二次形式と正定値行列主軸変換・標準形・正定値の判定法

二次形式 $q(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x}$ は実対称行列 $A$ で表し、 $A$ を直交対角化すると、変数変換 $\boldsymbol{x} = Q\boldsymbol{y}$ で $q = \lambda_1 y_1^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2$ の標準形になる。 $A$ が正定値（ $\boldsymbol{0}$ 以外のすべての $\boldsymbol{x}$ で $q > 0$ ）であることは、固有値がすべて正であることとも、首座小行列式 $\Delta_1, \dots, \Delta_n$ がすべて正であることとも同値である。半正定値は首座小行列式だけでは判定できず、すべての主小行列式か固有値を調べる。

線形代数の第8単元（全9単元）。先に読む単元：内積と直交対角化

院試数学基礎完成シリーズ線形代数編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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二次形式と正定値の定義

定義

二次形式と対称行列

$n$ 変数の実二次形式 $q(\boldsymbol{x}) = \sum_{i,j} a_{ij}x_i x_j$ は、 $a_{ij} = a_{ji}$ と選ぶと実対称行列 $A$ によって $q(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x}$ と一通りに書ける。 $x_i x_j$ （ $i \neq j$ ）の係数が $c$ なら、 $a_{ij} = a_{ji} = c/2$ とする。例えば $5x^2 - 4xy + 8y^2$ は $A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ である。

定義

正定値・半正定値・不定値

実対称行列 $A$ （とその二次形式）を、 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$ のすべてで

$\boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x} > 0$ なら正定値、
$\boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x} \ge 0$ なら半正定値、
$\boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x} < 0$ なら負定値

という。正の値も負の値もとるとき不定値という。 $A$ が負定値であることは $-A$ が正定値であることと同じである。

主軸変換と慣性法則

定理・法則

主軸変換

条件

$A$ は $n$ 次実対称行列で、直交行列 $Q$ により $Q^{\mathsf T}AQ = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ と対角化されている（直交対角化）。

主張

$\boldsymbol{x} = Q\boldsymbol{y}$ と置くと

\boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x} = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2

で、 $\|\boldsymbol{x}\| = \|\boldsymbol{y}\|$ である。 $Q$ の列（固有ベクトル）の方向を主軸という。

要点

$Q$ は長さと角を保つので、主軸変換は座標軸の回転（ $\det Q = -1$ なら鏡映を含む）である。二次曲線・二次曲面の形は固有値の符号と大きさで分類できる。

定理・法則

シルベスターの慣性法則

条件

$A$ は $n$ 次実対称行列。正則な実行列 $P$ で $\boldsymbol{x} = P\boldsymbol{y}$ と変換し、 $q$ を $\sum c_i y_i^2$ の形にする（ $P$ は直交行列でなくてよい）。

主張

係数 $c_i$ のうち正のものの個数 $p$ と負のものの個数 $q$ は、 $P$ の選び方によらず一定である。 $(p, q)$ を符号数という。 $p$ と $q$ は $A$ の正の固有値と負の固有値の個数に等しく、 $p + q = \operatorname{rank} A$ 。

要点

平方完成で得た標準形の係数の値は $P$ によって変わるが、符号の個数は変わらない。

定理・法則

レイリー商の最大・最小

条件

$A$ は実対称行列で、最大固有値 $\lambda_{\max}$ 、最小固有値 $\lambda_{\min}$ 。

主張

\lambda_{\min} \le \frac{\boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\mathsf T}\boldsymbol{x}} \le \lambda_{\max} \qquad (\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0})

単位球面 $\|\boldsymbol{x}\| = 1$ 上の $q$ の最大値は $\lambda_{\max}$ 、最小値は $\lambda_{\min}$ で、対応する固有ベクトルで達成される。

要点

標準形で $\sum\lambda_i y_i^2 \le \lambda_{\max}\sum y_i^2$ となることから出る。条件付き極値としてラグランジュの未定乗数法で求めても、 $A\boldsymbol{x} = \lambda\boldsymbol{x}$ が現れる。

正定値・半正定値の判定法

定理・法則

正定値の判定

条件

$A = (a_{ij})$ は $n$ 次実対称行列。左上から $k$ 次の小行列の行列式を首座小行列式 $\Delta_k = \det(a_{ij})_{1 \le i,j \le k}$ とする。

主張

次は同値である。

$A$ は正定値。
$A$ の固有値はすべて正。
$\Delta_1 > 0, \Delta_2 > 0, \dots, \Delta_n > 0$ （シルベスターの判定法）。
正則な実行列 $R$ で $A = R^{\mathsf T}R$ と書ける。

