# 二次形式と正定値行列｜主軸変換・標準形・正定値の判定法

> 二次形式の行列表示、直交行列による主軸変換と標準形、シルベスターの慣性法則、正定値・半正定値の判定（固有値と首座小行列式）を数式で解説。二次曲線の分類、パラメータを含む判定の計算例と、よくある誤りを載せています。

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- 科目: [線形代数](https://inshihub.com/basics/linear-algebra)（大学基礎課程の数学・物理・化学・生物・情報）
- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [内積と直交対角化](https://inshihub.com/basics/linear-algebra/inner-product-orthogonal-diagonalization)

二次形式 $q(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x}$ は実対称行列 $A$ で表し、$A$ を直交対角化すると、変数変換 $\boldsymbol{x} = Q\boldsymbol{y}$ で $q = \lambda_1 y_1^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2$ の標準形になる。$A$ が正定値（$\boldsymbol{0}$ 以外のすべての $\boldsymbol{x}$ で $q > 0$）であることは、固有値がすべて正であることとも、首座小行列式 $\Delta_1, \dots, \Delta_n$ がすべて正であることとも同値である。半正定値は首座小行列式だけでは判定できず、すべての主小行列式か固有値を調べる。

## 二次形式と正定値の定義

### 定義：二次形式と対称行列

$n$ 変数の実二次形式 $q(\boldsymbol{x}) = \sum_{i,j} a_{ij}x_i x_j$ は、$a_{ij} = a_{ji}$ と選ぶと実対称行列 $A$ によって $q(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x}$ と一通りに書ける。$x_i x_j$（$i \neq j$）の係数が $c$ なら、$a_{ij} = a_{ji} = c/2$ とする。例えば $5x^2 - 4xy + 8y^2$ は $A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ である。

### 定義：正定値・半正定値・不定値

実対称行列 $A$（とその二次形式）を、$\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$ のすべてで

- $\boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x} > 0$ なら正定値、
- $\boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x} \ge 0$ なら半正定値、
- $\boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x} < 0$ なら負定値

という。正の値も負の値もとるとき不定値という。$A$ が負定値であることは $-A$ が正定値であることと同じである。

## 主軸変換と慣性法則

### 定理・法則：主軸変換

条件：

$A$ は $n$ 次実対称行列で、直交行列 $Q$ により $Q^{\mathsf T}AQ = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ と対角化されている（[直交対角化](https://inshihub.com/basics/linear-algebra/inner-product-orthogonal-diagonalization)）。

主張：

$\boldsymbol{x} = Q\boldsymbol{y}$ と置くと

$$\boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x} = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2$$

で、$\|\boldsymbol{x}\| = \|\boldsymbol{y}\|$ である。$Q$ の列（固有ベクトル）の方向を主軸という。

要点：

$Q$ は長さと角を保つので、主軸変換は座標軸の回転（$\det Q = -1$ なら鏡映を含む）である。二次曲線・二次曲面の形は固有値の符号と大きさで分類できる。

### 定理・法則：シルベスターの慣性法則

条件：

$A$ は $n$ 次実対称行列。正則な実行列 $P$ で $\boldsymbol{x} = P\boldsymbol{y}$ と変換し、$q$ を $\sum c_i y_i^2$ の形にする（$P$ は直交行列でなくてよい）。

主張：

係数 $c_i$ のうち正のものの個数 $p$ と負のものの個数 $q$ は、$P$ の選び方によらず一定である。$(p, q)$ を符号数という。$p$ と $q$ は $A$ の正の固有値と負の固有値の個数に等しく、$p + q = \operatorname{rank} A$。

要点：

平方完成で得た標準形の係数の値は $P$ によって変わるが、符号の個数は変わらない。

### 定理・法則：レイリー商の最大・最小

条件：

$A$ は実対称行列で、最大固有値 $\lambda_{\max}$、最小固有値 $\lambda_{\min}$。

主張：

$$\lambda_{\min} \le \frac{\boldsymbol{x}^{\mathsf T}A\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\mathsf T}\boldsymbol{x}} \le \lambda_{\max} \qquad (\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0})$$

単位球面 $\|\boldsymbol{x}\| = 1$ 上の $q$ の最大値は $\lambda_{\max}$、最小値は $\lambda_{\min}$ で、対応する固有ベクトルで達成される。

要点：

標準形で $\sum\lambda_i y_i^2 \le \lambda_{\max}\sum y_i^2$ となることから出る。条件付き極値としてラグランジュの未定乗数法で求めても、$A\boldsymbol{x} = \lambda\boldsymbol{x}$ が現れる。

