院試hub

微分と平均値の定理微分可能性・ロルの定理・ロピタルの定理

関数 ff が aa で微分可能とは、極限 f′(a)=lim⁡h→0{f(a+h)−f(a)}/hf'(a) = \lim_{h \to 0} \{f(a + h) - f(a)\}/h が有限の値で存在することをいう。微分可能なら連続だが、連続でも微分可能とは限らない。閉区間で連続、開区間で微分可能な ff には、平均の傾きに等しい接線の傾きをもつ点がある（平均値の定理）。この定理から、不等式の証明、単調性の判定、不定形の極限を求めるロピタルの定理が出る。

微分積分 の第2単元（全8単元）。先に読む単元：極限と連続性

院試数学 基礎完成シリーズ 微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

微分積分編の内容を見る

導関数と微分可能性の定義

定義

微分係数と導関数

ff を aa を含む開区間で定義された関数とする。極限

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

が有限の値で存在するとき、ff は aa で微分可能といい、f′(a)f'(a) を微分係数という。開区間の各点で微分可能なとき、x↦f′(x)x \mapsto f'(x) を導関数という。f′f' がさらに連続なら、ff は C1C^1 級という。

定理・法則

微分可能なら連続

条件

ff が aa で微分可能。

主張

ff は aa で連続である。逆は成り立たない。

要点

f(a+h)−f(a)=h⋅{f(a+h)−f(a)}/h→0⋅f′(a)=0f(a + h) - f(a) = h \cdot \{f(a + h) - f(a)\}/h \to 0 \cdot f'(a) = 0 から出る。f(x)=∣x∣f(x) = |x| は 00 で連続だが、右からの極限 11 と左からの極限 −1-1 が異なるので微分可能でない。

微分の公式

演算の公式

積
(fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg'
商
(fg)′=f′g−fg′g2(g≠0)\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \quad (g \neq 0)
合成関数
ddxf(g(x))=f′(g(x)) g′(x)\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\, g'(x)

gg が xx で、ff が g(x)g(x) で微分可能なときに成り立つ。

逆関数
dxdy=1dy/dx(dydx≠0)\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx} \quad \left(\frac{dy}{dx} \neq 0\right)

y=f(x)y = f(x) が狭義単調で微分可能、f′(x)≠0f'(x) \neq 0 の点で成り立つ。

よく使う導関数

べき・指数・対数
(xα)′=αxα−1,(ex)′=ex,(log⁡∣x∣)′=1x(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}, \quad (e^x)' = e^x, \quad (\log |x|)' = \frac{1}{x}
三角関数
(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x,(tan⁡x)′=1cos⁡2x(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}
逆三角関数
(arcsin⁡x)′=11−x2 (∣x∣<1),(arctan⁡x)′=11+x2(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \ (|x| < 1), \qquad (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}

計算例

対数微分法

y=xxy = x^x（x>0x > 0）を微分せよ。

解答

両辺の対数をとると log⁡y=xlog⁡x\log y = x \log x。両辺を xx で微分すると

y′y=log⁡x+1よりy′=xx(log⁡x+1)\frac{y'}{y} = \log x + 1 \quad \text{より} \quad y' = x^x(\log x + 1)

検算

xx=exlog⁡xx^x = e^{x \log x} と書き直して合成関数の微分を使うと、exlog⁡x(log⁡x+1)e^{x \log x}(\log x + 1) で一致する。x=1x = 1 で y′=1y' = 1、x=1/ex = 1/e で y′=0y' = 0（最小値をとる点）。

ロルの定理と平均値の定理

定理・法則

ロルの定理

条件

ff は [a,b][a, b] で連続、(a,b)(a, b) で微分可能で、f(a)=f(b)f(a) = f(b)。

主張

f′(c)=0f'(c) = 0 となる c∈(a,b)c \in (a, b) が存在する。

要点

最大値・最小値の定理から、ff は [a,b][a, b] のどこかで最大か最小をとる。それが内部の点 cc なら f′(c)=0f'(c) = 0。(a,b)(a, b) のどこかで微分可能でないと成り立たない。f(x)=∣x∣f(x) = |x| は [−1,1][-1, 1] で f(−1)=f(1)f(-1) = f(1) だが、f′(c)=0f'(c) = 0 となる点はない。

定理・法則

平均値の定理

条件

ff は [a,b][a, b] で連続、(a,b)(a, b) で微分可能。

主張

f(b)−f(a)b−a=f′(c)\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)

となる c∈(a,b)c \in (a, b) が存在する。c=a+θ(b−a)c = a + \theta(b - a)（0<θ<10 < \theta < 1）とも書く。

要点

g(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)g(x) = f(x) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) にロルの定理を使う。区間で f′>0f' > 0 なら狭義単調増加、f′=0f' = 0 なら定数であることはこの定理から出る。

定理・法則

コーシーの平均値の定理

条件

f,gf, g は [a,b][a, b] で連続、(a,b)(a, b) で微分可能で、(a,b)(a, b) で g′(x)≠0g'(x) \neq 0。

主張

f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(c)g′(c)\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

となる c∈(a,b)c \in (a, b) が存在する。

要点

ff と gg に別々に平均値の定理を使うと、cc が一般に異なるので比をとれない。h(x)={f(b)−f(a)}g(x)−{g(b)−g(a)}f(x)h(x) = \{f(b) - f(a)\}g(x) - \{g(b) - g(a)\}f(x) にロルの定理を使う。