要点

負定値の判定では、 $-A$ に当てはめて $(-1)^k\Delta_k > 0$ （符号が負・正・負と交互）を確かめる。

定理・法則

半正定値の判定

条件

$A$ は $n$ 次実対称行列。

主張

次は同値である。

$A$ は半正定値。
$A$ の固有値はすべて $0$ 以上。
行と列を同じ番号で選んだすべての主小行列式が $0$ 以上。

要点

首座小行列式（左上から順にとるものだけ）が $0$ 以上でも、半正定値とは限らない。 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ は $\Delta_1 = \Delta_2 = 0$ だが、 $(0, 1)$ で $q = -1 < 0$ になる。

2変数関数 $f$ の停留点でヘッセ行列が正定値なら極小、負定値なら極大、不定値なら鞍点である（偏微分と極値）。2次では $\Delta_1 = f_{xx}$ 、 $\Delta_2 = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ の符号で判定する。

二次形式の計算例

計算例

主軸変換と二次曲線

$5x^2 - 4xy + 8y^2 = 36$ はどんな曲線か。主軸変換して標準形を求めよ。

解答

$A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ の特性方程式は $\lambda^2 - 13\lambda + 36 = (\lambda - 4)(\lambda - 9) = 0$ 。固有値 $4$ の固有ベクトルは $(2, 1)^{\mathsf T}$ 、 $9$ の固有ベクトルは $(1, -2)^{\mathsf T}$ 。正規化して

Q = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = Q\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}

と置くと $4X^2 + 9Y^2 = 36$ 、つまり $\dfrac{X^2}{9} + \dfrac{Y^2}{4} = 1$ 。長半径 $3$ （ $(2, 1)$ 方向）、短半径 $2$ （ $(1, -2)$ 方向）の楕円である。

検算

長軸上の点 $(x, y) = \frac{3}{\sqrt{5}}(2, 1)$ を元の式に代入すると $\frac{9}{5}(20 - 8 + 8) = 36$ 。固有値の積 $36 = \det A = 40 - 4$ 、和 $13 = \operatorname{tr} A$ 。

計算例

首座小行列式で正定値を判定する

$T = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ は正定値か。単位球面上の $\boldsymbol{x}^{\mathsf T}T\boldsymbol{x}$ の最大値と最小値も求めよ。

解答

$\Delta_1 = 2$ 、 $\Delta_2 = 4 - 1 = 3$ 、 $\Delta_3 = \det T = 2 \cdot 3 - (-1)(-2) = 4$ 。すべて正なので正定値。

固有値は $2$ と $2 \pm \sqrt{2}$ で、最大値は $2 + \sqrt{2}$ 、最小値は $2 - \sqrt{2}$ 。

検算

固有値はすべて正で、判定と一致する。和 $6 = \operatorname{tr} T$ 、積 $2(4 - 2) = 4 = \Delta_3$ 。平方完成でも $q = 2(x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{2}(y - \frac{2z}{3})^2 + \frac{4}{3}z^2$ となり、係数 $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}$ は $\Delta_1, \Delta_2/\Delta_1, \Delta_3/\Delta_2$ に等しい。

計算例

パラメータを含む正定値の条件

$q = x^2 + y^2 + z^2 + 2a(xy + yz + zx)$ が正定値になる実数 $a$ の範囲を求めよ。

解答

$A = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1 \end{pmatrix}$ の首座小行列式は

\Delta_1 = 1, \qquad \Delta_2 = 1 - a^2, \qquad \Delta_3 = 1 - 3a^2 + 2a^3 = (1 - a)^2(1 + 2a)

$\Delta_2 > 0$ から $-1 < a < 1$ 。このとき $(1 - a)^2 > 0$ なので $\Delta_3 > 0$ は $a > -\frac{1}{2}$ と同じ。答えは $-\frac{1}{2} < a < 1$ 。

検算

固有値は $1 + 2a$ （固有ベクトル $(1, 1, 1)$ ）と $1 - a$ （重複度 $2$ ）で、すべて正になる条件も $-\frac{1}{2} < a < 1$ 。境界 $a = 1$ では $q = (x + y + z)^2$ となり、 $(1, -1, 0)$ で $0$ になるので正定値でない（半正定値）。

答案でよくある誤り

1
$xy$ の係数をそのまま行列の $(1,2)$ 成分に入れる。対称行列にするときは半分ずつ $(1,2)$ 成分と $(2,1)$ 成分に分ける。 $-4xy$ なら両方とも $-2$ である。
2
首座小行列式がすべて $0$ 以上なことから半正定値と結論する。半正定値の判定には、すべての主小行列式か固有値を使う。
3
負定値の判定で $\Delta_k < 0$ をすべての $k$ に要求する。負定値の条件は $\Delta_1 < 0, \Delta_2 > 0, \Delta_3 < 0, \dots$ と符号が交互になることである。
4
対角成分がすべて正なら正定値とする。 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ は対角成分が正でも固有値 $3, -1$ の不定値である。対角成分が正であることは必要条件にすぎない。
5
直交行列でない変換で得た標準形の係数を固有値と書く。平方完成の係数は符号の個数しか固有値と一致しない。固有値が必要なら特性方程式を解く。