## 正定値・半正定値の判定法

### 定理・法則：正定値の判定

条件：

$A = (a_{ij})$ は $n$ 次実対称行列。左上から $k$ 次の小行列の行列式を首座小行列式 $\Delta_k = \det(a_{ij})_{1 \le i,j \le k}$ とする。

主張：

次は同値である。

- $A$ は正定値。
- $A$ の固有値はすべて正。
- $\Delta_1 > 0, \Delta_2 > 0, \dots, \Delta_n > 0$（シルベスターの判定法）。
- 正則な実行列 $R$ で $A = R^{\mathsf T}R$ と書ける。

要点：

負定値の判定では、$-A$ に当てはめて $(-1)^k\Delta_k > 0$（符号が負・正・負と交互）を確かめる。

### 定理・法則：半正定値の判定

条件：

$A$ は $n$ 次実対称行列。

主張：

次は同値である。

- $A$ は半正定値。
- $A$ の固有値はすべて $0$ 以上。
- 行と列を同じ番号で選んだすべての主小行列式が $0$ 以上。

要点：

首座小行列式（左上から順にとるものだけ）が $0$ 以上でも、半正定値とは限らない。$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ は $\Delta_1 = \Delta_2 = 0$ だが、$(0, 1)$ で $q = -1 < 0$ になる。

2変数関数 $f$ の停留点でヘッセ行列が正定値なら極小、負定値なら極大、不定値なら鞍点である（[偏微分と極値](https://inshihub.com/basics/calculus/partial-derivatives-extrema)）。2次では $\Delta_1 = f_{xx}$、$\Delta_2 = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ の符号で判定する。

## 二次形式の計算例

### 計算例：主軸変換と二次曲線

$5x^2 - 4xy + 8y^2 = 36$ はどんな曲線か。主軸変換して標準形を求めよ。

解答：

$A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ の特性方程式は $\lambda^2 - 13\lambda + 36 = (\lambda - 4)(\lambda - 9) = 0$。固有値 $4$ の固有ベクトルは $(2, 1)^{\mathsf T}$、$9$ の固有ベクトルは $(1, -2)^{\mathsf T}$。正規化して

$$Q = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = Q\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$$

と置くと $4X^2 + 9Y^2 = 36$、つまり $\dfrac{X^2}{9} + \dfrac{Y^2}{4} = 1$。長半径 $3$（$(2, 1)$ 方向）、短半径 $2$（$(1, -2)$ 方向）の楕円である。

検算：

長軸上の点 $(x, y) = \frac{3}{\sqrt{5}}(2, 1)$ を元の式に代入すると $\frac{9}{5}(20 - 8 + 8) = 36$。固有値の積 $36 = \det A = 40 - 4$、和 $13 = \operatorname{tr} A$。

### 計算例：首座小行列式で正定値を判定する

$T = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ は正定値か。単位球面上の $\boldsymbol{x}^{\mathsf T}T\boldsymbol{x}$ の最大値と最小値も求めよ。

解答：

$\Delta_1 = 2$、$\Delta_2 = 4 - 1 = 3$、$\Delta_3 = \det T = 2 \cdot 3 - (-1)(-2) = 4$。すべて正なので正定値。

固有値は $2$ と $2 \pm \sqrt{2}$ で、最大値は $2 + \sqrt{2}$、最小値は $2 - \sqrt{2}$。

検算：

固有値はすべて正で、判定と一致する。和 $6 = \operatorname{tr} T$、積 $2(4 - 2) = 4 = \Delta_3$。平方完成でも $q = 2(x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{2}(y - \frac{2z}{3})^2 + \frac{4}{3}z^2$ となり、係数 $2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}$ は $\Delta_1, \Delta_2/\Delta_1, \Delta_3/\Delta_2$ に等しい。

### 計算例：パラメータを含む正定値の条件

$q = x^2 + y^2 + z^2 + 2a(xy + yz + zx)$ が正定値になる実数 $a$ の範囲を求めよ。

解答：

$A = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1 \end{pmatrix}$ の首座小行列式は

$$\Delta_1 = 1, \qquad \Delta_2 = 1 - a^2, \qquad \Delta_3 = 1 - 3a^2 + 2a^3 = (1 - a)^2(1 + 2a)$$

$\Delta_2 > 0$ から $-1 < a < 1$。このとき $(1 - a)^2 > 0$ なので $\Delta_3 > 0$ は $a > -\frac{1}{2}$ と同じ。答えは $-\frac{1}{2} < a < 1$。

