テイラー展開剰余項・マクローリン展開・近似の誤差評価

展開と成り立つ範囲

指数関数

$$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$$

すべての実数 $x$ で成り立つ。

正弦・余弦

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots, \qquad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$

すべての実数 $x$ で成り立つ。$\sin$ は奇数次、$\cos$ は偶数次の項だけをもつ。

対数

$$\log(1 + x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$

$-1 < x \le 1$ で成り立つ。$x = 1$ で $\log 2 = 1 - 1/2 + 1/3 - \cdots$。

一般二項展開

$$(1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^k, \qquad \binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - k + 1)}{k!}$$

$|x| < 1$ で成り立つ。例: $\sqrt{1 + x} = 1 + x/2 - x^2/8 + \cdots$。

等比級数・逆正接

$$\frac{1}{1 - x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^k, \qquad \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$$

$1/(1 - x)$ は $|x| < 1$、$\arctan x$ は $|x| \le 1$ で成り立つ。

正接

$$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$$

$|x| < \pi/2$ で収束する。係数は $\sin x / \cos x$ の割り算で出す。