \sqrt{2}\sin(t + \pi/4)$ で、範囲は $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$。コーシー・シュワルツの不等式 $|x + y| \le \sqrt{2}\sqrt{x^2 + y^2}$ からも同じ結果になる。

### 計算例：楕円上の距離の2乗の最大・最小

$x^2 + xy + y^2 = 3$ のもとで $f = x^2 + y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

解答：

$\nabla f = \lambda \nabla g$ は $2x = \lambda(2x + y)$、$2y = \lambda(x + 2y)$。辺々の差と和をとると $(x - y)(2 - \lambda) = 0$ と $(x + y)(2 - 3\lambda) = 0$。

- $x = y$ のとき $3x^2 = 3$ で $(\pm 1, \pm 1)$、$f = 2$（$\lambda = 2/3$）。
- $x = -y$ のとき $x^2 = 3$ で $(\pm\sqrt{3}, \mp\sqrt{3})$、$f = 6$（$\lambda = 2$）。

$x = y$ と $x = -y$ が同時に成り立つのは原点だけで、原点は制約を満たさない。$\nabla g = \boldsymbol{0}$ も原点だけなので、追加の候補はない。楕円は有界閉集合だから、最大値 $6$、最小値 $2$。

検算：

制約は2次形式 $\boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x} = 3$、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix}$ で、$A$ の固有値は $3/2$ と $1/2$。$f$ の最小値・最大値は $3/(3/2) = 2$ と $3/(1/2) = 6$ で一致する（[固有値と固有ベクトル](https://inshihub.com/basics/linear-algebra/eigenvalues-eigenvectors)）。

### 計算例：原点から平面までの最短距離

平面 $x + 2y + 2z = 9$ 上の点で、原点に最も近い点と距離を求めよ。

解答：

$f = x^2 + y^2 + z^2$、$g = x + 2y + 2z - 9$ とする。$(2x, 2y, 2z) = \lambda(1, 2, 2)$ から $(x, y, z) = (\lambda/2, \lambda, \lambda)$。制約に代入して $\lambda/2 + 4\lambda = 9$、$\lambda = 2$。点は $(1, 2, 2)$ で距離は $3$。平面は有界でないが、遠ざかると $f \to \infty$ なので最小値は存在し、ただ1つの候補で達成される。

検算：

点と平面の距離の公式 $|0 + 0 + 0 - 9|/\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 9/3 = 3$ と一致する。$(1, 2, 2)$ は平面の法線ベクトル $(1, 2, 2)$ の方向にある。

## 縁付きヘッセ行列による判定

### 定理・法則：2変数・1制約の2階の判定

条件：

$f, g$ は $C^2$ 級。点 $P$ と $\lambda$ が $\nabla f = \lambda \nabla g$、$g = 0$ を満たし、$\nabla g(P) \neq \boldsymbol{0}$。$L = f - \lambda g$ とする。

主張：

$$\bar{H} = \det \begin{pmatrix} 0 & g_x & g_y \\ g_x & L_{xx} & L_{xy} \\ g_y & L_{xy} & L_{yy} \end{pmatrix}$$

を $P$ で評価し、$\bar{H} > 0$ なら条件付き極大、$\bar{H} < 0$ なら条件付き極小。$\bar{H} = 0$ なら判定できない。

要点：

曲線 $g = 0$ に接する方向に限った2次形式の符号を調べている。曲線上で $f$ を1変数関数として2階微分しても同じ判定になる。

円周上の $f = x + y$ の点 $(1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ では $\lambda = 1/\sqrt{2}$、$g_x = g_y = \sqrt{2}$、$L_{xx} = L_{yy} = -2\lambda = -\sqrt{2}$、$L_{xy} = 0$ で、$\bar{H} = 4\sqrt{2} > 0$。この点は条件付き極大で、上の計算例の最大値と合う。

## 答案でよくある誤り

1. $\nabla g = \boldsymbol{0}$ となる点を調べない。未定乗数法は $\nabla g \neq \boldsymbol{0}$ の点でだけ成り立つので、制約集合上の $\nabla g = \boldsymbol{0}$ の点を別に候補へ加える。
2. 連立方程式の解をそのまま極値と書く。$\nabla f = \lambda \nabla g$ は必要条件である。制約集合が有界閉集合であることを示して値を比べるか、縁付きヘッセ行列などで判定する。
3. 連立方程式を $\lambda$ や変数で割って解を落とす。$x = \lambda(\dots)$ の形から割るときは、割る式が $0$ の場合を先に分ける。上の楕円の例は、差と和をとって因数分解すると漏れがない。
4. 有界でない制約集合で、候補の値の大小だけから最大値・最小値を決める。遠方で $f$ がどうなるかを調べ、最大値・最小値が存在することを先に示す。
5. 不等式の制約 $g \le 0$ に等式の未定乗数法をそのまま使う。内部の停留点と境界 $g = 0$ 上の候補を分けて調べる。

## ラグランジュの未定乗数法が出た院試の過去問

### [ラグランジュの未定乗数法](https://inshihub.com/exam-themes/lagrange-multiplier)（13大学・38問）

- [京都大学 基礎科目 2026年度 第6問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/basic-mathematics/2026#problem-6): 陰関数で定まる曲面と高さ関数の臨界点
- [京都大学 数学・機械力学・専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering-group/2026#problem-1): 最小二乗法と制約付き最小化
- [名古屋大学大学院 知能システム学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-university/graduate-school-of-informatics/intelligent-systems/2026#problem-1): 解析・線形代数
- [東京大学 専門科目B 2026年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-mathematical-sciences/specialized-subject-b/2026#problem-5): 球面直積上の内積関数
- [東京都立大学大学院 情報科学域 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-metropolitan-university/graduate-school-of-systems-design/information-science/2026-summer#problem-1): 微分積分
- [筑波大学大学院 電子・物理工学 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tsukuba-university/degree-program-in-engineering-sciences/applied-physics/2026-august#problem-1): 数学：重積分・未定乗数法・ローラン展開と直交対角化

解答まで無料で読める演習問題:

- [京都大学 数学・機械力学・専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering-group/2026#problem-1): 最小二乗法と制約付き最小化
- [名古屋大学大学院 知能システム学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-university/graduate-school-of-informatics/intelligent-systems/2026#problem-1): 解析・線形代数
- [東京都立大学大学院 情報科学域 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-metropolitan-university/graduate-school-of-systems-design/information-science/2026-summer#problem-1): 微分積分
- [筑波大学大学院 電子・物理工学 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tsukuba-university/degree-program-in-engineering-sciences/applied-physics/2026-august#problem-1): 数学：重積分・未定乗数法・ローラン展開と直交対角化