計算例

平均値の定理で不等式を示す

0<a<b0 < a < b のとき b−ab<log⁡b−log⁡a<b−aa\dfrac{b - a}{b} < \log b - \log a < \dfrac{b - a}{a} を示せ。

解答

f(x)=log⁡xf(x) = \log x は [a,b][a, b] で連続、(a,b)(a, b) で微分可能なので、平均値の定理から

log⁡b−log⁡a=b−ac,a<c<b\log b - \log a = \frac{b - a}{c}, \qquad a < c < b

となる cc がある。1b<1c<1a\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{a} に b−a>0b - a > 0 を掛ければ示す不等式になる。

検算

a=1a = 1、b=2b = 2 で 0.5<log⁡2≈0.693<10.5 < \log 2 \approx 0.693 < 1。a=1a = 1、b=3/2b = 3/2 で 1/3<log⁡1.5≈0.405<1/21/3 < \log 1.5 \approx 0.405 < 1/2。

ロピタルの定理の条件と使い方

定理・法則

ロピタルの定理

条件

f,gf, g は aa を除く aa の近くで微分可能で g′(x)≠0g'(x) \neq 0。さらに lim⁡x→af(x)=lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0（または lim⁡x→a∣g(x)∣=∞\lim_{x \to a} |g(x)| = \infty）で、lim⁡x→af′(x)/g′(x)\lim_{x \to a} f'(x)/g'(x) が存在する（±∞\pm\infty でもよい）。

主張

lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

aa が ±∞\pm\infty や片側極限の場合も同じ形で成り立つ。

要点

コーシーの平均値の定理から示す。f′/g′f'/g' の極限が存在しないときは何も言えない。lim⁡x→∞(x+sin⁡x)/x=1\lim_{x \to \infty} (x + \sin x)/x = 1 だが、f′/g′=1+cos⁡xf'/g' = 1 + \cos x は極限をもたない。

計算例

ロピタルの定理を繰り返し使う

lim⁡x→0x−sin⁡xx3\lim_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^3} を求めよ。

解答

分子・分母とも 00 に近づくので、各段階で 0/00/0 形であることを確かめながら3回使う。

lim⁡x→0x−sin⁡xx3=lim⁡x→01−cos⁡x3x2=lim⁡x→0sin⁡x6x=16\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6}

最後は sin⁡x/x→1\sin x / x \to 1 を使った。

検算

テイラー展開 sin⁡x=x−x3/6+O(x5)\sin x = x - x^3/6 + O(x^5) を代入すると (x−sin⁡x)/x3=1/6+O(x2)(x - \sin x)/x^3 = 1/6 + O(x^2) で一致する。

計算例

微分可能だが導関数が連続でない例

f(x)=x2sin⁡(1/x)f(x) = x^2 \sin(1/x)（x≠0x \neq 0）、f(0)=0f(0) = 0 について、f′(0)f'(0) と lim⁡x→0f′(x)\lim_{x \to 0} f'(x) を調べよ。

解答

定義から f′(0)=lim⁡h→0hsin⁡(1/h)=0f'(0) = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h) = 0（はさみうち）。x≠0x \neq 0 では

f′(x)=2xsin⁡1x−cos⁡1xf'(x) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}

で、第1項は 00 に収束するが第2項は振動するので lim⁡x→0f′(x)\lim_{x \to 0} f'(x) は存在しない。ff は全域で微分可能だが C1C^1 級でない。

検算

この ff で f′(0)f'(0) を「lim⁡x→0f′(x)\lim_{x \to 0} f'(x)」から求めようとすると、極限が存在せず答えが出ない。微分係数は定義の差分商で求める。

答案でよくある誤り

  1. 1

    連続であることから微分可能だと結論する。∣x∣|x| のように連続でも微分可能でない点がある。左右の差分商の極限が一致するかを確かめる。

  2. 2

    ロピタルの定理を 0/00/0 や ∞/∞\infty/\infty でない形に使う。lim⁡x→0(cos⁡x)/x\lim_{x \to 0} (\cos x)/x に使うと誤った値になる。使う前に不定形であることを毎回確かめる。

  3. 3

    ロピタルの定理で分数を商の微分公式で微分する。分子と分母をそれぞれ微分して f′/g′f'/g' をとる。

  4. 4

    f′/g′f'/g' の極限が存在しないことから、元の極限も存在しないと結論する。定理は存在するときにだけ結論を与える。(x+sin⁡x)/x(x + \sin x)/x のような場合は式を直接評価する。

  5. 5

    平均値の定理の cc を具体的な値だと思って使う。cc は (a,b)(a, b) のどこかにあることしか分からない。評価では a<c<ba < c < b から出る不等式だけを使う。

  6. 6

    f′(0)f'(0) を lim⁡x→0f′(x)\lim_{x \to 0} f'(x) で求める。導関数が 00 で連続とは限らないので、f′(0)f'(0) は差分商の極限として求める。

微分積分の前後の単元

このページの本文を数式のLaTeXのまま読むには Markdown版。最終更新 2026-11-16。誤りに気づいたら 運営者 へ連絡してほしい。

院試数学 基礎完成シリーズ 微分積分編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

微分積分編の内容を見る