検算：

固有値は $1 + 2a$（固有ベクトル $(1, 1, 1)$）と $1 - a$（重複度 $2$）で、すべて正になる条件も $-\frac{1}{2} < a < 1$。境界 $a = 1$ では $q = (x + y + z)^2$ となり、$(1, -1, 0)$ で $0$ になるので正定値でない（半正定値）。

## 答案でよくある誤り

1. $xy$ の係数をそのまま行列の $(1,2)$ 成分に入れる。対称行列にするときは半分ずつ $(1,2)$ 成分と $(2,1)$ 成分に分ける。$-4xy$ なら両方とも $-2$ である。
2. 首座小行列式がすべて $0$ 以上なことから半正定値と結論する。半正定値の判定には、すべての主小行列式か固有値を使う。
3. 負定値の判定で $\Delta_k < 0$ をすべての $k$ に要求する。負定値の条件は $\Delta_1 < 0, \Delta_2 > 0, \Delta_3 < 0, \dots$ と符号が交互になることである。
4. 対角成分がすべて正なら正定値とする。$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ は対角成分が正でも固有値 $3, -1$ の不定値である。対角成分が正であることは必要条件にすぎない。
5. 直交行列でない変換で得た標準形の係数を固有値と書く。平方完成の係数は符号の個数しか固有値と一致しない。固有値が必要なら特性方程式を解く。

## 二次形式と正定値行列が出た院試の過去問

### [二次形式](https://inshihub.com/exam-themes/quadratic-form)（19大学・74問）

- [九州工業大学大学院 専門科目（物理情報工学） 2026年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-institute-of-technology/graduate-school-of-computer-science-and-systems-engineering/physical-informatics-engineering/2026#problem-5): 現代物理学
- [北海道大学大学院 情報科学専攻 情報理工学コース 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/computer-science-and-information-technology/2026#problem-1): 基礎数学
- [北海道大学大学院 専門科目（地球惑星科学） 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-science/earth-and-planetary-sciences/2026-summer#problem-1): I-1 線形最小二乗
- [千葉大学大学院 物理学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/chiba-university/graduate-school-of-science-and-engineering/physics/2026#problem-1): 連成振動
- [名古屋大学大学院 数理情報学 2026年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-university/graduate-school-of-informatics/mathematical-informatics/2026#problem-5): 量子力学
- [大阪大学 数学 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/osaka-university/graduate-school-of-science/mathematics/2026-first#problem-2): A-2 対称行列と交換子写像

解答まで無料で読める演習問題:

- [北海道大学大学院 情報科学専攻 情報理工学コース 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/computer-science-and-information-technology/2026#problem-1): 基礎数学
- [北海道大学大学院 専門科目（地球惑星科学） 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-science/earth-and-planetary-sciences/2026-summer#problem-1): I-1 線形最小二乗
- [千葉大学大学院 物理学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/chiba-university/graduate-school-of-science-and-engineering/physics/2026#problem-1): 連成振動
- [東北大学大学院 物理学（基礎数学・力学・電磁気学・量子力学・熱統計力学） 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tohoku-university/graduate-school-of-science/physics/2026#problem-1): 基礎数学

### [正定値行列](https://inshihub.com/exam-themes/positive-definite-matrix)（18大学・80問）

- [九州大学大学院 基礎科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-mathematics/basic-mathematics/2026#problem-2): 二変数関数の極値
- [東京大学 専門科目A 2026年度 第6問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-mathematical-sciences/specialized-subject-a/2026#problem-6): Fourier積分と正定値行列
- [東京大学 一般教育科目（数学） 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/information-science/general-math/2026#problem-1): 実対称行列と極分解
- [東京大学 数理情報学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/information-science/mathematical-informatics/2026#problem-1): 半正定値錐への射影
- [東京大学 専門基礎科目（複雑理工学） 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-frontier-sciences/complexity-science-and-engineering/2026#problem-2): 線形代数
- [東京都立大学大学院 情報科学域 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-metropolitan-university/graduate-school-of-systems-design/information-science/2026-winter#problem-1): 微分積分の基本計算

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- [東京大学 一般教育科目（数学） 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/information-science/general-math/2026#problem-1): 実対称行列と極分解
- [東京大学 数理情報学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/information-science/mathematical-informatics/2026#problem-1): 半正定値錐への射影
- [東京都立大学大学院 情報科学域 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-metropolitan-university/graduate-school-of-systems-design/information-science/2026-winter#problem-1): 微分積分の基本計算
- [名古屋大学大学院 複雑系科学 2025年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-university/graduate-school-of-informatics/complex-systems-science/2025#problem-1): 数1：正定値行列と二次形式・固有値の符号